布朗運(yùn)動(dòng)(論文)

淺談布朗運(yùn)動(dòng)馮濤青海民族學(xué)院電子工程與信息科學(xué)系810007摘要：布朗運(yùn)動(dòng)作為具有連續(xù)時(shí)間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,是一個(gè)最基本、最簡(jiǎn)單同時(shí)又是最重要的隨機(jī)過(guò)程。關(guān)鍵詞：布朗運(yùn)動(dòng)、馬爾科夫隨機(jī)函數(shù)；性質(zhì)及推導(dǎo)；應(yīng)用OntheBrownianmotionAbstract：Brownianmotionasacontinuoustimeparameterandthecontinuousstatespaceofarandomprocess,isamostbasic,simpleatthesametimeisthemostimportantstochasticprocess.Keywords:Brownianmotion,Markovrandomfunction;thenatureandderivation;Application一、關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)及推導(dǎo)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的定義是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)X(t)(teT),它是維納隨機(jī)函數(shù)。它有如下的一些重要性質(zhì)。、它是高斯隨機(jī)函數(shù)。、它是馬爾科夫隨機(jī)函數(shù)。它的轉(zhuǎn)移概率密度是f(tf(t-s,y-x)=2P(X(t)<y|X(s)=x}=2兀6(t-s)]-1/2exp(y-x)2

2g2(t—s)可以看出它對(duì)空間和時(shí)間都是均勻的。(3)、如X(t)(t<0)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則下列各個(gè)隨機(jī)函數(shù)也是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。1)、1)、X(t)=cX(t/c2)1(c>0為常數(shù),t三0)2)、X(t)=X(t+h)一X(h) (h>0為常數(shù)，t三0)23)、x3)、x(t)屮(t-1)3Io(t>0)(t=0)(4)、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的協(xié)方差函數(shù)C(s,t)=b2min(s,t)。證明如下。已知c(s,t)=X(s)X(ty.-{X(s)；：：X(t))，當(dāng)sVt時(shí),■；X(s)]=[X(s)-X(0)；：=0，故右方第二項(xiàng)為零。右方第一項(xiàng)?;：X(s)X(t)；?=-;：X(s)[X(t)-X(s)+X(s)n=；：X(s)].：：X(t)-X(s”+，：X2(s)；其中由于相互獨(dú)立，故

