2021北京初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：四邊形章節(jié)綜合2

26/262021北京初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編四邊形章節(jié)綜合2一、解答題1．（2021·北京昌平·八年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，分別過點A，C作AE∥DC，CE∥(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若∠B＝45°，CD＝2，求四邊形AECD的面積．2．（2021·北京昌平·八年級期中）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，△ABF的面積是24，點E為DC邊上的一點，將△ADE沿直線AE折疊，點D剛好落在BC邊上的點F處，求AE的長．3．（2021·北京昌平·八年級期中）如圖，在□ABCD中，E、F分別是邊AB，DC上的點，DE⊥AB，BF⊥CD．求證：BE＝DF．4．（2021·北京大興·八年級期中）已知：如圖，點F在△ABC的邊AC上，過點F、B分別作AB、AC的平行線相交于點E，連接BF，AB=AF．求證：四邊形ABEF是菱形．5．（2021·北京大興·八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上任意一點，E是BC邊中點，過點C作AB的平行線，交DE的延長線于點F，連接BF，CD．求證：四邊形CDBF是平行四邊形．6．（2021·北京朝陽·八年級期中）已知：如圖，點A是直線l外一點，B，C兩點在直線l上，∠BAC＝90°，BC＝2BA．（1）按要求作圖：（保留作圖痕跡）①以A為圓心，BC為半徑作弧，再以C為圓心，AB為半徑作弧，兩弧交于點D；②作出所有以A，B，C，D為頂點的四邊形；（2）比較在（1）中所作出的線段BD與AC的大小關(guān)系．7．（2021·北京昌平·八年級期中）如圖，已知在正方形ABCD中，點M是對角線AC上一點，連接BM，在BM左側(cè)，以BM為邊作正方形BMEF，連接AF．(1)根據(jù)題意補全圖形；(2)猜想AF與CM的關(guān)系，并證明．(3)若正方形ABCD邊長是4，CM=32，求正方形BMEF8．（2021·北京昌平·八年級期中）在平面直角坐標系xOy中，若P，Q為某個矩形不相鄰的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“關(guān)聯(lián)矩形”．圖1為點P，Q的“關(guān)聯(lián)矩形”的示意圖，已知點A的坐標為(1,2)．(1)如圖2，點B的坐標為b,0．①若b=2，則點A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是_______；②若點A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是10，則b的值為_______．(2)如圖3，點C在直線y=5上，若點A，C的“相關(guān)矩形”是正方形，求直線AC的表達式；(3)如圖4，等邊△DEF的邊DE在y軸上，頂點F在x軸的正半軸上，點D的坐標為0,1．點M的坐標為2,m，若在△DEF的邊上存在一點N，使得點M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，請直接寫出m的取值范圍．9．（2021·北京昌平·八年級期中）下面是小李設(shè)計的“做菱形ABCD”的尺規(guī)作圖過程．已知：線段AC，如圖．求作：以線段AC為對角線的一個菱形ABCD．作法：（1）作線段AC的垂直平分線MN交AC點于O；（2）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交直線MN于點B，D；（3）順次連結(jié)點A，B，C，D．則四邊形ABCD即為所求作的菱形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：∵直線MN是AC的垂直平分線，∴OA=OC，MN⊥AC∵__________=__________①∴四邊形ABCD是平行四邊形（

）②∴平行四邊形ABCD是菱形（

）③10．（2021·北京大興·八年級期中）將矩形紙片ABCDAB<AD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖①）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D'處，折痕為EG（如圖②）；再展平紙片（如圖（1）判斷△EBG的形狀并加以證明；（2）用等式表示圖③中∠BEF與∠FEG之間的數(shù)量關(guān)系是：______．11．（2021·北京大興·八年級期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE//AC且DE=12AC，連接CE、OE，連接AE求證：OE=CD．12．（2021·北京大興·八年級期中）在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F．