2022-2023學年初中數(shù)學二輪復習 專題4-7 相似三角形的證明與計算專項訓練（60道）（浙教版）（解析版）

專題4.7相似三角形的證明與計算專項訓練（60道）【浙教版】考卷信息：本套訓練卷共60題，針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對相似三角形的證明與計算的理解！一．解答題（共60小題）1．（2021·遼寧·大連市第三十四中學九年級階段練習）如圖，在ΔABC中，點D在AB邊上，∠ABC=∠ACD.（1）求證：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的長.【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．（2）根據(jù)相似三角形的性質即可求出答案．【詳解】解：（1）證明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=AB解得：AC=6.【點睛】本題考查相似三角形，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的性質與判定，屬于基礎題型．2．（2022·廣西賀州·九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點E是AD的中點，CF⊥BE于點F，求FC的長．【答案】2.4【分析】根據(jù)已知可證明△ABE~?FCB，然后利用相似三角形的性質進行計算即可解答．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，

∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB

∴ABFC∵BC=3，E是AD的中點，∴AE=1.5，∴BE=2.5，∴2FC=∴FC=2.4．【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質，是解題的關鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求證：△ACD∽△ABC．【答案】見解析【分析】根據(jù)兩個角相等的兩個三角形相似進行證明即可．【詳解】證明：∵CD⊥AB于D．∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準確運用進行推理證明．4．（2021·上海·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點G，GF的延長線交AD于點H．（1）求HD的長；（2）設△BEG的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）2；（2）7a【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質得AD//BC，根據(jù)相似三角形的判定得△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，由BE=EF=FD可得出BEED（2）由BE=EF可得△BEG與△EFG的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可得S△AED與S△DFH的值，S△AED【詳解】解：（1）∵平行四邊形ABCD，BC=8，∴AD//BC，∴△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，∴BEED=BG∵BE=EF=FD，∴BEED=1∴BG=12AD=4，HD=1∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴S△BEG∴S△BFG∵△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，BEED=1∴S△AED=4a，∴四邊形AEFH的面積=S△AED-S△DFH=【點睛】本題考查平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．5．（2021·湖南省岳陽開發(fā)區(qū)長嶺中學九年級階段練習）已知：如圖，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．【答案】4【分析】由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C可證明△ADB∽△ABC，由相似三角形的性質可知ADAB=AB【詳解】解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，∴△ADB∽△ABC．∴ADAB=AB解得：AB＝4（負值已舍去）．∴AB＝4．【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質和判定，由相似三角形的性質得到2AB6．（2022·全國·九年級專題練習）已知，如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D為BC邊上一點，BD＝2．求證：△ABD∽△CBA．【答案】見解析；【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知ABCB=BDBA，再由∠ABD＝∠CBA可得△【詳解】證明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴ABCB又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關鍵．7．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，∠1=∠2，ABAE【答案】見解析【分析】根據(jù)∠1=∠2得到∠BAC=∠EAD，結合ABAE【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，∴∠BAC=∠EAD，且ABAE∴△ABC∽△AED，由相似三角形對應角相等可知：∴∠C=∠D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，屬于基礎題，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關鍵．8．（2021·全國·九年級專題練習）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始順時針方向旋轉，PM交邊AB于點E，PN交邊AD于點F，當PE旋轉至PA處時，∠MPN的旋轉隨即停止.（1）如圖2，在旋轉中發(fā)現(xiàn)當PM經過點A時，PN也經過點D，求證：△ABP∽△PCD（2）如圖3，在旋轉過程中，PEPF（3）設AE=m，連結EF，則在旋轉過程中，當m為何值時，△BPE與△PEF相似.【答案】（1）見解析；（2）PEPF的值是定值，該定值為12；（3）當m=0或【分析】（1）因為在矩形中，所以只要再證明∠BAP=∠CPD即可；（2）證明邊比為定值，考慮相似三角形，過點F作FG⊥BC于G，創(chuàng)造△PGF并證明其與△EBP相似；（3）使△BPE∽△PFE，那么BEPE【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=90°

∴∠BAP+∠BPA=90°∵∠MPN=90°

∴∠CPD+∠BPA=90°

∴∠BAP=∠CPD∴△ABP∽△PCD

（2）過點F作FG⊥BC于G

∴∠FGP=90°

∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°易知四邊形ABGF是矩形，∴FG=AB=2∵∠MPN=90°

∴∠EPB+∠FPG=90°

∴∠EPB=∠FPG∴△EBP∽△PGF

∴PE∴PEPF的值是定值，該定值為1（3）∵AE=m

∴BE=2?m①當BEPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PFE∴BEBP∴2?m1∴m=②當BPPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PEF∴BPBE∴12?m∴m=0

綜上，當m=0或32【點睛】本題考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交；兩邊對應成比例且夾角相等；三邊對應成比例；兩角對應相等以及性質定理：對應角相等，對應邊成比例.9．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=30°，求證：△ABD∽△DCE．【答案】見解析【分析】利用三角形的外角性質證明∠EDC=∠DAB，即可證明△ABD∽△DCE．【詳解】證明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【點睛】本題考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性質、三角形的外角性質，利用三角形的外角性質證明∠EDC=∠DAB是解題的關鍵．10．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，連接BD，CE，求CEBD【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性質可推出∠DAE=∠BAC=45°，AE=2AD,AC=2AB，從而可得出∠EAC=∠DAB，AEAD【詳解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠BAC=45°，AE=2AD，∴∠EAC=∠DAB，AEAD∴△DAB～△EAC，∴CEBD【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質．掌握三角形相似的判定條件是解題關鍵．11．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點E是邊AC上一點，且滿足∠ADE=∠B．(1)證明：ΔADB～(2)若AE=3，AD=5，求AB的長．【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）證出∠BAD=∠EAD．根據(jù)相似三角形的判定可得出結論；（2）由相似三角形的性質可得出ADAE（1）∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADE=∠B，∴△ADB∽△AED．（2）∵△ADB∽△AED，∴ADAE∵AE=3，AD=5，∴53∴AB=25【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質以及三角形內角和定理，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．12．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，△ABC與△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）證明：△ABC∽△ADE．（2）請你再添加一個條件，使△ABC≌△ADE．你補充的條件為：．【答案】(1)證明見解析；(2)見解析.【分析】(1)由∠1=∠2,證出∠BAC=∠DAE.再由∠C=∠E,即可得出結論;(2)由AAS證明△ABC≌△ADE即可.【詳解】(1)∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE．

