利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(解析版)-2023年新高考數(shù)學(xué)之導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)重難點(diǎn)突破（新高考專用）

專題15利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

一、單選題

1.已知函數(shù)/(力=/+訛*-1(〃€尺)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.［一對(duì)B.一訓(xùn)C.D.

【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得，f\x)=2x+ae,

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=Y+ae'-1(awR)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以/'(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即2x+ae'=0有兩個(gè)不等實(shí)根，

亦即-有兩個(gè)不等實(shí)根.令g(x)=|^,則g，(x)=g?

可知g(x)在(7,1)上單調(diào)遞增，在(1,物)上單調(diào)遞減，

2

所以g(x)max=g(l)=%，又因?yàn)楫?dāng)X<0時(shí)，g(x)<0，當(dāng)X>0時(shí)，g(%)>0,

2/、

所以—a<—e,解得—2W<。<0,即。的范圍是t—2一,0\.故選：B

-?>0eIeJ

2.若方程2丁-6/+4+帆=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則/的取值范圍()

A.(-6,0)B.(-6,2)C.(-4,4)D.(0,4)

【解析】設(shè)/(x)=2/-6x2+6,xeR,令尸(x)=6x2-12x=0,解得x=O或2,

則尸(x),〃*)隨x的變化如下表

X(-8,0)0(0,2)2(2,+oo)

(⑺+0—0+

“X)單調(diào)遞增極大值4單調(diào)遞減極小值-4單調(diào)遞增

則當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有極大值"0)=4；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值〃2)=T,

又當(dāng)x->-8時(shí)，/(x)f-oo,當(dāng)x.田，/(x)->+oo,

所以當(dāng)7<一m<4時(shí)，ZV-GY+GMTM有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，止匕時(shí)T<m<4,故選：C.

3.若關(guān)于％的方程依-lnx=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是()

A.y,e)B.18,g)C.[*)D.(0,e)

【解析】由題意得％=膽，設(shè)/(*)=叱，/(》)=上坐.

XXX"

當(dāng)0<x<e時(shí)，r(x)>0,/(x)為增函數(shù)；

當(dāng)x>e時(shí)，fW<0,f(x)為減函數(shù)，且/(x)>0.

所以/*)有最大值f(e)=L簡(jiǎn)圖如下,

e

Inx,x>0

設(shè)函數(shù)

4./(x)=，<v<o,若方程〃x)=x+b有3個(gè)不同的實(shí)根，則匕的取值范圍為()

C.(0,1)D.(1,+℃)

lnx-x,x>0

【解析】令g(x)=f(x)-x=-

一,x<0

,x

方程〃x)=x+b有3個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于g(x)與y=b有3個(gè)不同的交點(diǎn);

11—Y

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)=—―1=-

XX

則當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)時(shí)?，g'(x)<0；

r.g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(l,+oo)上單調(diào)遞減，r.g(x)1rax=g6=-l；

則可得g(x)圖象如下圖所示,

由圖象可知：當(dāng)。<-1時(shí)，g(x)與y=6有3個(gè)不同的交點(diǎn)；

綜上所述：實(shí)數(shù)人的取值范圍為故選：A.

5.若關(guān)于x的方程1-x+2xln-如=0在區(qū)間ge)內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)切的取值范圍為()

A.(1—21n2,e—3]B.1—2In2,----C.(1-21n2,---1D.(1—21n2,e—3)

【解析】依題意關(guān)于X的方程1T+2H-0在區(qū)喉。內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，

A

m=-+2\nx-i,構(gòu)造函數(shù)/(x)=，+21iu：_l(，<K<e],/(x)=--y+—="2,

XX\)XXX

所以f(x)在區(qū)間C，/(x)<0J(x)遞減；在區(qū)間遞增.

/^=2-21n2-l=l-21n2,/(j=e-2-1=e-3,/(e)=-+2-l=—,

所以-21n2,e-3).故選:D

6.已知函數(shù)/(耳=高，若關(guān)于*的方程[/(同1+4(司+。-1=0有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是()

A.(-2e,l—e)B.(1—e,0)C.(—co,l—e)D.(1—e,2e)

【解析】因?yàn)椤▁)=m，所以:(對(duì)=臀^,

Inx(Inx)

當(dāng)xe(0,l)u(l，e),/,(x)<0；當(dāng)xe(e,+oo),/,(x)>0,

所以f(x)在(0,1)和(l,e)單調(diào)遞減，在(e,飲)單調(diào)遞增，

且當(dāng)xf0時(shí)，〃x)-0,/(e)=e,故/(x)的大致圖象如圖所示：

關(guān)于x的方程[〃x)于+4(x)+a—1=0等價(jià)于[/(x)+1](x)+a—1]=0,

即f(x)=T或〃x)=l-a,由圖知，方程〃x)=-l有且僅有一解，則〃x)=l-a有兩解,

所以1一解得。<l-e,故選:C.