連接AE，若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)．13．（2021·北京大興·八年級期中）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB邊上一點，連接CE，過點E作EF⊥CE交AD于點F，作∠AEH=∠BEC，交射線FD于點H，交射線CD于點N．（1）如圖1，當點H與點F重合時，求BE的長；（2）如圖2，當點H在線段FD上時，用等式表示線段BE與DN之間的數(shù)量關(guān)系（其中2<BE≤3），并證明．14．（2021·北京朝陽·八年級期中）四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，點E在邊AB上，點F在AD的延長線上，且點E與點F關(guān)于直線CD對稱，過點E作EG∥AF交CD于點G，連接FG，DE．（1）求證：四邊形DEGF是菱形；（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四邊形DEGF的面積．15．（2021·北京朝陽·八年級期中）我們設(shè)定，當一條直線與一個正方形的邊有兩個不同的公共點時，稱這條直線與這個正方形相交．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點為A（2，1）、B（2，2）、C（1，2）．D（1，1）．（1）判斷直線y=13x+（2）若直線y=13x+b與正方形OABC16．（2021·北京房山·八年級期中）如圖1，在?ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點，AEBE（1）求證：AD＝AE；（2）當點P為線段BE上任意一點，連接DP，作EF⊥DP于點F，連接AF．①依題意補全圖形；②求證：DF﹣EF＝2AF．17．（2021·北京房山·八年級期中）已知：如圖，□ABCD中，E，F(xiàn)是AB，CD上兩點，且AE=CF．求證：DE=BF．18．（2021·北京大興·八年級期中）定義：在平面直角坐標系xOy中，矩形PQRS的一邊PQ平行于x軸，點M為RS（不與點R、S重合）上一點，當點M到PQ的距離為1時，稱M為PQ的“單位高點”，稱此時MP+MQ為PQ的“單位高距離”，已知P(1,1)，Q(4,1)．（1）在(2,0)，52,4，(3,2)所表示的點中，表示（2）要使PQ的“單位高距離”的值最小，“單位高點”M(t,0)應(yīng)在什么位置，在圖上標出它的位置，并求出這個“單位高距離”的最小值．19．（2021·北京房山·八年級期中）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2.若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關(guān)矩形”，如圖①為點P，Q的“相關(guān)矩形”的示意圖．已知點A的坐標為（2，1），（1）若點B的坐標為（4，0），直接寫出點A，B的“相關(guān)矩形”的面積；（2）若點C在y軸上，且點A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達式；（3）若點D的坐標為（4，2），當直線y＝kx﹣2與點A，D的“相關(guān)矩形”沒有公共點時，求k的取值范圍；（4）若點P在直線y＝﹣2x+2上，且點A，P的“相關(guān)矩形”為正方形，直接寫出點P的坐標20．（2021·北京朝陽·八年級期中）如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上（點E與點C、D不重合），過點E作FG⊥BE，F(xiàn)G與邊AD相交于點F，與邊BC的延長線相交于點G．（1）BE與FG有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論：；（2）DF、CG、CE的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論．（3）如果正方形的邊長是1，F(xiàn)G＝1.5，直接寫出點A到直線BE的距離．

參考答案1．(1)證明見解析(2)4【分析】(1)先根據(jù)兩組對邊分別平行，證明四邊形AECD是平行四邊形，然后再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明CD=AD，進而得到一組鄰邊相等，四邊形AECD是菱形；(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ADC=90°，進而得到四邊形AECD變?yōu)檎叫渭纯汕蟪銎涿娣e．(1)證明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=AD，∴四邊形AECD是菱形．(2)解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=AD=DB=2，∴∠B=∠BCD=45°，∴∠CDA=∠B+∠BCD=90°，∴四邊形AECD是正方形，∴S正方形AECD=CD2=4．【點睛】本題考查了菱形、正方形的判定定理及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識點，熟練掌握菱形及正方形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．