∵∠C=∠E，∴△ABC∽△ADE．

(2)補充的條件為：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：由(1)得：∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠C=∠E∴△ABC≌△ADE；故答案為AB=AD（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.13．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，BD、CE是△ABC的高．（1）求證：△ACE∽△ABD；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的長．【答案】（1）見解析；（2）BC＝253【分析】（1）BD、CE是△ABC的高，可得∠ADB=∠AEC=90°，進而可以證明△ACE∽△ABD；（2）在Rt△ABD中，BD=8，AD=6，根據(jù)勾股定理可得AB=10，結合（1）△ACE∽△ABD，對應邊成比例，進而證明△AED∽△ACB，對應邊成比例即可求出【詳解】解：（1）證明：∵BD、CE是ΔABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵∠A=∠A，∴△ACE∽△ABD；（2）在Rt△ABD中，BD=8，根據(jù)勾股定理，得AB=A∵△ACE∽△ABD，∴ACAB∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴DEBC∵DE=5，∴BC=5×10【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質．14．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，AB//EF//CD，E為AD與BC的交點，F(xiàn)在【答案】見解析【分析】根據(jù)已知條件可得△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，即可證明結論【詳解】∵AB∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD∴∴∴∴1【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，將線段比轉化為AB,CD,EF之間的關系是解題的關鍵．15．（2022·全國·九年級課時練習）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點放在正方形ABCD上，使直角頂點與D重合，三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長為．【答案】（1）＝；（2）①1，②2【分析】（1）先證明△ADP≌△CDQ，即可求解；（2）①先證明△ADP∽△CDQ，可得APCQ＝ADCD＝24＝12，設AP＝x，則再由勾股定理，即可求解；②過點B作BE⊥DP交DP延長線于點E，BF⊥DQ于點F，根據(jù)△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝12，從而得到∠BPE=∠Q，再由角平分線的性質定理可得BE=BF，進而證得△BEP≌△BFQ，得到BP=【詳解】解∶（1）在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，∵∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠ADC=90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP=∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ；故答案為∶=（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．又∵∠A＝∠DCQ＝90°．∴△ADP∽△CDQ，∴APCQ＝ADCD＝24設AP＝x，則CQ＝2x，∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，解得x＝1，即AP＝1．∴AP的長為1．②如圖，過點B作BE⊥DP交DP延長線于點E，BF⊥DQ于點F，由①得：△ADP∽△CDQ，∴∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24∴CQ=2AP，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠Q，∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，∴BE=BF，∵∠E=∠BFQ=90°，∴△BEP≌△BFQ，∴BP=BQ，設AP=m，則BQ=BP=4-m，CQ=2m，∴2+2m=4-m，解得：m=2即AP=2∴DP=【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形和全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．16．（2022·全國·九年級專題練習）感知：（1）數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因為ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進而得到應用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點P是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），點D是AC邊上的一個動點，且∠APD=∠B．①求證：△ABP∽②當點P為BC中點時，求CD的長；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當△APD為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．【答案】感知：（1）AEDE；應用：（2）①見解析；②3.6；拓展：（3）2或【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質，即可求解；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質得到∠B=∠C，根據(jù)三角形的外角性質得到∠BAP=∠CPD，即可求證；②根據(jù)相似三角形的性質計算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質、相似三角形的性質，即可求解．【詳解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BCAE∴BCAC故答案為：AEDE應用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，點P為BC中點，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴ABPC=BP解得：CD=3.6；拓展：（3）當PA=PD時，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；當AP=AD時，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合題意，∴AP≠AD；當DA=DP時，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP，∴BCAC=AC解得：CP=25∴BP=BC?CP=12?25綜上所述，當△APD為等腰三角形時，BP的長為2或113【點睛】本題考查的是三角形相似的判定定理和性質定理、全等三角形的判定定理和性質定理以及三角形的外角性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．17．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB．【答案】見解析【分析】根據(jù)等邊三角形性質得出∠B＝∠C＝60°，根據(jù)三角形外角性質得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根據(jù)∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可證∠1＝∠2即可．【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠2＋60°，∴∠1＝∠2，∴△ADC∽△DEB．【點睛】本題考查等邊三角形性質，三角形外角性質，三角形相似判定，掌握等邊三角形性質，三角形外角性質，三角形相似判定是解題關鍵．18．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，平行四邊形ABCD中，點E是BC上一線，連接AE，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．求證：△ADF∽△DEC；【答案】見解析【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可得∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，由∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，進而可證△ADF∽△DEC．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，在△ADF與△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質及平行四邊形的性質.解題的關鍵是根據(jù)平行四邊形的性質結合角的計算找出∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C．19．