7.已知曲線/(x)=lnx+2x與曲線g(x)=a(d+x)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(F,0)B.(0,1]C.(O,+a>)D.(0,1)

【解析】根據(jù)題意，可得函數(shù)/(X)的定義域?yàn)椋簒e(0,+=o)

方程lnx+2x=a(f+x)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,..?%>0,即得f+%>0,

...方程。=吧上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

X~+X

此時(shí)令3)=塔巨(》>0),則直線y=a與函數(shù)y=/i(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

r+X

1,

(—+2)(r+x)—(lux+2x)(2x+1)[、八.x

?.?“=、/'=一(2x+l)(lnx+l)

(x2+x)2(X2+x)2

令"(x)=0,貝I」有x=-g,或x=l,../i'(x)>0n0<x<l；〃(x)<0=>x>l,

./(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,/(xLi(1)=1,

???當(dāng)x70時(shí)，h(x)->-oo；當(dāng)％—>+oo時(shí)，h(x)>0

?.?若使直線y=a與y=A(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，則需使Ovavl.故選：D.

8.若方程”?+辦一einx+e?=0在區(qū)間(。,+8)內(nèi)有2個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-e2-1,1-2^]B.(-

C.(口』-2e]D.(-oo,l-2e)

【解析】由V+ar—&6v+/=。，得x+J+a=,

xx

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/(x)=x+二+a,/'(x)=1-二=(x+e),e),

所以〃x)在區(qū)間(O,e)內(nèi)f(x)<0,單調(diào)遞減,在區(qū)間3+?)內(nèi)/(x)>OJ(x)單調(diào)遞增,

而函數(shù)g(x)=^^,g<x)=e/

g(x)在區(qū)間(0,e)內(nèi)g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,+oo)內(nèi)g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則只需f(e)<g(e)即可,

即2e+a<---=1,解得。<1—2e.故選：D

e

9.己知關(guān)于x的方程V+2=xlnx+A:(x+2)在;,+8)上有兩解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A.(1,1+-^-]B.+C.(1,2]D.(I,e]

【解析】由x的方程x2+2=x/nr+?(x+2),則憶=『-皿猶+2,xe[l>+oo)；

x+22

,、x2-xlnx+2l,、,x2+3x-2/nx-4

設(shè)&(x)=———--%￡[r-,+<?),則g'(x)=------------，

令"(x)=x?+3x-2/nx-4,xe[g,+<?),貝=~1)(1+2)..。,

即y=a(x)在弓,+8)上為增函數(shù)，⑴=0,；.gr)=o,

當(dāng)L,,X<1時(shí)，h(x)<0,.,.g，(x)<0,當(dāng)X>1時(shí)，〃(x)>(),g'(x)>0,

2

?關(guān)于x的方程/+2=*/.+/+2)在g,+?)上有兩解，.,.g(l)<*,,g(g),

-/1、9+2ln2刖1.9+2ln2...八

又g(5)=[0，即1<工，]0,故選：B

x,x<0,

10.已知函數(shù)f(x)=131/A2、c若方程f(x)="-L恰有3個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取

—X-i(a+l)x4-ux,x0,48

值范圍為()

A.(-?,2)B.C.[-p2]D.(；1)

【解析】由題，當(dāng)x<0時(shí)，令g(x)=/(x)-ar+l=x-or+4=(l一。)工+」，

根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得1一。>0=>。<1,此時(shí)有一個(gè)根，1一此時(shí)無根；

當(dāng)了20時(shí)，令g(x)=-d—(+1)x2+cix-cix=-x^—(iz+l)%24f求導(dǎo)

g'(x)=*2_(〃+l)x=x[x-(a+l)],

令g，(x)=0n%=0或r2=a+l,當(dāng)4+l<0時(shí)，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故無零點(diǎn)，不滿足題意;