AE=5【分析】由題意易得BF=6，則有CF=4，設(shè)EF=DE=x，則CE=8-x，然后根據(jù)勾股定理可建立方程求解x，最后問題可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=8，BC=10，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=∠D=90°，∵△ABF的面積是24，∴12∴BF=6，∴CF=4，由折疊的性質(zhì)可得：DE=EF，設(shè)EF=DE=x，則CE=8-x，在Rt△ECF中，由勾股定理可得：42解得：x=5，即DE=EF=5，在Rt△ADE中，AE=A【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．證明見解析【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，DE⊥AB，BF⊥CD證明四邊形BFDE為矩形，即可得證結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD∴∠CDE+∠DEB=180°∵DE⊥AB，BF⊥CD∴∠DEB=∠DFB=∠CDE=90°∴四邊形BFDE為矩形∴BE=DF【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識，關(guān)鍵在于熟練掌握這些知識．4．見解析【分析】先由已知條件證得四邊形ABEF是平行四邊形，再由AB=AF可得?ABEF是菱形．【詳解】證明：∵EF//AB，BE//AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=AF，∴?ABEF是菱形．【點睛】本題主要考查了菱形的判定，熟悉菱形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．5．見解析【分析】由已知E是BC邊中點，再證明△CEF≌△BED，得DE=FE，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可．【詳解】證明：∵CF//∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中點，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED∴DE=EF．∴四邊形CDBF是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．6．（1）見解析；（2）在四邊形ABDC中，BD＝AC；在四邊形ABCD'中，B【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）有兩種情形，分別求解．【詳解】解：（1）如圖，四邊形ABDC或四邊形ABCD'即為所作．（2）在四邊形ABDC和四邊形ABCD'中，∵AB=CD=CD'，∴四邊形ABDC和四邊形ABCD'是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，∴四邊形ABDC是矩形，∴BD＝AC，BD'＞∴在四邊形ABDC中，BD＝AC；在四邊形ABCD'中，BD'【點睛】本題主要考查了作圖—復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定，及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意作出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．7．(1)補畫圖形見解析；(2)AF=CM，CM⊥AF，證明見解析；(3)10【分析】（1）根據(jù)題意補畫圖形即可；（2）首先借助正方形的性質(zhì)證明△MBC與△FBA全等，進而可證AF=CM；由正方形的性質(zhì)及三角形全等，可證∠BAC與∠BAF均為45°，可證∠FAC=90°，即CM⊥AF．（3）過點F作FG⊥AB交AB于點G，由小問（2）的證明過程可知，△AFG為等腰直角三角形，又因為AF=CM=32，易得線段FG、BG長度，在直角三角形BFG中，根據(jù)勾股定理可得FB長度，即正方形BMEF(1)

如圖：(2)猜想：AF=CM，CM⊥AF證明：∵四邊形ABCD與四邊形BMEF為正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠FBM=90°，BM=BF，∴∠MBC+∠ABM=∠FBA+∠ABM，∴∠MBC=∠FBA在三角形△MBC與△FBA中，BM=BF∠MBC=∠FBA∴△MBC≌△FBA（SAS）∴AF=CM，∴∠FAB=∠BCM=90°，又∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC=∠BCA=∠BAF=45°，∴∠FAC=∠FAB+∠BAC=90°，∴CM⊥AF．(3)如圖2，過點F作FG⊥AB交AB于點G，∠AGF=∠BGF=90°，在Rt△AGF中，有FG∵∠FAB=45°，AF=CM=32∴AG=FG=3，∵AB=4，∴BG=AB?AG=4?3=1，在Rt△BGF中，F(xiàn)G∴BF=B即正方形BMEF邊長為10．