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB、AC上，DC與BE相交于點O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求證：△DOE∽△COB．【答案】答案見解析【分析】利用比例線段來證明相似三角形即可．【詳解】解：∵DO=2，DC=6，∴OC=CD?DO=6?2=4，∴ODOC=∴OD∵∠DOE=∠BOC，∴Δ【點睛】本題主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解題的關鍵．20．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，點M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于點F，ME交BC于點G.寫出圖中的所有相似三角形，并選擇一對加以證明．【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，證明見解析.【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可以直接寫出圖中有3對相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理兩組角對應相等的兩個三角形相似來證明△AMF∽△BGM．【詳解】圖中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM．以下證明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM．【點睛】本題考查了相似三角形的判定．解答此題，要找出對應角相等來證明三角形相似．21．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，D、E、F分別是△ABC的三邊BC,CA,AB的中點．求證：△DEF∽△ABC．【答案】證明見解析【分析】首先可判斷EF、FD、DE為ΔABC的中位線，根據(jù)平行線分線段成比例的知識，可判斷ΔDEF與ΔABC的對應邊成比例，繼而可得出結論．【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB的中點，∴EF、FD、DE為ΔABC的中位線，∴EF∴ΔDEF∽ΔABC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及三角形的中位線定理，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法，本題用到的是三邊法．22．（2021·福建·廈門市第五中學八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的三角形叫做“和諧三角形”．在△ABC中，點F在邊AC上，D是邊BC上的一點，AB＝BD，點A，D關于直線l對稱，且直線l經過點F．（1）如圖1，求作點F；（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖2，△ABC是“和諧三角形”，三邊長BC，AC，AB分別a，b，c，且滿足下列兩個條件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之間的等量關系；②若AE是△ABD的中線．求證：△ACE是“和諧三角形”．【答案】（1）見解析（2）①a=b+1②見解析【分析】（1）作AD的垂直平分線，交AC于F點即可；（2）①根據(jù)題意得到a=2c，聯(lián)立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；②證明△ABE∽△CBA，得到AECA【詳解】（1）如圖，點F為所求；（2）①∵△ABC是“和諧三角形”∴a=2c又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．聯(lián)立化簡得到a=b+1；②∵E點是BD中點∴BE=1由①得到AB=1∴AB又∠ABE=∠CBA∴△ABE∽△CBA∴AB故△ACE是“和諧三角形”．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知垂直平分線的做法．23．（2021·全國·九年級專題練習）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當點E為AC中點時，求證：2DF?EG=AF?DG．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）由BC2=BF?BA，∠ABC=∠CBF可判斷△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判斷△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性質即可得到結論；（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，易得AH∥DE，由點E為AC的中點得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定△AHF∽△DGF，則根據(jù)相似三角形的性質得AHDG【詳解】證明：（1）∵BC2=BF?BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴△BAC∽△BCF，∵DE∥BC，∴△BCF∽△DGF，∴∴△DGF∽△BAC，∴DF：BC=DG：BA，∴DF?AB=BC?DG；（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵點E為AC的中點，∴EG為△CAH的中位線，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴∴△AHF∽△DGF，∴AHDG∴2EGDG即2DF?EG=AF?DG．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質時，主要通過相似比得到線段之間的關系．24．（2020·全國·九年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個直角三角形內有一個內接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個頂點E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長．【答案】（1）12cm；（2）300【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面積即可得出答案；（2）設正方形邊長為x，證出△AEH∽△ABC，得出比例式，進而得出答案．【詳解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝202+15∵12BC×AD＝12AB×∴AD＝AB×ACBC＝20×15即BC邊上的高為12cm；（2）設正方形EFGH的邊長為xcm，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴AOAD＝EHBC，即12?x12解得：x＝30037即正方形EFGH的邊長為30037cm【點睛】本題考查正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是利用相似三角形的相似比對于高的比，學會用方程的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．25．（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點，F(xiàn)是BC的延長線上的一點，且CE=CF，BE的延長線交DF于點G，求證：△BGF∽△DCF．【答案】見解析．【分析】先根據(jù)正方形的性質得出DC=BC，∠DCB=∠DCF=90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根據(jù)∠F為公共角即可得出結論．【詳解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90°，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF=∠CBE∵∠CDF＋∠F=90°∴∠CBE＋∠F=90°∴∠BGF=90°=∠DCF∴△BGF∽△DCF【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解答此題的關鍵．26．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，F(xiàn)為四邊形ABCD邊CD上一點，連接AF并延長交BC延長線于點E，已知∠D=∠DCE．（1）求證：△ADF∽△ECF；（2）若ABCD為平行四邊形，AB=6，EF=2AF，求FD的長度．【答案】（1）見詳解；（2）4【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到結論；（2）先證明AD∥BE，利用平行線分線段成比例，列出比例式，即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠D=∠DCE，∠AFD=∠EFC，∴△ADF∽△ECF；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BE，AB＝CD＝6，∴AF：EF＝DF：CF，又∵EF＝2AF，∴DF：CF＝1：2，即DF＝13【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質及相似三角形的判定，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊、對頂角等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．27．（2020·安徽安慶·九年級階段練習）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．（1）如圖①，當CEEB=1（2）如圖②，當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG=12