當(dāng)〃+1>0時(shí)，g(x)在(0M+1)單調(diào)遞減,在(。+1,+。)單調(diào)遞增,

由題，函數(shù)”力恰有3個(gè)零點(diǎn)，則說明在當(dāng)x<0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn),

在x20時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，故可知〃<1且g(a+l)<0,

所以g(Q+l)=：(Q+l)3_:(a+l)(Q+])~+±=_：(a+])3+±<0,解得"二;

j24oo4o2

綜上可得故選：B

11.若關(guān)于X的方程(X+1乂》-3厘+1)+2/62，=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則/的取值可以是(

B.--

e

【解析】(x+l)(x-3/ex+l)+2r*12e2x=0<?(x+l)2-3r(x+l)ex+2r2e2x=0

+2/=0=

y1

相當(dāng)于用y=f和y=2f這兩條水平的直線去截函數(shù)〃x)=—的圖像一共要有兩個(gè)交點(diǎn).

f'(x)=~,所以當(dāng)尤<o時(shí),r(x)<o；當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0.

所以函數(shù)的增區(qū)間為(f>，0)，減區(qū)間為(0，e).且當(dāng)x取TO時(shí)，/(x)<0,當(dāng)x取+<?時(shí)，f(x)>(),

/(無)max=A。)=1.所以函數(shù)“力=號(hào)圖象如圖所示,

2424

當(dāng),=時(shí)，2r=—,y=——和>=——和函數(shù)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，共有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；

eeee

1212

當(dāng)/=--時(shí)，2r=—,y=——和丁=——和函數(shù)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，共有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；

eeee

1?12

當(dāng)?時(shí)?，2t=-t>=上和丁=士和函數(shù)的圖象各有兩個(gè)交點(diǎn)，共有四個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；

eeee

2424

當(dāng)，二一時(shí)，2/=-，)，=一和)，=一和函數(shù)的圖象各有兩個(gè)交點(diǎn)和零個(gè)交點(diǎn)，共有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意.

eeee

故選：ABD

fxx>0

12.已知函數(shù)〃x)=；”g(x)=ex(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若關(guān)于x的方程g(/(x))-m=。恰有兩

\e",x<0

個(gè)不等實(shí)根4、*2，且占<%,則X?-X1的可能取值是()

A.—(1—In2)B.1—ln2C.—FIn2D.—(1+In2)

222

【解析】方程g(f(x))-m=0等價(jià)于：

fx>0fx<0

、和1戶共有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根不、巧，且玉〈三，

IO—F>1eXI*—=m

[x>0]xWO

故相>1且々為方程的根，為為自的根.

\e'v=m[e=m

故/=lnm,故x=；ln(lnm),因?yàn)椋?lt;0,故In機(jī)vl即加<c,故

故m—石=In/n--ln(lnni),設(shè)s=lnmw(0,l),g(<s)=s--\ns,貝(jg，(s)=]_'=^~~-,

222s2s

當(dāng)0<s<g時(shí)，g'(s)<0；當(dāng);<s<l時(shí)，g'(s)>0；

故g(s)在(0,力上為減函數(shù)，在。，1)為增函數(shù)，故g(s)在(0,1)的值域?yàn)椋?Jn2,+?)),

E、1_Iic11131c1-3In2八1__11-

因?yàn)閉—In2------l1n2=----ln2=-------<0,—(1-In2)<—+—In2,

22222222

-+In2>-+-ln2.%ja：CD.

222l

13.已知/(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)=gx2-/(o)x+/”)ei,若g*)=/(x)_gx2

,方程

g(x)-ax=O有且只有一個(gè)根，則〃的取值可能是()

A.eB.1C.—1D.—

2

【解析】由/(x)=gx2-/(o)x+r(l)ei,得〃0)=r⑴el

r(x)=-(o)+r⑴.-./-(i)=i-r(i)e-i+^(i),.?.r(i)=e,

則/(0)=6,/=1,則f(x)=gx2-x+e“，Ag(x)=/(x)-^x2+x=ev,

方程g(x)-如=0，即e'=?x,x=0時(shí)方程顯然無解；

X<0時(shí)，對(duì)于任意〃v0,函數(shù)丁=靖與丁=◎有?個(gè)交點(diǎn)，滿足題意;

x>0時(shí)，則。=",令〃(x)=J,則="J=e(：I

xXXX"

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，h'(x)<0,當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，//(x)>0,

6（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增,

又當(dāng)X.0+時(shí)，/?（力—+00,當(dāng)X―時(shí)，/?（x）在（0,+8）時(shí)的圖象如圖:

由圖可知，”=e時(shí)，方程。=￡有一根，綜上，”的取值范圍為(Y)，O)U{e},故選：ACD.

