數(shù)學(xué)32《復(fù)數(shù)的4則運算》素材(新人教A版選修2-2)

數(shù)學(xué)：3.2《復(fù)數(shù)的4則運算》素材(新人教A版選修2-2)數(shù)學(xué)：3.2《復(fù)數(shù)的4則運算》素材(新人教A版選修2-2)數(shù)學(xué)：3.2《復(fù)數(shù)的4則運算》素材(新人教A版選修2-2)復(fù)數(shù)中的幾個結(jié)論及共應(yīng)用數(shù)系由實數(shù)系擴大到復(fù)數(shù)系以后,實數(shù)系中哪些公式和法例仍舊建立,哪些不建立,又有哪些新的公式和法例,是同學(xué)們不易弄清的問題,以下給出幾則在復(fù)數(shù)系中仍舊建立的公式和法例及幾個新的公式和法例,并簡單舉例說明其應(yīng)用.一、中點公式：A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為a1b1i(a1R，b1R),B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為a2b2i(a2即a1a22例113i，i，2

R，b2R),C點為A，B兩點的中點,則C點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為a1b1ia2b2i,2b1b2i．2四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形,A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i,求D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：由已知應(yīng)用中點公式可得A，C的中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3,因此D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)2i23[22(1)]i35i．為22二、根與系數(shù)的關(guān)系：若實系數(shù)方程ax2bxc0(a0)的兩復(fù)根為a1b1i,a2b2i,則有a1bi1a2b2ib,(a1bi1)·(a2b2i)c．a(chǎn)a2bxc0(a0)有兩虛數(shù)根,則這兩個虛數(shù)根共軛．推論：若實系數(shù)方程ax例2方程x2axb0的一個根為1i,務(wù)實數(shù)a,b的值．解：已知實系數(shù)方程的一個根為1i,由推論知方程的另一根為1i,由根與系數(shù)的關(guān)系可知a(1i1i)2,b(1i)·(1i)2．三、相關(guān)運算性質(zhì)：①z為實數(shù)zzz20z22,zz為純虛數(shù)z20zz0(z0)；②對隨意復(fù)數(shù)有zz；③zz2zz；④z·z2z·z2,特11211別地有z2(z)2；⑤z1z1；⑥2z·z．zz2z2例3設(shè)z1,且zi,求證z為實數(shù)．12z證明：由條件可知z0,則z·z21,z11zzzzz1z因此,zzz1z21z21z21(z)21(z1)2z2,1因此z為實數(shù)．12z四、兩則幾何意義：①zz0的幾何意義為點z到點z0的距離；②zz0r(r0)中z所對應(yīng)的點為以復(fù)數(shù)z0所對應(yīng)的點為圓心,半徑為r的圓上的點．例4若zC,且z22i1,則z22i的最小值為．解：z22i1即z(22i)1,z對應(yīng)的點為到點(2，2)的距離為定值1的全部的點,即以(2，2)為圓心,1為半徑的圓O上的點．z22i即z(22i),為圓O上的點與點(2，2)之間的距離減去圓O的半徑,可得結(jié)果為3．復(fù)數(shù)與平行四邊形家族菱形、矩形、正方形等特別的平面幾何圖形與某些復(fù)數(shù)式之間存在某種聯(lián)系及互相轉(zhuǎn)變的門路．在求解復(fù)數(shù)問題時,要擅長觀察條件中給定的或許是經(jīng)過推理所得的復(fù)數(shù)形式的構(gòu)造特點,常常能獲取簡捷明快、生動開朗的解決方法．下邊略舉幾例,以供參照．一、復(fù)數(shù)式與長方形的轉(zhuǎn)變例1復(fù)數(shù)z1,z2知足z1z20,z1z2z1z2,證明：z120．z22z1,z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z1,Z2,由z1z2z1z2uuuur分析：設(shè)復(fù)數(shù)知,以O(shè)Z1,uuuuruuuuruuuur,故可設(shè)z1OZ2為鄰邊的平行四邊形為矩形,∴OZ1OZ2ki(kR，k0),因此z2z1222k20．z2k12例2已知復(fù)數(shù)z1,1271,且z1z2z1與z1z2的z2值．分析：設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z1,Z2,因為(71)2(71)242,故2z22z12z1z2,uuuuruuuuruuuuruuuur故以O(shè)Z1,OZ2為鄰邊的平行四邊形是矩形,進而OZ1OZ2,則z171i47i；z1z2z1z24．z2713二、復(fù)數(shù)式與正方形的轉(zhuǎn)變例3已知復(fù)數(shù)z1，z2z1z21122122知足,且,求證：．證明：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z1,Z2,由條件知z1z22z12z2,uuuuruuuur形為正方形,而z1z2在復(fù)平面上對應(yīng)的向量為正以O(shè)Z1,OZ2為鄰邊的平行四邊方形的一條對角線,因此z1z22．評論：復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系給予了復(fù)數(shù)的幾何意義,復(fù)數(shù)加法幾何意義的運用是此題觀察的要點．三、復(fù)數(shù)式與菱形的轉(zhuǎn)變例4已知z1，z2C,z1z21,z1z23,求z1z2．分析：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2,z1z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z1，Z2，Z3,由z1z21知,以uuuuruuuura2,∴za,考慮到za時,OZ1,OZ2為鄰邊的平行四邊形是菱形,∴z2z2a20；zai時,z2a2z2a2(a0)為純虛數(shù)的充要條件是za,2222無心義,故使22zaz