【答案】（1）S△CEFS【分析】（1）根據(jù)正方形的性質和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得EFDF=1（2）由AD∥CB，點E是BC的中點，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，進而即可得到結論．【詳解】（1）∵CEEB∴CEBC=1∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴EFDF=CE∴EFDF=CEBC=∴S△CEFS△CDF（2）∵AD∥CB，點E是BC的中點，∴△EFC∽△DFA．∴CF：AF=EC：AD=1：2，∵FG⊥BC，∴FG//AB，∴CG：BG=CF：AF=1：2，∴CG=12【點睛】本題主要考查正方形的性質，相似三角形的判定和性質定理以及平行線分線段成比例定理，掌握相似三角形的對應邊成比例，是解題的關鍵．28．（2021·上海市徐匯中學九年級期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，點E、F在邊BC上，滿足∠EAF=∠C求證：（1）BF?CE=AB2（2）AE【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）證明△ABF∽△ECA，得到ABCE（2）證明△AEF∽△BAF，得到AFBF=EFAF，即AF2=BF×EF，同理△AEF【詳解】（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠EAF=∠C∴∠B=∠EAF，∠AEC=∠B+∠BAE=∠EAF+∠BAE=∠BAF∴△ABF∽△ECA∴AB∴BF·CE=AB·AC=A即結論成立．（2）∵∠B=∠EAF，∠AFE=∠BFA∴△AEF∽△BAF∴AF即A同理：△AEF∽△CEA∴AE即A∴AE【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形外角的性質；證明三角形相似是解題的關鍵．29．（2020·山東泰安·中考真題）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC=∠CDE=90°，連接BD，AB=BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2），小明經過探究，得到結論：BD⊥DF．你認為此結論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結論互換，即：若BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB=6,CE=9，求AD的長．【答案】（1）是；（2）結論成立，理由見解析；（3）24【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通過AB=BD求出∠A=∠ADB，緊接著根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，據(jù)此進一步得出∠ADB=∠FDE，最終通過證明∠ADB+∠EDC=90°證明結論成立即可；（2）根據(jù)垂直的性質可以得出∠BDC+∠CDF=90°，∠EDF+∠CDF=90°，從而可得∠BDC=∠EDF，接著證明出∠A=∠EDF，利用∠A=∠E可知∠E=∠EDF，從而推出EF=FD，最后通過證明∠ECD=∠CDF得出CF=DF，據(jù)此加以分析即可證明結論；（3）如圖，設G為EC的中點，連接GD，由（1）得DG⊥BD，故而GD=GC=92，在Rt△GDB中，利用勾股定理求出GB=152，由此得出CB=152?92【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，∵∠ACB=∠ECD，∴∠A=∠E，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，在Rt△ECD中，∵F是斜邊CE的中點，∴FD=FE=FC，∴∠E=∠FDE，∵∠A=∠E，∴∠ADB=∠FDE，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD⊥DF，結論成立，故答案為：是；（2）結論成立，理由如下：∵BD⊥DF，ED⊥AD∴∠BDC+∠CDF=90°，∠EDF+∠CDF=90°，∴∠BDC=∠EDF，∵AB=BD，∴∠A=∠BDC．∴∠A=∠EDF．又∵∠A=∠E，∴∠E=∠EDF．∴EF=FD．又∠E+∠ECD=90°，∠EDF+∠FDC=90°，∠E=∠EDF，∴∠ECD=∠CDF，∴CF=DF．∴CF=EF．∴F為CE的中點；（3）如圖，設G為EC的中點，連接GD，由（1）可知DG⊥BD，∴GD=1又∵BD=AB=6，在Rt△GDB中，GB=6∴CB=15在Rt△ABC中，AC=6在△ABC與△EDC中，∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC～△EDC，∴35∴CD=9∴AD=AC+CD=35【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質和相似三角形的性質及判定的綜合運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.30．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點E為AC的中點，AD⊥BC于點D，ED延長后交AB的延長線于點F，求證：△AEF∽△ABC．【答案】證明見解析．【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得到ED＝EC，則∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性質可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，則根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷△AEF∽△ABC．【詳解】證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵點E為AC的中點，∴ED＝EC，∴△ECD是等腰三角形，∴∠EDC＝∠C，∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AEF，∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC．【點睛】此題考查了相似三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的判定和性質、三角形的外角的性質等，熟練掌握直角三角形斜邊上中線的性質是解題的關鍵．31．（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．點M，N分別是BD，CE的中點，連接AM，AN，MN．（1）求證：△CAE≌△BAD；（2）求證：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的長．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）19【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可求出答案．（2）根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案．（3）取AC的中點F，連接FN，過點N作NG⊥AC于點G，由于點N是CE的中點，易證得∠GFN=∠EAC=60°，所以∠FNG=30°，從而求出AG=4，NG=3，在Rt△ANG中，根據(jù)勾股定理即可求出AN=19．【詳解】（1）∵∠BAC=∠AE，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠EAC=∠DAB，在△CAE與△BAD中，AB=∴△CAE≌△BAD（SAS）；（2）由（1）得△CAE≌△BAD，∴∠ACE=∠ABD，CE=BD，∵M、N分別是BD，CE的中點，∴CN=BM，在△CAN與△BAM中，AC=∴△CAN≌△BAM（SAS），∴AN=AM，∠CAN=∠BAM，∴∠CAN+∠BAN=∠BAM+∠BAN，即∠CAB=∠NAM，∵AC=AB，AN=AM，∴ANAC∴△AMN∽△ABC；（3）取AC的中點F，連接FN，過點點N作NG⊥AC于點G，∵點N是CE的中點，∴NF∥AE，NF=12∴∠GFN=∠EAC=60°，∴∠FNG=30°，∴FG=12∴AG=1+3=4，NG=22?1在Rt△ANG中，根據(jù)勾股定理可知：AN=19．【點睛】本題考查三角形的綜合問題，涉及全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，以及勾股定理，本題屬于中等題型．32．（2022·全國·九年級課時練習）在①DP?PB=CP?PA，②∠BAP=∠CDP，③DP?AB=CD?PB這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，使命題正確，并證明．問題：如圖，四邊形ABCD的兩條對角線交于P點，若（填序號）求證：△ABP～△DCP．【答案】①，證明見解析或②，證明見解析．【分析】若選擇條件①，可利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；若選擇條件②，可利用兩角相等的兩個三角形相似．【詳解】解：選擇條件①的證明為：∵DP?PB=CP?PA，∴PADP又∵∠APB=∠DPC，∴△ABP∽△DCP；選擇條件②的證明為：∵∠APB=∠DPC，∠BAP=∠CDP∴△ABP∽△DCP．