土+_1“0

14.已知函數(shù)2/，若關(guān)于x的方程2/2(x)-/(力+f=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則f的取

ln(l-x),JC<0

值可以為().

A.—3^2B.—4C.-3D.3

【解析】當(dāng)工￡(一8,0］時(shí)，/(x)=ln(l-x),單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=—+-,f'(x\=x-=^,當(dāng)xe(l,+o>)時(shí)，/'(力>0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(O,l)

2xxx

時(shí)，r(x)<0,“X)單調(diào)遞減，所以在x=l時(shí)，“X)取得最小值，/(1)=|,畫出“X)的圖象,

令"x)=〃?，則方程為2〃?2一根+「=0，要想方程2r(同一/(司+￡=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合“X)的圖

象可知需要滿足：2加2-"+/=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根叫，利，

333

滿足：叫=5且04e<5或滿足：叫>5且“<。,

令g(機(jī))=2〃z2-，”+f,則2*(|)-|+r=3+f=0,即f=-3,當(dāng)2加2-初-3=0時(shí)，另外一個(gè)根為-1,不

3

符合叫=］且。<竹<1；

g(O)=f<0

3

當(dāng)網(wǎng)>］且?<0時(shí)，必須，(3]八,所以/'<-3.

尸。

綜上，r<-3.故選：AB.

三、填空題

15.若方程x—m=ex在區(qū)間［0,1］有且只有一解，則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是.

【解析】已知方程化為機(jī)=x-e3

設(shè)/Xx)=x—e"xe［0,l］,貝ijf'(x)=l-e*40,

F(x)在［0,1］上單調(diào)遞減,/(0)=-1,/(D=l-e,所以l-eW〃zW-l.

16.若曲線y=叱與、=履2-：僅有1個(gè)公共點(diǎn)，則％的取值范圍是_________.

x2

【解析】由題意可得：媽=發(fā)-；只有一個(gè)解(x>0),即氏=華+白只有一個(gè)解.

令g(x)=￥+*，(x>0),原問題等價(jià)于丫=人與y=8(力只有一個(gè)交點(diǎn).

l-31nx1l-3\nx-x

因?yàn)間'(x)=

因?yàn)閥=l-31nx-x在(0,+8)上單調(diào)遞減，且在x=l處的值為0,

所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g")>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,+(?)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減且恒為正,

所以g(X)nKK=g6=g,又因?yàn)檠?左與y=g(x)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以Ae(-8,0]U?].

17.若函數(shù)/(x)=2-e，+/nd在xe1,2上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是.

【解析】/'(x)=Y*+2/nr,

由〃x)=2-e'+,n/在xe1,2上有兩個(gè)極值點(diǎn)知，/'(力=-爐+2痛=0在》€(wěn)1,2上有兩個(gè)不等的根,

e

即2機(jī)=匚在1€-,2上有兩個(gè)不等的根.令g(x)=J,xe—,2則g，⑴§=卓,

x2

當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)1<X<2時(shí)，g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在儀』1上單調(diào)遞減，在U,2]上單調(diào)遞增，

2

1L/—已2

故當(dāng)X=1時(shí)g(x)min=煎1)=。?又g(])=2e2=2屈<g(2)=],

Xj

所以e<2機(jī)即5<加工血時(shí)，2〃?=土在工￡不2上有兩個(gè)不等的根,

2x1_2_

r—

即函數(shù)/。)=2-/+松2在xe-1,2上有兩個(gè)極值點(diǎn).故答案為：^A<m<^

18.己知關(guān)于x的方程(x2+f3)lnx=3-lnr有三個(gè)實(shí)數(shù)根，貝打的取值范圍是

【解析】方程(尤2+/)[11犬=3-111f即方程了2111%+『111；1-3『111"0,

令=lnx+/3lnx-3z3lnr(x>0),則f'{x}=2xlnx+x+—=x^21nx+l+-^-^,

令g(x)=21nx+l+j,貝i]g[x)=----~時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>[時(shí)'g'(x)>°，

