2023中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料(全國通用)分項專題19 相似三角形(講通)-【講通練透】中考數(shù)學(xué)一輪(全國通用)(學(xué)生版)_第1頁
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文檔簡介

專題19相似三角形1.了解相似圖形和相似三角形的概念。2.掌握三角形相似的判定方法和性質(zhì)并學(xué)會運用。一、相似圖形1.形狀相同的圖形叫相似圖形,在相似多邊形中,最簡單的是相似三角形.2.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為,那么就說這兩條線段的比是,或?qū)懗桑⒁猓涸谇缶€段比時,線段單位要統(tǒng)一,單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位.在四條線段中,如果的比等于的比,那么這四條線段叫做成比例線段,簡稱比例線段.注意:(1)當(dāng)兩個比例式的每一項都對應(yīng)相同,兩個比例式才是同一比例式.(2)比例線段是有順序的,如果說是的第四比例項,那么應(yīng)得比例式為:.3.比例的性質(zhì)基本性質(zhì):(1);(2).注意:由一個比例式只可化成一個等積式,而一個等積式共可化成八個比例式,如,除了可化為,還可化為,,,,,,.更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項):反比性質(zhì)(把比的前項、后項交換):.合比性質(zhì):.注意:實際上,比例的合比性質(zhì)可擴展為:比例式中等號左右兩個比的前項,后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如:等等.等比性質(zhì):如果,那么.注意:(1)此性質(zhì)的證明運用了“設(shè)法”,這種方法是有關(guān)比例計算,變形中一種常用方法.(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時,要考慮到分母是否為零.(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù),再利用等比性質(zhì)也成立.4.比例線段的有關(guān)定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.推論:(1)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.(2)平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.定理:如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形第三邊.5.黃金分割把線段分成兩條線段,且使是的比例中項,叫做把線段黃金分割,點叫做線段的黃金分割點,其中≈0.618例1.如果,則下列正確的是()A. B. C. D.例2.兩個相似多邊形的一組對應(yīng)邊的長分別為,,那么它們的相似比為()A. B. C. D.二、相似三角形的概念對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符號“∽”表示,讀作“相似于”.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù)).相似三角形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例.注意:①對應(yīng)性:即兩個三角形相似時,通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上,這樣寫比較容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊.②順序性:相似三角形的相似比是有順序的.③兩個三角形形狀一樣,但大小不一定一樣.=4\*GB3④全等三角形是相似比為1的相似三角形.二者的區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等,而相似要求對應(yīng)邊成比例.三、相似三角形的等價關(guān)系(1)反身性:對于任一有∽.(2)對稱性:若∽,則∽.(3)傳遞性:若∽,且∽,則∽.四、相似三角形的基本定理定理:平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.定理的基本圖形:五、三角形相似的判定方法1、定義法:對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.2、平行法:平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.3、判定定理1:如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似.簡述為:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似.4、判定定理2:如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似.簡述為:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似.5、判定定理3:如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個三角形相似.簡述為:三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似.6、判定直角三角形相似的方法:(1)以上各種判定均適用.(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角三角形相似.(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似.直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)2=BD·DC,(2)(AB)2=BD·BC,(3)(AC)2=CD·BC。證明:在△BAD與△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴AD/BD=CD/AD,即(AD)2=BD·DC。其余類似可證。注:由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式(2)+(3)得:(AB)2+(AC)2=BD·BC+CD·BC=(BD+CD)·BC=(BC)2,即(AB)2+(AC)2=(BC)2。這就是勾股定理的結(jié)論。例3.下列能夠相似的一組三角形為()A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形例4.如圖,等邊中,點E是的中點,點D在上,且,則()A. B. C. D.六、相似三角形性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例.(2)相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.(3)相似三角形周長的比等于相似比.(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方.(5)相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等,也可用來計算周長、邊長等.例5.兩個三角形的相似比是3:2,則其面積之比是()A.3:2 B.2:3 C.9:4 D.27:8例6.如圖,,則的度數(shù)為()A. B. C. D.1.(2022·福建省泉州實驗中學(xué)九年級期中)如圖,已知內(nèi)接于,平分,交于,交于,若,的長是方程的兩實數(shù)根,且,則的長為()A. B. C. D.2.(2022·哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校九年級開學(xué)考試)如圖,如果l1∥l2∥l3,則下列各式錯誤的是()A. B. C. D.3.(2022·廣西賀州市·九年級期中)如圖所示,已知點C是線段AB的黃金分割點,AC>BC,且AB=2,則AC的長約為()A.1.543 B.1.236 C.1.123 D.1.6184.(2022·廣西賀州市·九年級期中)已知,則下列式子成立的是()A.3x=5y B.xy=15 C. D.5.(2022·全國九年級專題練習(xí))如圖,△ABC中,A,B兩個頂點在x軸的上方,點C的坐標(biāo)是(-1,0).以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設(shè)點B的對應(yīng)點B′的橫坐標(biāo)是,則點B的橫坐標(biāo)是().A. B. C. D.6.(2022·全國九年級專題練習(xí))下列命題:①兩個正方形是位似圖形;②兩個等邊三角形是位似圖形;③兩個同心圓是位似圖形;④平行于三角形一邊的直線截這個三角形的兩邊,所得的三角形與原三角形是位似圖形,其中正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個7.(2022·全國九年級專題練習(xí))如圖,直線l1∥l2∥l3,若AB=2,BC=3,DE=1,則EF的值為()A. B. C.6 D.8.(2022·哈爾濱市虹

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