【點睛】本題考查相似三角形的判定定理，能熟記相似三角形的判定定理，并正確識圖是解題關鍵．33．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中項，求證：BD⊥AC．【答案】見解析【分析】先根據(jù)平行線的性質得到∠BAD=90°，再證明△ABC∽△DAB得到∠ABD=∠ACB，則∠ACB+∠DBC=90°，所以∠BEC=90°，從而得到結論．【詳解】∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∵AB是AD，BC的比例中項，即AB2=AD?BC，∴AB而∠ABC=∠DAB，∴△ABC∽△DAB，∴∠ABD=∠ACB，∵∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ACB+∠DBC=90°，∴∠BEC=90°，∴BD⊥AC．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質．熟練掌握相似三角形的判定是解答本題的關鍵．34．（2018·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，過點C作CD(1)求證：四邊形AFCD是平行四邊形．(2)若GB=3，BC=6，【答案】1證明見解析；(2)AB【分析】(1)由E是AC的中點知AE=CE，由AB//CD知∠AFE=∠CDE，據(jù)此根據(jù)“AAS”即可證△AEF(2)證△GBF∽△GCD得GBGC=BFCD，據(jù)此求得【詳解】(1)∵E∴AE∵AB∴∠AFE在△AEF和△∵∠AFE=∠CDE∴△AEF≌△∴AF又AB//CD，即∴四邊形AFCD是平行四邊形；(2)∵AB∴△GBF∽△∴GBGC=解得：CD=∵四邊形AFCD是平行四邊形，∴AF∴AB【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相關的性質及定理是解題的關鍵.35．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點，DF⊥AE于點F．(1)求證：AFBE(2)已知AB=8,BC=12，求AF的長．【答案】(1)見解析(2)AF=7.2【分析】（1）根據(jù)矩形的性質可得∠B=∠AFD=90°，根據(jù)等角的余角相等可得∠BAE=∠ADF，即可證明△ADF∽△EAB，根據(jù)相似三角形的性質即可得證；（2）勾股定理求得AE=10，由（1）的比例式即可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠AFD=90°,∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF，∴△ADF∽△EAB，∴AFBE（2）∵E為BC的中點，∴BE=1∴AE=A∵AFBE∴AF6∴AF=7.2．【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．36．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，點M是AD的中點，連接MC交BD于點N，ON＝1．(1)求證：△DMN∽△BCN；(2)求BD的長；(3)若△DCN的面積為2，直接寫出四邊形ABNM的面積．【答案】(1)見解析(2)6(3)5【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質可得AD∥BC，從而證明8字模型相似三角形△DMN∽△BCN；（2）由△DMN∽△BCN，可得到DN：BN=1：2，設OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長；（3）根據(jù)△MND∽△CNB且相似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△CNB的面積，從而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四邊形ABNM=S△ABD-S△MND求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△DMN∽△BCN；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，OB=OD＝12BD∵△DMN∽△BCN，∴DMBC∵M為AD中點，∴AD=2DM，∴BC=2DM，∴BN=2DN，設OB=OD=x，∴BD=2x，∴BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，∴x+1=2（x-1），解得：x=3，∴BD=2x=6，∴BD的長為6；（3）解：∵△MND∽△CNB，∴DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，∵△DCN的面積為2，∴S△MND=12S△CND=1，S△BNC=2S△CND∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6，∴S四邊形ABNM=S△ABD-S△MND=6-1=5，∴四邊形ABNM的面積為5．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，等高三角形面積的比等于其對應底的比是解題的關鍵．37．（2022·全國·九年級課時練習）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點E、F分別是邊AB、AD上兩點，滿足AE=DF，BF與DE相交于點G．（1）如圖1，連接BD．求證：△DAE≌△BDF；（2）如圖2，連接CG．①求證：BG+DG=CG；②若FG=m，GC=n，求線段DG的長（用含m、n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②DG=【分析】（1）四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，則△ABD是等邊三角形，根據(jù)AB=DB，∠A=∠FDB=60°，AE=DF，即可得到三角形全等；（2）①連接DB，延長GB到點M，使BM=DG，連接CM，求證出△CDG≌△CBMSAS，△CGM②由①中的條件可證△DFG∽△CDG，所以FGDG=DG【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴AD=AB，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=DB，∠A=∠FDB=60°，∵AE=DF∴△DAE≌△BDF．（2）①證明：連接DB，延長GB到點M，使BM=DG，連接CM．由（1）知△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，∵∠CDG=∠ADC?∠ADE=120°?∠ADE，∠CBM=120°?∠DBF，∴∠CBM=∠CDG，∵△DBC是等邊三角形，∴CD=CB，DG=BM∴△CDG≌△CBMSAS∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，∴∠GCM=∠DCB=60°∴△CGM是等邊三角形，∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．②由①可知∠CGB=∠DGC=∠DGF=60°，∵AD∥BC，∴∠DFG=∠CBM，又∵∠CDG=∠CBM，∴∠DFG=∠CDG，∴△DFG∽△CDG，∴FGDG=DG∴DG=mn【點睛】本題主要考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質等有關知識，需要綜合利用初中所學知識，結合題目條件，靈活運用才能解決問題；正確作出輔助線是解決這題的關鍵．38．（2022·全國·九年級課時練習）將一副三角尺如圖1放置，其中AD為Rt△ABC中BC邊上的高，DE，DF分別交AB，AC于點M和N．(1)求證：△AMD∽△CND；(2)如圖2，將Rt△DEF繞點D旋轉，此時EF∥BC，且E，A，F(xiàn)共線，判斷AEAD【答案】(1)見解析(2)成立，證明見解析【分析】（1）由直角三角形的性質證出∠CDN=∠ADM，∠MAD=∠ACD，由相似三角形的判定可得出結論；（2）證明△AEM∽△ADN，由相似三角形的性質可得出結論AEAD（1）解：證明：∵AD為Rt△ABC中BC邊上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ADN+∠CDN=90°，∵∠ADN+∠ADM=90°，∴∠CDN=∠ADM，又∵∠BAC=90°，∴∠MAD+∠DAC=90°，∵∠DAC+∠ACD=90°，∴∠MAD=∠ACD，∴△AMD∽△CND；（2）解：成立．證明：∵EF∥BC，∴∠EAD=∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠EAM=∠DAN，∵△EDF為等腰直角三角形，∴∠E=45°，∴∠ADE=∠ADF=45°，∴△AEM∽△ADN，∴AEAD【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，直角三角形的性質，證明△AEM∽△ADN是解題的關鍵．39．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點P是AC延長線上一點，且PD⊥AD．（1）證明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC與BD相交于點E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長．