2018年數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課時作業(yè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時:40分鐘)一、選擇題1。(2015·浙江卷）設(shè)α，β是兩個不同的平面,l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β（）A.若l⊥β，則α⊥β B.若α⊥β，則l⊥mC.若l∥β，則α∥β D.若α∥β,則l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A選項正確；B選項中，l與m可能平行；C選項中，α與β可能相交；D選項中，l與m可能異面.答案A2。（2017·深圳四校聯(lián)考）若平面α,β滿足α⊥β,α∩β＝l，P∈α，P?l,則下列命題中是假命題的為()A.過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB.過點P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C。過點P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D.過點P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β解析由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面β,因此A正確。過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確.根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知,選項C，D正確。答案B3。如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是（）A。BC∥平面PDFB。DF⊥平面PAEC。平面PDF⊥平面PAED。平面PDE⊥平面ABC解析因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF,故選項A正確.在正四面體中，AE⊥BC,PE⊥BC，AE∩PE＝E,∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，則DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE。因此選項B，C均正確.答案D4。(2017·麗水調(diào)研）設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（)A。若l∥α，l∥β，則α∥β B。若l∥α,l⊥β，則α⊥βC。若α⊥β,l⊥α，則l∥β D。若α⊥β，l∥α,則l⊥β解析A中，α∥β或α與β相交，不正確。B中,過直線l作平面γ，設(shè)α∩γ＝l′,則l′∥l,由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，B正確.C中，l∥β或l?β，C不正確。D中，l與β的位置關(guān)系不確定。答案B5。（2017·天津濱海新區(qū)模擬）如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：①BD⊥AC;②△BAC是等邊三角形;③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC。其中正確的是（)A。①②④ B.①②③ C。②③④ D。①③④解析由題意知，BD⊥平面ADC，且AC?平面ADC，故BD⊥AC，①正確;AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確;由①知④錯.答案B二、填空題6.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________.解析∵PA⊥平面ABC，AB,AC，BC?平面ABC,∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB,△PAC為直角三角形。由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形。答案47。如圖所示,在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD（只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可）.解析由定理可知，BD⊥PC?！喈?dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC）時，有PC⊥平面MBD.又PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC（或BM⊥PC等)8。（2016·全國Ⅱ卷改編）α，β是兩個平面，m，n是兩條直線。(1）如果m⊥α，n∥α,那么m，n的位置關(guān)系是________；(2)如果m∥n,α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角的大小關(guān)系是________。解析(1)由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l,m⊥α,所以m⊥l，所以m⊥n.（2)因為m∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因為α∥β，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等。答案（1)垂直(2）相等三、解答題9.（2017·青島質(zhì)檢)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°,E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點。(1)求證:EF⊥平面BCG；（2）求三棱錐D－BCG的體積。（1）證明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G為AD的中點，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G,因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.（2)解在平面ABC內(nèi),作AO⊥BC，交CB的延長線于O，如圖由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，AO?平面ABC，知AO⊥平面BDC.又G為AD中點，因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半。在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝eq\r（3），所以VD－BCG＝VG－BCD＝eq\f(1，3）S△DBC·h＝eq\f（1,3）×eq\f(1,2）BD·BC·sin120°·eq\f(\r(3)，2)＝eq\f（1，2）。10。（2016·北京卷）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD,AB∥DC，DC⊥AC.（1)求證:DC⊥平面PAC；（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；(3）設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF？說明理由。（1)證明因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC。又因為AC⊥DC，且PC∩AC＝C,所以DC⊥平面PAC。(2）證明因為AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC。因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因為PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC。(3）解棱PB上存在點F,使得PA∥平面CEF.理由如下：取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又因為E為AB的中點，所以EF∥PA.又因為PA?平面CEF，且EF?平面CEF,所以PA∥平面CEF.能力提升題組（建議用時：25分鐘)11。設(shè)m,n是兩條不同的直線,α，β是兩個不同的平面.則下列說法正確的是()A。若m⊥n，n∥α，則m⊥αB。若m∥β,β⊥α,則m⊥αC。若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α解析A中，由m⊥n,n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯誤;B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤;C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α,所以m⊥α，正確；D中,由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤。答案C12。（2017·諸暨調(diào)研)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合,重合后的點記為P，P點在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是（）A.O是△AEF的垂心 B。O是△AEF的內(nèi)心C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心解析由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF,則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P,所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO,∴O為△AEF的垂心.答案A13.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中:①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°。其中正確的有________(把所有正確的序號都填上）.解析由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC,得PA⊥AE,又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A,得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面PBC不成立,②錯；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立,③錯；在Rt△PAD中,PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確.答案①④14.(2016·四川卷）如圖，在四棱錐P－ABCD中,PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f（1,2）AD。(1)在平面PAD內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由.（2）證明：平面PAB⊥平面PBD.(1)解取棱AD的中點M（M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下:因為AD∥BC，BC＝eq\f（1，2）AD。所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而CM∥AB。又AB?平面PAB。CM?平面PAB.所以CM∥平面PAB。（說明:取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)（2）證明由已知，PA⊥AB,PA⊥CD.因為AD∥BC,BC＝eq\f(1，2）AD，所以直線AB與CD相交,所以PA⊥平面ABCD。又BD?平面ABCD，從而PA⊥BD.因為AD∥BC，BC＝eq\f(1，2）AD,M為AD的中點，連接BM，所以BC∥MD，且BC＝MD。所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BM＝CD＝eq\f（1，2)AD，所以BD⊥AB。又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.15.（2016·浙江卷)如圖,在三棱臺ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求證：BF⊥平面ACFD；（2）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值。(1）證明延長AD,BE，CF相交于一點K，如圖所示，因為平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因為EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK。所以BF⊥平面ACFD。(2)解由（1)知BF⊥