高中數(shù)學(xué)第2章解析幾何初步階段綜合提升第3課圓的方程與空間直角坐標(biāo)系數(shù)學(xué)教案

第2章分析幾何初步第3課圓的方程與空間直角坐標(biāo)系[穩(wěn)固層·知識(shí)整合][提高層·題型研究]求圓的方程【例1】有一圓與直線l：4x－3y＋6＝0相切于點(diǎn)A(3,6)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,2)，求此圓的方程．[解]法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心為C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圓上，32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，D＝－10，得E解得E＝－9，－2－6F＝39，D×4＝－1，3－2－3∴所求圓的方程為：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法二：設(shè)圓心為C，則CA⊥l，又設(shè)AC與圓的另一交點(diǎn)為P，則CA方程為y－6＝－34(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝6－21，＝－2，∴kBP＝3－52∴直線BP的方程為x－2y－1＝0.解方程組

3x＋4y－33＝0，x－2y－1＝0，

得

x＝7，y＝3，P(7,3)，∴圓心為AP中心5，92，半徑為|AC|＝52，2∴所求圓的方程為(x－5)2＋y－92＝254.求圓的方程主假如利用圓系方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程關(guān)系，利用待定系數(shù)法解題.采納待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟為：1選擇圓的方程的某一形式；2由題意得a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；3解出a，b，r或D，E，F(xiàn)；4代入圓的方程.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－1)，圓心在直線2x＋y＝0上且與直線x－y－1＝0相切，求圓的方程．[解]設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．∵圓心在直線y＝－2x上，∴b＝－2a，即圓心為(a，－2a)．又圓與直線x－y－1＝0相切，且過(guò)點(diǎn)(2，－1)，|a＋2a－1|∴

＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，2即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，解得a＝1或a＝9.a＝1，b＝－2，r＝2或a＝9，b＝－18，r＝338，故所求圓的方程為：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例2】已知實(shí)數(shù)x，y知足方程x2＋y2－4x＋1＝0求yx的最大值與最小值；求y－x的最大值與最小值；求x2＋y2的最大值與最小值．[思路研究]yy－x能夠看作直線注意到，x的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率；y＝x＋b在y軸上的截距；x2＋y2是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，借助平面幾何知識(shí)，利用數(shù)形聯(lián)合求解．[解]

原方程可化為

(x－2)2＋y2＝3，表示以點(diǎn)

(2,0)為圓心，

3為半徑的圓．y(1)設(shè)x＝k，即

y＝kx.當(dāng)直線

y＝kx與圓(x－2)2＋y2＝3相切時(shí)，斜率

k獲得最大值與最小值，此時(shí)

|2k－0|k2＋1

＝3，解得

k＝±

y3.故x的最大值為

3，最小值為－

3.(2)設(shè)

y－x＝b，即

y＝x＋b，當(dāng)直線

y＝x＋b與圓相切時(shí)，直線在

y軸上的截距

b獲得最大值與最小值，此時(shí)

|2－0＋b|＝

3，解得

b＝－2±

6，故

y－x的最大值為－

2＋

6，最2小值為－2－6.x2＋y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，由平面幾何知識(shí)知它在原點(diǎn)與圓心的連線上時(shí)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處罰別獲得最大值和最小值，又圓心與原點(diǎn)的距離為2，故x2＋y2的最大值為(2＋3)2＝7＋43，最小值為(2－3)2＝7－43.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的轉(zhuǎn)變1y－b的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)直線的斜率的最值問(wèn)題.形如μ＝x－a2形如t＝ax＋by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)直線的截距的最值問(wèn)題.3形如m＝x－a2＋y－b2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)變?yōu)閮牲c(diǎn)間的距離的平方的最值問(wèn)題.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點(diǎn)到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的差是()A．36B．18C．62D．52已知實(shí)數(shù)x，y知足x2＋y2＝1，求y＋2的取值范圍．x＋1(1)C[圓的方程可化為(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圓心到直線x＋y－14＝0的距離d＝2.∵d＞r，∴直線與圓相離．最大距離與最小距離的差是兩個(gè)半徑，即62.](2)解：如下圖，設(shè)P(x，y)是圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)，y＋2則表示過(guò)P(x，y)和Q(－1，－2)兩點(diǎn)的直線PQ的斜率．x＋1過(guò)點(diǎn)Q作圓的兩條切線QA，QB，由圖可知QB⊥x軸，kQB不存在，且kQPQA≥k.設(shè)切線QA的斜率為k，則它的方程為y＋2＝k(x＋1)，|k－2|＝1，由圓心到QA的距離為1，得k2＋13解得k＝4.y＋23，＋∞.因此的取值范圍是x＋14直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系【例3】已知點(diǎn)M(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程；若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值；(3)若直線ax－y＋4＝0與圓訂交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為23，求a的值．[解](1)圓心C(1,2)，半徑為r＝2.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x＝3.由圓心C(1,2)到直線x＝3的距離為d＝3－1＝2＝r知，此時(shí)直線與圓相切．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.|k－2＋1－3k|3由題意知，2＝2，解得k＝4.k＋13∴方程為y－1＝4(x－3)，即3x－4y－5＝0.故過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.|a－2＋4|4(2)由題意有a2＋1＝2，解得a＝0或a＝3.|a＋2|(3)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為，a2＋1|a＋2|22233∴＋2＝4，解得a＝－4.a2＋1當(dāng)直線與圓訂交時(shí)，常波及到弦長(zhǎng)問(wèn)題，弦長(zhǎng)的計(jì)算有以下兩種思路：代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立得方程組，消元后獲得一個(gè)一元二次方程，在判別式>0的前提下，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長(zhǎng).2幾何方法：若弦心距為d，圓半徑為r，則弦長(zhǎng)為l＝2r2－d2.,解決直線與圓訂交問(wèn)題時(shí)，常利用幾何方法，即結(jié)構(gòu)直角三角形，利用勾股定理，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，圓心和切點(diǎn)的連線垂直于切線.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直線l過(guò)點(diǎn)P，且被圓C截得的線段長(zhǎng)為43，求l的方程；求過(guò)P點(diǎn)的圓C弦的中點(diǎn)的軌跡方程．[解](1)如下圖．|AB|＝43，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，|AD|＝23，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點(diǎn)C到直線AB的距離為|－2k－6＋5|＝2，得k2＋1