【答案】（1）見解析（2）2【分析】（1）由三線合一可知AC⊥BD，然后利用等腰三角形的性質結合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；（2）首先過點C作CM⊥PD于點M，進而得出△CPM∽△APD，求出EC的長即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：過點C作CM⊥PD于點M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴CMAD=PC設CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=32∵AB=AD=AC=1，∴x1=3解得：x=13故AE=1-13=2【點睛】此題主要考查了余角的性質，角平分線的性質，相似三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質等知識，正確得出△CPM∽△APD是解題關鍵．40．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點，（1）若BK＝73KC，求CD（2）聯(lián)結BE，若BE平分∠ABC，則當AE＝12AD時，猜想線段AB、BC、CD（3）試探究：當BE平分∠ABC，且AE＝1nAD（n＞2）時，線段AB、BC，CD【答案】（1）37；（2）AB＝BC+CD；（3）AB＝1n?1BC+1【分析】（1）根據(jù)比例的性質得到KCBK（2）連接BD，取BD的中點F，連接EF交BC于G，根據(jù)三角形的中位線定理得到GF=12CD，EF=12AB，根據(jù)平行線的性質、角平分線的定義得到EG=1（3）連接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，根據(jù)比例的性質、仿照（2）的作法解答即可．【詳解】解：（1）∵BK＝73KC∴KCBK＝3∵AB∥CD，∴△CKD∽△BKA，∴CDAB＝KCBK＝（2）猜想：AB＝BC+CD．證明：連接BD，取BD的中點F，連接EF交BC于G，由中位線定理，得EF∥AB∥CD，∴G為BC的中點，∠GEB＝∠EBA，又∵∠EBA＝∠GBE，∴∠GEB＝∠GBE，∴EG＝BG＝12BC，而GF＝12CD，EF＝1∵EF＝EG+GF，即：12AB＝12BC+1∴AB＝BC+CD；（3）猜想：AB＝1n?1BC+1n?1證明：連接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，∵AE＝1nAD∴DEAD＝n?1∵EF∥AB，∴EFAB＝DEAD＝n?1n，即EF＝∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，同理，BG＝1nBC，GF＝1n∵EF＝EG+GF，即：n?1nAB＝1nBC+1∴AB＝1n?1BC+1n?1【點睛】本題考查相似形綜合題，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質以及角形的中位線定理、平行線的性質、比例的性質．41．（2020·山東濟寧·中考真題）如圖,在△ABC中,AB=AC，點P在BC上．(1)求作:△PCD,使點D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,不寫作法)(2)在(1)的條件下,若∠APC=2∠ABC，求證:PD//AB．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD與AC的交點為D即可；（2）利用外角的性質以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD=∠ABC，再根據(jù)平行線的判定即可.【詳解】解：（1）∵△PCD∽△ABP，∴∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP即可，如圖，即為所作圖形，（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，∴∠BAP=∠ABC，∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，即∠CPD=∠ABC，∴PD∥AB.【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的性質，外角的性質，難度不大，解題的關鍵是掌握尺規(guī)作圖的基本作法.42．（2017·浙江杭州·中考真題）如圖，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．（1）求證：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG【答案】（1）證明見解析；（2）35【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，從而可證明∠AED=∠ACB，進而可證明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，ADAB=AEAC，又易證△EAF∽△【詳解】（1）證明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴ADAB由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AFAG∴AFAG=343．（2020·浙江杭州·中考真題）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設AFFC①若BC＝12，求線段BE的長；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）①BE＝4；②45【分析】（1）由平行線的性質得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出結論；（2）①由平行線的性質得出BEEC＝AFFC＝②先求出FCAC＝23，易證△EFC∽△【詳解】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴BEEC＝AFFC＝∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴BE12?BE＝1解得：BE＝4；②∵AFFC＝1∴FCAC＝2∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC＝（FCAC）2＝（23∴S△ABC＝94S△EFC＝9【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定定理與性質．44．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD為正方形，且E是邊BC延長線上一點，過點B作BF⊥DE于F點，交AC于H點，交CD于G點．(1)求證：△BGC∽△DGF；(2)求證：GD?AB=DF?BG；(3)若點G是DC中點，求GFCE【答案】(1)見解析(2)見解析(3)GF【分析】（1）由正方形性質和題干已知垂直條件得直角相等，后由對頂角相等，進而得到△BGC∽△DCF．（2）由第一問的結論可得到相似比，既有DG?BC=DF?BG，然后因為正方形四邊相等，進行等量代換即可求出證明出結論．（3）通過ASA判定出△BGC≌△DEC，進而根據(jù)第一問結論可得△BGC∽△DGF，然后通過相似比設未知數(shù)，賦值CG=x，即可求出GFCE（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠BCD=∠ADC=90°∵BF⊥DE∴∠GFD=90°∴∠BCD=∠GFD，又∵∠BGC=∠DGF，∴△BGC∽△DCF．（2）證明：由（1）知△BGC∽△DGF，∴BGDG∴DG?BC=DF?BG∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC∴DG?AB=DF?BG．（3）解：由（1）知△BCC∽△DGF，∴∠FDG=∠CBG，在△BGC與△DEC中，{∴△BGC≌△DEC（ASA）∴CG=EC∵G是CD中點∴CG=DG∴GF:CE=CF:DC∵△BGC∽△DGF∴GF:DG=CG:BG在Rt△BGC中，設CG=x，則BC=2x，BC=∴CG∴GF【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形判定和性質，相似三角形判定和性質等知識點，熟練運用相似三角形判定和性質是解題的關鍵．45．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，點D在BC上，且CD＝3cm，現(xiàn)有兩個動點P，Q分別從點A和點B同時出發(fā)，其中點P以1cm/s的速度沿AC向終點C運動；點Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點C運動，過點P作PE∥BC交AD于點E，連接EQ，設動點運動時間為ts（t＞0）．(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代數(shù)式表示）(2)連接PQ，在運動過程中，不論t取何值時，總有線段PQ與線段AB平行，為什么？【答案】(1)（4－t）cm；（5－1.25t）cm(2)見解析【分析】（1）由點P、點Q的速度可知，AP=tcm，CQ=1.25tcm，最終可求出CP=4?（2）利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，這一判定方法就可以解決此問．（1）解：∵點P的速度為1cm/s，點Q的速度為1.25cm/s，∴AP=tcm，BQ=1.25tcm∴CP=（4-t）cm，CQ=（5-1.25t）cm．故答案為：（4-t）cm；（5-1.25t）cm．（2）解：由（1）知PC＝（4－t）cm，QC＝（5－1.25t）cm，∴PCAC