xX

(3\(I\

所以函數(shù)g(x)在01上遞減，在戶,田上遞增，

所以g（x）min=gr=31nf+2,因?yàn)殛P(guān)于X的方程*2+為inx=3Pln/有三個(gè)實(shí)數(shù)根，

\7

即函數(shù)〃x）=x21nx+rinx—3-lnf（x＞0）有3個(gè)零點(diǎn)，

則31nf+2c0,所以，w（o,e3,因?yàn)閤-＞0ll寸，g（x）-＞+??,當(dāng)xf+8時(shí)，g（x）-＞+＜?,

所以函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)—不妨設(shè)％＜工2，則0＜玉＜戶＜々，

當(dāng)0＜%＜不或時(shí)，/'（%）＞。，當(dāng)王V人＜X2時(shí)，r（x）＜o(jì),

所以函數(shù)/（力在（0/J和（4口）上遞增，在（公占）上遞減，

又因X.0時(shí)，"x）-＞Y0,當(dāng)XfE時(shí)，/（X）^-H3O,

333

ft2=-z3lnr+-r3lnr-3r3lnz=O,,

Jr\r\，U0＜＜r八r］＜2＜人,，

V7z/

所以函數(shù)〃司=9111%+力1―3『111〃》＞0）有3個(gè)零點(diǎn)，

（2\

即關(guān)于x的方程，+f3）inx=3Plnr有三個(gè)實(shí)數(shù)根，所以f的取值范圍是0,”.

四、解答題

19.已知函數(shù)“xblnx-；"?-2x

⑴若”3,求f（x）的增區(qū)間；

（2）若。＜0,且函數(shù)〃x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求。的取值范圍；

⑶若“=-g且關(guān)于x的方程〃x）=-gx+〃在［1,4］上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

(3x-l)(x+1)

【解析】（l）〃x）的定義域是（0,+8）,4=3時(shí)，r（x）=i-3x-2=

x

令r(x)>0,得。<X<；,.?.函數(shù)〃X)的增區(qū)間是(o,；.

(2)/(力=/-狽一2,由函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，知r(x)V0在(0,+8)上有解區(qū)間，.?4-以一240,

即而4二=仕_1丫-12-1,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取等號(hào)，.??。>一1,(當(dāng)q=T時(shí)，不等式只有

XXXX\x)

唯一的解x=l,不符題意舍去)，又。<0,?,?。的取值范圍是(-1，0).

(3)〃=一；時(shí)，/(x)=lnx+-^-x2-2x,則/(x)=_gx+b=lar+^-x2~~x?

2

^^(x)=lnx+-x--^x(l<x<4),l/llj=l+=―—之),

當(dāng)1cx<2時(shí)，g'(x)<0,g(x)遞減;當(dāng)2cx<4時(shí),g[x)>0,g(x)遞增.

，g(x)min=g(2)=ln2-2,又g⑴=一,g(4)=In4-2,g(l)<g(4),

A\n2-2<h<―,即實(shí)數(shù)6的取值范圍是1n2-2,-g.

20.已知函數(shù)/(x)=(x+l)e”.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若方程〃x)=a有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)的定義域是R,If(x)=(x+2)e',./(力=0可得x=-2,

X-2(-2,+oo)

〃x)—04-

/(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)

所以f(x)的單增區(qū)間是(-2,”)，單減區(qū)間是(口,-2)

當(dāng)x=-2時(shí)，/(X)取得極小值〃-2)=-1,無極大值.

(2)由(1)以及當(dāng)x—+x>,/(x)->+oo,

2

xfYo,/(x)->0,/(x)n.n=-e-,因?yàn)榉匠?(x)=a有兩個(gè)不同的解,

所以a的取值范圍為(-r,0).

x

21.已知函數(shù)/(x)=；—a(aeR)

e

(1)求函數(shù)，(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方程〃x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

YpX—Ypx1—Y

【解析】(1)V(aeR)，WW/，U)=￡-^=-LT￡

e(e)e

.?.當(dāng)x<l時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)，r(x)<0；

即/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(7,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8).

(2)由/*)=；-。=0得。=三，

ee

將此方程的根看作函數(shù)y==與y=。的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

e

x

由(1)知函數(shù)y=T■在x=l時(shí)有極大值1上，作出其大致圖象，

ee

二實(shí)數(shù)。的取值范圍是0<a<L

22.己知函數(shù)〃x)=alnx+加圖象上點(diǎn)P(1J(1))處的切線方程為2x-y-3=0.