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是綜合運用幾何知識逐步推斷和計算最終結(jié)果．8．(1)①2；②6或?4(2)y=x+1或y=?x+3(3)?3≤m≤3?2【分析】（1）①根據(jù)題意可得點B（2，0），再由“關(guān)聯(lián)矩形”的定義，即可求解；②分兩種情況討論：當b>1時，當b<1時，即可求解；（2）過點A(1,2)作直線y=5的垂線，垂足為點G，可得AG=3．再由點A，C的“相關(guān)矩形”AGCH是正方形，可得正方形AGCH的邊長為3．然后分兩種情況：當點C在直線x=1右側(cè)時，當點C在直線x=1左側(cè)時，利用待定系數(shù)法，即可求解；（3）根據(jù)題意可得OF=3，然后分三種情況討論：當點N在EF邊上時，當點N在DF(1)解：①如圖，∵b=2，∴點B（2，0），∵點A的坐標為(1,2)，∴點A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是2×2?1故答案為：2；②當b>1時，點A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是2×b?1∵點A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是10，∴2b?2=10，解得：b=6，當b<1時，點A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是2×1?b∵點A，B的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積是10，∴2?2b=10，解得：b=?4，綜上所述，b的值為6或-4；故答案為：6或-4；(2)解：過點A(1,2)作直線y=5的垂線，垂足為點G，則AG=5?2=3．∵點C在直線y=5上，點A，C的“相關(guān)矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的邊長為3．如圖，當點C在直線x=1右側(cè)時，CG=3，∵CG=3，∴C(4，5)．設(shè)直線AC的表達式為y=k把A(1,2)，C(4，5)代入，得：k1+b∴直線AC的表達式為y=x+1．

如圖，當點C在直線x=1左側(cè)時，∵CG=3，∴C(-2，5)．設(shè)直線AC的表達式為y=k把A(1,2)，C(-2，5)代入，得：k2+b∴直線AC的表達式為y=-x+3．綜上所述，直線AC的表達式為y=x+1或y=?x+3；(3)解：∵點M的坐標為2,m，∴點M在直線x=2上，∵△DEF是等邊三角形，且頂點F在x軸的正半軸上，點D的坐標為0,1．∴OD=OE=12∴DE=DF=EF=2，∴OF=3當點N在EF邊上時，若點N與點E重合時，點M、N的的“相關(guān)矩形”為正方形，則該正方形的邊長為2，∴點M2,?3或M若點N與F重合時，點M、N的的“相關(guān)矩形”為正方形，則該正方形的邊長為2?3∴點M2,3?2∴當點N在EF邊上時，m的取值范圍為?3≤m≤3?2或當點N在DF邊上時，若點N與點D重合，點M、N的的“相關(guān)矩形”為正方形，則該正方形的邊長為2，∴點M2,3或M若點N與點F重合時，點M、N的的“相關(guān)矩形”為正方形，則該正方形的邊長為2?3∴點M2,2?3或∴當點N在DF邊上時，m的取值范圍為2?3≤m≤3或當點N在DE邊上時，m的取值范圍為?3≤m≤?1或1≤m≤3綜上所述，m的取值范圍為?3≤m≤3?2或【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解新定義，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．9．(1)見解析(2)OB=OD，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定、菱形的判定方法解題．(1)解：菱形ABCD就是所求作圖形．(2)

OB=OD；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖—作菱形、平行四邊形的判定、菱形的判定等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．（1）等腰三角形，理由見解析；（2）答案不唯一，如∠BEF=2∠FEG【分析】（1）根據(jù)折疊，可知∠BEG=∠DEG，由AD//BC可知∠BEG=∠DEG，等量代換即可得∠BEG=∠BGE，根據(jù)等角對等邊即可判斷（2）由折疊，可知AE=EF=AB，∠AEB=∠BEF=45°，則∠DEG=∠GEB=45°+α，由平角的定義，列方程即可求得α，進而即可求得∠BEF與∠FEG之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】(1)等腰三角形；證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//∴∠BGE=∠DEG，由點D落在BE上，折痕為EG知，∠BEG=∠DEG，∴∠BEG=∠BGE，∴BG=BE，即△EBG為等腰三角形．