QCBC=∴PC∵∠C＝90°，∴△ABC∽△PQC，∴∠PQC＝∠B，∴PQ//AB．∴不論t取何值時，總有線段PQ與線段AB平行．【點睛】本題考查了動點求值問題、相似三角形的判定（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）等知識．易錯點：是第一問填空題小括號易遺忘．把握好線段之間的數(shù)量關系和相似三角形的判定方法是解決本題的關鍵．46．（2022·河南洛陽·九年級期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊BC上，BD=13BC將線段DB繞點D順時針旋轉至DE，記旋轉角為α，連接BE，CE，以CE為斜邊在其一側作等腰直角三角形CEF

(1)如圖1，當α＝180°時，請直接寫出線段AF與線段BE的數(shù)量關系；(2)當0°＜α＜180°時，①如圖2，（1）中線段AF與線段BE的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，當B，E，F(xiàn)三點共線時，連接AE，判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．【答案】(1)AF(2)①仍然成立，理由見解析；②四邊形AECF是平行四邊形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意得BD=DE=EC=13BC，進而可得△ABC∽△FEC，得出FCAC=ECBC=13（2）①可證得△ACF∽△BCE，從而得出結果；②作DG⊥BF于G，由旋轉得DE=BD=13BC，可推出△BDG∽△BCF，得AF=22BE=2BG=2CF=CE，再由△CAF∽△CBE，推出∠(1)解：當α=180°時，點E在線段BC上，∵BD=13BC∴DE=BD=13BC∴BD=DE=EC，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CFE=∠BAC=90°，∵∠ECF=∠BCA=45°，∴△ABC∽△FEC，∴FCAC∴AFAC∵BC=2AC，∴BEBC∴BEAC=2∴AFBE(2)解：①AFBE理由如下：如圖2，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF=45°，CFCE=∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BCA=45°，CACB=2∴∠ECF=∠BCA，CFCE∴∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE，∴∠ACF=∠BCE，∵CFCA∴△CAF∽△CBE，∴AFBE∴AFBE②如圖，作DG⊥BF于G，由旋轉得：DE=BD=13BC∵∠BGD=90°，∠CFE=90°，∴DG∥CF，∴△BDG∽△BCF，∴BGBF∴BG=13BF，DG=13∵BD=DE，DG⊥BE∴BG=GE，∴EF=GE=BG，∵EF=CF，∴CF=BG=13BF由（2）得：AF=22BE=2BG∵△CAF∽△CBE∴∠CAF=∠CBE，∠ACF=∠BCE∵∠CEF=∠CBE+∠BCE=45°，∠BCE+∠ACE=∠ACB=45°∴∠CBE=∠ACE∴∠CAF=∠ACE∴AF∥CE∵AF=CE∴四邊形AECF是平行四邊形．【點睛】本題是三角形與四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，旋轉等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質及等腰直角三角形性質是解題關鍵．47．（2022·全國·九年級課時練習）如圖所示，在正方形ABCD中，E是BC上的點連接AE.作BF⊥AE垂足為H，交CD于F作CG//AE，交BF于G.求證：(1)CG=BH；(2)FC【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】（1）根據(jù)正方形的性質可得AB=BC，再利用同角的余角相等求出∠BAH=∠CBG，再利用“角角邊”證明△ABH和△BCG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=BH；（2）利用兩組角對應相等，兩三角形相似求出△BCF和△CGF相似，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式整理即可得證．【詳解】證明：(1)在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90∴∠ABH+∠CBG=90∵BF⊥AE，∴∠BAH+∠ABH=90∴∠BAH=∠CBG，在△ABH和△BCG中，∠BAH=∠CBG∠AHB=∠BGC=∴△ABH≌△BCG(AAS)，∴CG=BH；(2)∵BF⊥AE，CG//AE，∴CG⊥BF，∵∠BFC=∠CFG，∠BCD=∠CGF=90∴△BCF∽△CGF，∴FC∴FC【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，（1）熟記各性質并求出三角形全等是解題的關鍵，（2）確定出CG⊥BF并求出三角形相似是解題的關鍵．48．（2022·山東淄博·八年級期末）如圖1，已知矩形ABCD對角線AC和BD相交于點O，點E是邊AB上一點，CE與BD相交于點F，連結OE．(1)若點E為AB的中點，求OFFB(2)如圖2，若點F為OB中點，求證：AE＝2BE．(3)如圖2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，請用k的代數(shù)式表示AC2．【答案】(1)12(2)見解析；(3)AC2=4k（2k+1）【分析】（1）利用三角形中位線的性質，由△OEF∽△BCF即可解答；（2）過O作OG∥AB交CE于點G，可得OG為△CAE的中位線，OG=12AE，由△OFG≌△BFE可得OG=BE（3）過O作OH∥AB交CE于點H，由△OFH∽△BFE求得OH=k，由OH是△CAE的中位線求得AE=2k，再由△AOE∽△ABC即可解答.（1）解：如圖，∵O為矩形對角線交點，∴OA=OC，∵E為AB中點，∴OE為△ABC的中位線，∴OE∥BC，OE=12BC∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OEBC（2）如圖，過O作OG∥AB交CE于點G，∵OG∥AB，∴OC∶OA=GC∶GE=1∶1，∴G為CE中點，∴OG為△CAE的中位線，∴OG=12AE∵OG∥AB，則∠GOF=∠EBF，又∵∠OFG=∠BFE，OF=BF，∴△OFG≌△BFE，∴OG=BE，∴BE=12AE，即AE=2BE（3）解：如圖，過O作OH∥AB交CE于點H，∵OH∥AB，∴△OFH∽△BFE，∴OHBE∵BE=1，∴OH=k，∵O是AC中點，OH∥AB，∴OC∶OA=HC∶HE=1∶1，∴H是CE中點，OH是△CAE的中位線，∴AE=2OH=2k，∵∠OAE=∠BAC，∠AOE=∠ABC=90°，∴△AOE∽△ABC，