(1)求函數(shù)y=〃x)的解析式；

(2)函數(shù)g(x)=/(x)+〃Lln4,若方程g(x)=O在^2上恰有兩解,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

【解析】(D由題意可知/'("=2+次(x>0)

???函數(shù)/(x)=alnx+而圖象上點(diǎn)處的切線方程為2x-y-3=0

?/、/、14+2/?=2,、)

二-==二人__[，：,a=4,h=-l,.\/(x)=41nx-x2；

(2)函數(shù)g(x)=/(x)+?2—1114=4111%一爐+——ln4(x>0),

貝gU'(x)=：-2x(x>0),.,.當(dāng)xe1時(shí)，gz(x)>0；當(dāng)xe(&,2]時(shí)，g[x)<0；

二函數(shù)在，啦)匕單調(diào)增，在(應(yīng)，2]上單調(diào)減，?.?方程g(x)=O在1,2上恰有兩解，

-4——-+A?z-ln4<0

田。e-

g(&)>0，.1-2+加>0,解得2<"i?4—21n2.

g⑵4041n2-4+w-ln4<0

23.已知函數(shù)/(x)=lnx-or+l,其中aeR.

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若f(x)=2x有且僅有兩個(gè)不相等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】⑴f(x)的定義域?yàn)?0,+8),尸(》)=9。=與匕

當(dāng)“V0時(shí)，f'(x)>0恒成立，所以/(x)在(0,+司上遞增：

當(dāng)〃〉0時(shí)，在區(qū)間(0,J,/'(x)>0J(x)遞增；在區(qū)間(!，+s|j'(x)<OJ(x)遞減.

(2)依題意/(%)=2x有且僅有兩個(gè)不相等實(shí)根，

即Inx-依+l=2x(x>0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

4=呷1一2,構(gòu)造函數(shù)九(司=5--2口>0),

〃'(》)=普，所以用力在區(qū)間(O，l)，〃(x)>O，Mx)遞增;在區(qū)間(1,M)/'(X)<0,/Z(X)遞減.

所以Mx).=〃⑴=-1.6(/)=-2,當(dāng)x>l時(shí)，lnx>0,/?(%)=lnA+1-2>-2,

xf+8,〃(x)f-2,所以。的取值范圍是(-2,-1).

24.已知函數(shù)〃x)=adnx(a0O),函數(shù)g(x)=依一1.

⑴求/(力的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)”=1時(shí)，若"X)與g(x)的圖象在區(qū)間ke上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求人的取值范圍.

【解析】⑴由題意可得“X)的定義域?yàn)?0,+司，且r(x)=alnx+a.

①當(dāng)a>0時(shí)，由r(x)>。，得x>：；由/'(x)<0,得0cx<：.

故函數(shù)f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為g,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,).

②當(dāng)a<0時(shí)，由/'(x)<0,得x>:;由/'(x)>0,得

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為(0《).

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為g,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,：)；

當(dāng)時(shí)，.“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為g+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)

(2)當(dāng)。=1時(shí),令/(x)=g(x),得xlnx=Ax-l,H|J=lnx+—,

則/(X)與g(x)的圖象在-,e上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，等價(jià)于氏=lnx+2在1,e上有兩個(gè)不同的實(shí)根.

^/z(x)=lnx+-f-<x<el,貝！--

xyeJXXX

由〃(x)>0,得l<x4e；由廳(x)<0,W1<x<l.

函數(shù)〃(x)在(l,e］上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故〃(了)2刈1)=1.

因?yàn)??(j=e-l,/?(e)=-+l,且=e-/-2>0,

所以要使％=lnx+，在-,e上有兩個(gè)不同的實(shí)根，貝ijl<k4，+l,

xLeJe

即&的取值范圍為(1++1?

25.已知函數(shù)/(x)=ar-l-e*,?eR.

(1)討論函數(shù)/(*)的單調(diào)性；

(2)若方程/(x)=xlnx在(l,e)上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(l)r(x)=Q—e',

a?0時(shí)，/'(%)<0,f(可在R上單調(diào)遞減；〃〉0時(shí)，x<\na,/z(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

x>\na,r(x)<0,F(x)單調(diào)遞減；綜上，a<0時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞減；

〃>0時(shí)，貝外在(e,Ina)單調(diào)遞增，在(Ina,+。)單調(diào)遞減.