（2）如圖，設(shè)∠FEG=α，∵四邊形ABCD是矩形，∵∠A=90°,∠ABF=90°，∵折疊，∴AE=EF,∠BFE=∠A，∴四邊形ABFE是正方形，∴∠AEB=∠BEF=45°，∴∠BEG=∠BEF+∠FEG=45°+α，由（1）可知∠BEG=∠DEG，∴∠AEB+∠BEG+∠DEF=180°，即45°+2(45°+α)=180°，解得α=22.5°，∴∠BEF=2∠FEG，故答案為：答案不唯一，如∠BEF=2∠FEG．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．11．見解析【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠COD=90°，OC=12AC，根據(jù)等量關(guān)系可得OC=DE，再根據(jù)平行四邊形的判定，矩形的判定可得四邊形OCED【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，OC=1∵DE=1∴OC=DE，∵DE//AC，∴DE//OC，∴四邊形OCED是平行四邊形，∴四邊形OCED是矩形，∴OE=CD．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是證明四邊形OCED是矩形．12．25°【分析】由對稱的性質(zhì)可得∠PAB=∠PAE=20°，從而∠EAB=40°，即可求得∠EAD的度數(shù)，再證明∠ADF=∠AED，進而可求解．【詳解】解：∵點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，∴AP是對稱軸，∴∠PAB=∠PAE=20°，∴∠EAB=2∠BAP=40°，AE=AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD∴AE=AD，∠EAD=130°，∴∠ADF=∠AED，∴∠ADF=180°?130°【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，證得AE=AD是解題的關(guān)鍵．13．（1）3；（2）DN=2BE?4，證明見解析【分析】（1）求出∠BEC=45°，由矩形的性質(zhì)推出BE=BC，即可得出答案；（2）過點E作EG⊥CN，垂足為點G，推出BE=CG，求出∠N=∠ECN，得出EN=EC，推出CN=2CG=2BE，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖，∵EF⊥EC，∴∠NEC=90°，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠AEF=∠BEC，∴∠BEC=45°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴BE=BC，∵BC=3，∴BE=3；（2）線段BE與DN之間的數(shù)量關(guān)系為DN=2BE?4．證明：如圖，過點E作EG⊥CN，垂足為點G，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB//CN，∴∠B=∠BCG=90°=∠EGC，∴四邊形BEGC是矩形，∴BE=CG，∵AB//CN，∴∠AEH=∠N，∠BEC=∠ECN，∵∠AEH=∠BEC，∴∠N=∠ECN，∴EN=EC，∴CN=2CG=2BE，∵CD=AB=4，∴CN=2CG=2BE=DN+4，∴DN=2BE?4．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1）見解析；（2）20【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可得FD＝ED，F(xiàn)G＝EG，可證△FDG≌△EDG，可得∠EDG＝∠FDG，由平行線的性質(zhì)可得∠EGD＝∠FDG＝∠EDG，可得ED＝EG，可得結(jié)論；（2）連接FC，EC，先證四邊形ABCF是矩形，可得AB＝CF，由軸對稱的性質(zhì)可得CE＝CF＝10，由勾股定理可求BE，AE，DF的長，即可求解．【詳解】證明：（1）∵點E與點F關(guān)于直線CD對稱，∴FD＝ED，F(xiàn)G＝EG，且DG＝DG，∴△FDG≌△EDG（SSS），∴∠EDG＝∠FDG，∵EG∥AF，∴∠EGD＝∠FDG，∴∠EGD＝∠EDG，∴ED＝EG，∴FD＝ED＝FG＝EG，∴四邊形DEGF是菱形；（2）連接FC，EC，則CE＝CF∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥CB，且AF＝BC＝8，∴四邊形ABCF是平行四邊形，且∠A＝90°，∴四邊形ABCF是矩形，∴CE＝CF＝AB＝10，在Rt△BCE中，∴BE=C∴AE＝4，設(shè)FD＝ED＝FG＝EG＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5．∴S＝5×4＝20．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．15．（1）交點為（1，76），（2，32【分析】（1）當x＝2、x＝1時求出對應(yīng)的y的值就可以求出直線與正方形的交點坐標而得出結(jié)論；（2）分別求出直線經(jīng)過A、B、C、D時b的值即可求得．【詳解】解：（1）∵A（2，1）、B（2，2）、C（1，2）．D（1，1）．