2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題（題目版）

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A. B. C. D.5.若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（）A. B. C. D.6.《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A.64 B.96 C.128 D.1607.函數(shù)是A.奇函數(shù)，且最大值為2 B.偶函數(shù)，且最大值為2C.奇函數(shù)，且最大值為 D.偶函數(shù)，且最大值為8.某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨9.已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當(dāng)變化時，若的最小值為2，則A. B. C. D.10.已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（）A.9 B.10 C.11 D.12第二部分（非選擇題共110分）二、填空題5小題，每小題5分，共25分．11.在的展開式中，常數(shù)項為__________．12.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸與于點.若，則點的橫坐標(biāo)為_______；的面積為_______．13.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則________；________.14.若點關(guān)于軸對稱點為，寫出一個取值為___．15.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有個1零點；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有個3零點；④存在正數(shù)，使得恰有個3零點．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：周長為；條件③：的面積為；17.如圖：在正方體中，為中點，與平面交于點．（1）求證：為的中點；（2）點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．18.在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)19.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．20.已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．21.設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③