(2)/(x)=x\nx=>ar-1-ev=x\nx=>a=—e-,^g(x)=e-,l<x<e,

貝Ug，(x)=W+l+e')x：xl-l-e，=(x-“l(fā)+e，)>0,

；.g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，

g(x)G(g(l),g(e))=(l+e,l+ee1+e-'),?G(l+e,l+ee-'+e

26.已知函數(shù)〃x)=lnx-ar在x=2處的切線與直線x+2y-3=0平行.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若關(guān)于x的方程/(》)+，〃=2彳--在1>2上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)函數(shù)〃x)=lnx—ai的導(dǎo)數(shù)為尸(x)=：-a,

即有在x=2處的切線/的斜率為;-a,由切線/與直線x+2y-3=0平行，

即有g(shù)_"=_；，解得a=l;

(2)關(guān)于》的方程”工)+加=2*-/在12上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即有-〃?=lnx-3x+x2在g,2上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令g(x)=lnx-3x+x2,

g，("一3+2x=i+2Uxf(l),

XXX

當(dāng)g<x<l時(shí)，g[x)<0,g(x)遞減，當(dāng)1<X<2時(shí)，g<x)>0,g(x)遞增.

即有x=l處g(x)取得最小值，且為一2,又g(；)=-ln2-；,g(2)=ln2-2,

g(2)-g(g)=ln4-q>0,/.-2<-/n<-ln2-^,解得ln2+〃？<2.

27.已知函數(shù)f(x)=xlnx

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(lj(l))處的切線方程；

⑵求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若方程/(耳-"+1=0在Je上有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解析】(I)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=xlnx,所以/'(x)=lnx+x-J=Inx+l,./,,(l)=lnl+l=l.

又因?yàn)椤?)=。則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為產(chǎn)x-1.

(2)函數(shù)，(x)=xlnx定義域?yàn)?0,+8),由⑴可知，r(x)=lnx+l.

令ra)=o解得x=J

“X)與/'(X)在區(qū)間(0,+8)上的情況如下:

2_

X

H)e

—0+

f(x)極小值/

所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是1%+8)：/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(of).

⑶方程"x)-5+l=0在J，e上有兩個(gè)相異實(shí)根,即方程xlnx-公+1=0在g,e

上有兩個(gè)相異實(shí)根,

即a=lnx+，在-,e上有兩個(gè)相異實(shí)根，令g(x)=lnx+L則g'(x)=」--^=土1

XLeJXXX'}

當(dāng)xe時(shí):gtx)<0,當(dāng)X￡［1同時(shí)-，g'(x)>0,

所以g(x)在：/)單調(diào)遞減，在［l,e］上單調(diào)遞增，

又g⑴=1,g(：)=e-l,g(e)=l+J所以g(j-g(e)=e-!-2>0,

要使a=lnx+L在-,e上有兩個(gè)相異實(shí)根，須I<a41+L

xLeJe

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(l，l+g.

28.己知函數(shù)/(x)=x-lnx-l.

⑴求/(x)的最小值;

(2)設(shè)f(x)=xln尤-2x+f(x),若尸(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根再,*2(3<、2)，證明:X{x2=1.

【解析】⑴/⑶的定義域?yàn)?0，*).fXx)=\--=-,

XX

X—1

令/'(x)=0,即一=0,解得x=l,

X

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，f^x)<0；當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，制x)>0,

所以f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1，住)單調(diào)遞增，

故x=l是“X)在(。，+8)的唯一最小值點(diǎn).

所以〃x)mM=，(l)=lTnl-l=().

⑵F(尤)=xlnx-2x+〃x)=(x-l)lnx-x-l,尸(x)定義域?yàn)?0,+a)),

因?yàn)镕\x)=Inx—.所以F'(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

又F'⑴=-l<0,r(2)=221Ll>o,故存在瓦?1,2),使得F(x0)=().

所以當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，HxXO,尸(x)在(0,與)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(x0,g)時(shí)，F(xiàn)\x)>0,尸(x)在(%,初)上單調(diào)遞增.

因?yàn)槭?x)=O有且僅有兩個(gè)實(shí)根士仔，所以X|W(O,X。)，x2€(X0,+O0)

22

又尸(%)〈尸(2)=ln2-3<0,F(e)=e-3>0,f|.F(x2)=O

所以2<x,<e2,故又F(L)=4-l)ln」--!~-l=>^=0

"ex22Xjx2x2x2x2

又尸(x)在(%,y)單調(diào)遞減，