把x＝2代入y=13x+56得，y＝1把x＝1代入y=13x+56得，y＝1∴直線y=13x+56與正方形OABC（2）直線y=13x+b經(jīng)過A（2，1）時，b直線y=13x+b經(jīng)過B（2，2）時，b直線y=13x+b經(jīng)過C（1，4）時，b直線y=13x+b經(jīng)過D（1，1）時，∵直線y=13x+b∴b的取值范圍為13【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像上的點的特征，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，正方形的性質(zhì)，求得一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．16．（1）見詳解；（2）①圖見詳解；②見詳解【分析】

（1）由題意易得AD=BC=2BE，然后由AEBE（2）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②在線段DF上截取DH=EF，連接AH，由題意易得∠AEP=∠EAD=∠EFP=90°，∠EPF=∠ADH，則有∠EPF=∠AEF=∠ADH，進而可證△AEF≌△ADH，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得△FAH是等腰直角三角形，最后問題可求證．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∵點E恰為BC的中點，∴AD=BC=2BE，∵AEBE∴AD＝AE；（2）①由題意可得如圖所示：②證明：在線段DF上截取DH=EF，連接AH，如圖所示：∵EF⊥DP，AE⊥BC，AD//∴∠AEP=∠EAD=∠EFP=90°，∠EPF=∠ADH，∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=∠EAH+∠DAH=90°，∴∠EPF=∠AEF=∠ADH，∵AD＝AE，∴△AEF≌△ADHSAS∴∠DAH=∠EAF,AF=AH，∴∠EAF+∠EAH=∠FAH=90°，∴△FAH是等腰直角三角形，∴FH=2∵FH=DF-DH=DF-EF，∴DF?EF=2【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．17．見解析【分析】要證DE=BF，只需證四邊形DEBF是平行四邊形，證得BE=DF，BE∥DF，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證．【詳解】在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∵AE=CF，∴BE=DF，BE∥DF．∴四邊形DEBF是平行四邊形．∴DE=BF．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)．利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等是解題的關(guān)鍵．18．（1）(2,0)、(3,2)；（2）圖見解析，13．【分析】（1）根據(jù)“單位高點”的定義結(jié)合P、Q兩點坐標，可求得M的縱坐標，由矩形性質(zhì)結(jié)合M點的位置可求得M點的坐標；（2）作點P關(guān)于x軸的對稱點P'，連接P'Q，與x此時P'【詳解】（1）∵P(1，1)，Q(4，1)，如圖∴點P，Q在直線y=1上∵M到PQ的距離為1時，M是PQ的“單位高點”∴M在直線y=2或y=0上∴M點縱坐標為2或0∵四邊形PQRS是矩形，M在RS上∴PS=QR=1，SR=PQ=3∴S(1，2)，R(4，2)或S'(1，0)，R∵M在SR上，令M(a，b)∴1<a<4，b=2或0∴表示PQ的“最高單位點”的坐標是(2，0)，(3，2)故答案為：(2,0)、(3,2)（2）如圖，作點P關(guān)于x軸的對稱點P'，連接P'Q，與x軸的交點即為“單位高點”M(t,0)∵P(1,1)∴P根據(jù)題意，可知PP'=2，∴由勾股定理得：P∴“單位高距離”的最小值是13．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，勾股定理，確定點M的位置是關(guān)鍵．19．（1）點A，B的“相關(guān)矩形”的面積為2；（2）直線AC的表達式為y=?x+3或y=x?1；（3）k<34或k>2；（4）P1,0【分析】（1）根據(jù)“相關(guān)矩形”畫出圖象，求出矩形長、寬即可得面積；（2）根據(jù)已知畫出圖象，分別求出C、C'（3）求出點A、D的“相關(guān)矩形”的另外兩個頂點，M坐標為（4，1），N坐標為（2，2），再計算直線y=kx?2恰好經(jīng)過M、N時的k值，數(shù)形結(jié)合即可得出k的范圍；（4）設(shè)Pm,?2m+2，根據(jù)點A、P的“相關(guān)矩形”為正方形列方程，求出m即可得出點P【詳解】解：（1）點A、B的“相關(guān)矩形”如圖：∵點A的坐標為（2，1），點B的坐標為（4，0），∴AM=1,BM=4?2=2，∴點A，B的“相關(guān)矩形”的面積為AM?BM=2；（2）由題意可得如圖所示：∵點A的坐標為（2，1），∴AN=2，若A、C的“相關(guān)矩形”為正方形