?：：X(s)[X(t)-X(s)]；：=f[X(s)-X(0)][X(t)-X(s)]；=[X(s)；x：X(t)-X(s)：按定義知此項(xiàng)為零。于是由維納過(guò)程的性質(zhì)知：C(s,t)=X2(s)；：=：：[X(s)-X(0)]2；：=b2s如果tVs,必有C(s,t)=G2t。故最后得:C(s,t)=G2min(s,t)5)、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)非均方可微。由于布朗運(yùn)動(dòng)X(t)是維納隨機(jī)函數(shù)，而后者按照定義應(yīng)有；'[W(t+s)-W(t)]2；：=Q2h。因而令X(t)=W(tX(t)=W(t)后，必有:(X(t+h)-X(t))故lim網(wǎng)’故X(t+h)-X(t))hTO如果布朗運(yùn)動(dòng)是可微的，則按均方可微的意義應(yīng)有：limhtOX(t+h)-X(t)-x<(t)'丿它表明：lim它表明：limX(t+h)-X(t))htO在上面的計(jì)算過(guò)程中應(yīng)用了維納隨機(jī)函數(shù)的第(2)性質(zhì)。這和前一式相矛盾。故布朗運(yùn)動(dòng)不是均方可微的。關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)作為物理學(xué)中的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，有重要意義的是朗之萬(wàn)方程。設(shè)布朗粒子的質(zhì)量為m.它在水平面X方向所受到的力分為兩個(gè)部分。一是與速度成正比的液體阻尼力-XV，一是液體分子對(duì)粒子碰撞引起的隨機(jī)力F(t)。于是按照牛頓的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)定律，布朗粒子在水平面X方向的運(yùn)動(dòng)方程為：dVm +aV=F(t)dt此方程成為朗之萬(wàn)方程。一般而言方程應(yīng)該是三維的，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)只討論一維的情形。為簡(jiǎn)化記號(hào)可令卩=X/m，A(t)一F(t)/m。于是，上式成為單位質(zhì)量的算式。即:冀+0V-A(t)dt此方程強(qiáng)烈的依賴于A(t)的性質(zhì)。對(duì)A(t)有下列幾個(gè)經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的假設(shè)：①A(t)與V無(wú)關(guān)；②；；A(t”一0；③;；A(t)A(s)；：-5(t-s)。這最后一個(gè)條件反映了V(t)的馬爾科夫性質(zhì)。因?yàn)閂對(duì)時(shí)間的一階微分方程的解完全決定于t-1時(shí)的初始條件。如果方程中的隨機(jī)加速度A(t)(也就是作用于單0位質(zhì)量的隨機(jī)力)具有所設(shè)定的5函數(shù)相關(guān)，則t<t時(shí)的隨機(jī)加速度就不能改變t<t時(shí)的運(yùn)動(dòng)。如果00A(t)的相關(guān)函數(shù)有一段時(shí)間的延續(xù)￡，例如:;A(t)A(s)；：-e丄si/8。即使給定了10時(shí)刻的速度V(t0)，￡在t- <t<t。區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)加速度A(t)還會(huì)影響到t<t<t+￡/2區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。這樣，t>t時(shí)020000的運(yùn)動(dòng)不完全決定于10時(shí)刻的初始條件。即后一種相關(guān)函數(shù)會(huì)破壞V（t）的馬爾科夫性質(zhì)。對(duì)照可知，這種函數(shù)相關(guān)的隨機(jī)力有白噪聲隨機(jī)函數(shù)的性質(zhì)。二、布朗運(yùn)動(dòng)理論的應(yīng)用?，F(xiàn)在人們研究布朗粒子的運(yùn)動(dòng)，除了因?yàn)樗跉v史上對(duì)分子運(yùn)動(dòng)理論的確立起重要作用。1、 用布朗運(yùn)動(dòng)理論研究?jī)x器的靈敏度測(cè)量?jī)x器中的活動(dòng)部分（如分析天平的稱盤，懸線電流計(jì)的線圈等）在氣體分子的不平衡碰撞下也會(huì)產(chǎn)生布朗運(yùn)動(dòng)．隨著科技的發(fā)展，儀器的靈敏度越來(lái)越高，布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)靈敏度的影響已成為現(xiàn)代精密測(cè)量中一個(gè)不可忽視的因素．在近代無(wú)線電技術(shù)（如衛(wèi)星通訊）中，由于放大倍數(shù)很高，電漲落現(xiàn)象表現(xiàn)得特別顯著，引起熱噪聲，這個(gè)問(wèn)題也需要用布朗運(yùn)動(dòng)理論來(lái)研究。2、 用布朗運(yùn)動(dòng)譴論研究各類擴(kuò)散現(xiàn)象擴(kuò)散現(xiàn)象的本質(zhì)是布朗運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移，因此布朗運(yùn)動(dòng)理論可用于各類擴(kuò)散現(xiàn)象．例如半導(dǎo)體中載流子（電子或空穴）的擴(kuò)散，原子核反應(yīng)堆中中子的擴(kuò)散等，均可用布朗運(yùn)動(dòng)理論來(lái)研究。3、 布朗運(yùn)動(dòng)理論在分形理論中的應(yīng)用由于布朗運(yùn)動(dòng)軌線的不規(guī)則性是統(tǒng)計(jì)自相似的，也就是說(shuō)，其軌線的某一小部分放大后，在概率分布的意義上，跟某一較大部分具有相同的“形狀”，因此布朗運(yùn)動(dòng)也成為分形理論的重要研究對(duì)象，并發(fā)展出了。分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)”和“布朗曲面等理論，后者已非常有效地用于計(jì)算機(jī)繪制的地貌圖。4、 布朗運(yùn)動(dòng)理論在現(xiàn)代金融頓域的應(yīng)用布朗運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)漲落的典型現(xiàn)象，不僅用來(lái)作為許多自然現(xiàn)象的模型，而且可用來(lái)作為許多社會(huì)現(xiàn)象的模型．早在1900年，法國(guó)數(shù)學(xué)家巴施利葉就已經(jīng)在其研究股市的博士論文《投機(jī)理論》中，首先給出了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述，當(dāng)然，巴施利葉所謂的“布朗運(yùn)動(dòng)”，實(shí)質(zhì)上指的是股市的價(jià)格變動(dòng)，換句話說(shuō)，他把股價(jià)的變動(dòng)，理想化為布朗運(yùn)動(dòng)．可見(jiàn)，在物理學(xué)界尚未把布朗運(yùn)動(dòng)研究清楚之前，它象征“無(wú)規(guī)行走的意義，早就被經(jīng)濟(jì)研究所吸納了?？刂普搫?chuàng)始人維納于1923年對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)作出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義