∴AOAB∵AO=12AC，AB=2k+1，AE=2k∴AC2=4k（2k+1）.【點睛】本題考查了矩形的性質，三角形中位線的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質；掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵．49．（2022·全國·九年級課時練習）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點N、M分別在邊BC、CD上，連結AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．【實踐探究】（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長是．（2）如圖②，點M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點M、N分別在邊DC、BC上，連結AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長．

【答案】（1）6；（2）EF【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質證明△ABE≌△ADM得到BE=DM，又由∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，證出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN，再證明△AMN≌△EAN（SAS），得出MN=EN最后證出MN=BN+DM．在Rt△CMN中，由勾股定理計算即可得到正方形的邊長；(2)先根據(jù)旋轉的性質證明△AEG≌△AEF（SAS），再證明∠GBE=90°，再根據(jù)勾股定理即可得到；(3)在AB上截取AP，在BC上截取BQ，使AP＝AB=BQ＝3，連結PQ交AM于點R，得到ABQP為正方形，再根據(jù)操作發(fā)現(xiàn)以及勾股定理即可得到答案；【詳解】（1）（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD，∠BAD=∠C=∠D=90°，由旋轉得：△ABE≌△ADM，∴BE=DM，∠ABE=∠D=90°，AE=AM，∠BAE=∠DAM，∴∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，即∠EAM=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=90°-45°=45°，∴∠MAN=∠EAN，在△AMN和△EAN中，AM＝AE∠MAN＝∠EAN∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN=EN．∵EN=BE+BN=DM+BN，∴MN=BN+DM．在Rt△CMN中，MN=C則BN+DM=5，設正方形ABCD的邊長為x，則BN=BC-CN=x-3，DM=CD-CM=x-4，∴x-3+x-4=5，解得：x=6，即正方形ABCD的邊長是6；故答案為：6；（2）數(shù)量關系為：EF將△AFD繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABG，連結EG．由旋轉的性質得到：AF=AG，∠DAF=∠BAG又∵∠EAF＝45°，∴∠GAE=90°?45°=45°,且AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），從而得EG＝EF．（全等三角形對應邊相等），又∵BN＝DM，BN∥DM，∴四邊形DMBN是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴DN∥BM，∴∠AND=∠ABM（兩直線平行，同位角相等），∵∠AND+∠ADN=90°,∴∠ABG+∠ABM=90°（等量替換），即：∠GBE=90°，則EG∴EF（3）在AD上截取AP，在BC上截取BQ，使AP＝AB=BQ＝3，連結PQ交AM于點R，易證ABQP為正方形，由操作與發(fā)現(xiàn)知：PR+BN＝RN．設PR＝x，則RQ＝3﹣x，RN=1+x，QN=3-1=2在Rt△QRN中，由勾股定理得：RN即(1+x)解得：x＝32∴PR=3∵PQ∥DC，∴△APR∽△ADM，∴PRDM∴3∴DM＝2；【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和由勾股定理得出方程是解題的關鍵．50．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC邊上動點(不與B,C重合)．連接AE,過點E作EF⊥AE,交DC于點F．(1)求證：△ABE～△ECF；(2)連接AF，試探究當點E在BC什么位置時，∠BAE=∠EAF，請證明你的結論．【答案】（1）證明見解析；（2）點E在BC中點位置時，∠BAE=∠EAF，證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質可得∠B=∠C=90°，再根據(jù)直角三角形的性質、角的和差可得∠BAE=∠CEF，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）如圖（見解析），先根據(jù)正方形的性質、平行線的性質可得∠B=∠ECH,∠BAE=∠H，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質可得AE=HE，然后根據(jù)等腰三角形的判定與性質可得∠EAF=∠H，最后根據(jù)等量代換即可得．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF=90°，∴∠BEA+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，在△ABE和△ECF中，∠B=∠C∠BAE=∠CEF∴△ABE～△ECF；（2）點E在BC中點位置時，∠BAE=∠EAF，證明如下：如圖，連接AF，延長AE于DC的延長線相交于點H，∵E為BC中點，∴BE=CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB//∴∠B=∠ECH,∠BAE=∠H，在△ABE和△HCE中，∠BAE=∠H∠B=∠ECH∴△ABE?△HCE(AAS)，∴AE=HE，∵EF⊥AH，∴△AFH是等腰三角形，∴∠EAF=∠H，∴∠BAE=∠EAF，故當點E在BC中點位置時，∠BAE=∠EAF．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構造全等三角形和等腰三角形是解題關鍵．51．（2022·全國·九年級課時練習）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為斜邊AB上的動點（不與點A，B重合）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，當AC=BC時，把線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE，連接DE，BE．①∠CBE的度數(shù)為______；②探究發(fā)現(xiàn)AD和BE有什么數(shù)量關系，請寫出你的探究過程；(2)探究證明：如圖2，當BC=2AC時，把線段CD繞點C逆時針旋轉90°后并延長為原來的兩倍，記為線段CE．①在點D的運動過程中，請判斷AD與BE有什么數(shù)量關系？并證明；②若AC=2，在點D的運動過程中，當△CBE的形狀為等腰三角形時，直接寫出此時△CBE的面積．【答案】(1)①45°，②AD=BE，證明見解析(2)①AD=12BE，證明見解析；②32【分析】（1）①②證明△ACD≌（2）①證明△ACD∽△BCE，即可求解；②根據(jù)△ACD∽△BCE，可得當△CBE是等腰三角形時，△ACD也是等腰三角形，且S△CBE=4S△ACD，然后分三種情況討論：若AC=CD=2，若AD=AC=2，若（1）解：①∵AC=BC，∴∠CAD=∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠CAD=∠ABC=45°，∵線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE∴∠DCE=90°，DC=CE，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌∴∠CBE=∠CAD=45°，②AD=