3k＝4，此時(shí)直線l的方程為3x－4y＋20＝0.又∵當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，也知足題意，此時(shí)方程為x＝0，∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓C弦的中點(diǎn)為D(x，y)，則CD⊥PD，因此kCD·kPD＝－1，y－6y－5即·＝－1，x＋2x化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.m取何值時(shí)兩圓外切？m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？當(dāng)m＝45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．[解]圓Q1：x2＋y2－2x－6y－1＝0可化為(x－1)2＋(y－3)2＝11，圓Q2化為(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，兩圓圓心距離|Q1Q2|＝5－12＋6－32＝5.當(dāng)兩圓外切時(shí)，|Q1Q2|＝11＋61－m，即5＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，|Q1Q2|＝|11－61－m|，由于11<5，因此|Q1Q2|＝61－m－11，因此5＝61－m－11，因此m＝25－1011.當(dāng)m＝45時(shí)，由兩圓方程相減，得公共弦方程為x2＋y2－2x－6y－1－x2－y2＋10x＋12y－m＝0，即4x＋3y－23＝0.圓心Q1到公共弦的距離為|4×1＋3×3－23|d＝＝2，42＋32因此公共弦長(zhǎng)為2－d22r12112－22＝27.解決圓與圓的地點(diǎn)關(guān)系的重點(diǎn)是抓住它們的幾何特點(diǎn)，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對(duì)值的大小來(lái)確立兩圓的地點(diǎn)關(guān)系，以及充分利用它們的幾何圖形的形象直觀性來(lái)剖析問(wèn)題.[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．已知兩個(gè)圓C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直線l：x＋2y＝0，求經(jīng)過(guò)C1和C2的交點(diǎn)且和l相切的圓的方程．[解]將兩圓的方程12＋y2＝4，C22＋y2－2x－4y＋4＝0相減，得x＋2y－4＝0，C：x：x將x＝4－2y代入C1：x2＋y2＝4，得5y2－16y＋12＝0，6解得y1＝2，y2＝5，8得x1＝0，x2＝5，6因此圓與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,2)，5，5.設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，0－a2＋2－b2＝r2，①86依題意，得5－a2＋5－b2＝r2，②|a＋2b|＝r，③5由①②消去r2，得b＝2a，代入③式，得r＝5a，代入①式?a＝1，b＝1，r＝5，所2215以圓的方程為x－22＋(y－1)2＝4.數(shù)形聯(lián)合思想當(dāng)直線y＝k(x－2)＋4和曲線y＝1＋4－x2有交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )5，3B.1，3A.1243455，＋∞C.0，12D.12[先作出已知曲線y＝1＋4－x2的圖形，再依據(jù)直線y＝k(x－2)＋4過(guò)定點(diǎn)(2,4)．如下圖，曲線是以(0,1)為圓心，r＝2為半徑的半|－2k＋3|圓，直線表示過(guò)定點(diǎn)(2,4)的動(dòng)直線．由圖形中關(guān)系可求得kPC＝1＋k22，55解得k＝12，所求k的取值范圍為12，＋∞.]數(shù)形聯(lián)合思想在分析幾何中的應(yīng)用極其寬泛，利用數(shù)形聯(lián)合的思想解題，能把抽象的數(shù)目關(guān)系與直觀的幾何圖形成立起關(guān)系，進(jìn)而使問(wèn)題在解答過(guò)程中更為形象化、直觀化，而本章的有關(guān)知識(shí)整體表現(xiàn)了這類思想，即把幾何問(wèn)題代數(shù)化，同時(shí)利用代數(shù)方程的思想反映幾何問(wèn)題.[跟進(jìn)訓(xùn)練]5．圓