中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題6《對(duì)角互補(bǔ)模型》

專《對(duì)互?！菲撇?．等之90°”如圖，∠AOB∠＝90°，OC分∠，則AD

COE＝；＋＝

2

OC；（）S

2

．證方法：圖，過點(diǎn)C分別⊥，⊥，垂足分別為M．由角平分線的性質(zhì)可得＝，∠MCN＝90°．所以∠＝NCE從而△≌△NCE（）故CDCE易證四邊形MONC為正形．

MD

C所以O(shè)DOEODON＋＝ON＝2OC．

N

所以S

正方形

ON

2

OC

2

．方二如圖，過作⊥，OB于點(diǎn)．易證∠＝EFC＝45°＝，∠DCO＝∠ECF．所以△≌ECF（ASA所以CD＝，ODFE可得ODOEOFOC

D

C所以S

OC

2

．

F

【拓】如，當(dāng)DCE的一邊與AO的延長線交于點(diǎn)時(shí)則：CD

＝；－＝

OC；（）S

OCE

OCD

OC

2

．如圖，證明同上．

M

C

CD

N

D

FE2．等之120”如圖，∠AOB＝2∠＝120°，OC平分∠，則：ADE

B（）＝；（）＋＝；（）

2

．證

方一如圖，過點(diǎn)C分別⊥，⊥，垂足分別為M，．所以

OCD

OCE

2S

OC

2易證△≌△NCE（）所以CDCEODOE＝ONO．

M

DN

D

F

方二如圖，以CO為邊∠FCO＝60°，交OB點(diǎn)，eq\o\ac(△,則)OCF等邊三角形．易證△△ECFASA）．所以CD＝，ODOE＝OC，∴＋＝＝eq\o\ac(△,S)OCDeq\o\ac(△,S)OCEeq\o\ac(△,S)OCF

OC

【拓展】如圖，當(dāng)∠的一邊與BO的延長線交于點(diǎn)E時(shí)則（）＝；2）OD－＝；）－＝eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)如圖，證明同上．AA

OC

D

D

C

D

CME

NB

E

F3、等之任角如圖，∠AOB2

，∠DCE＝°－2

，平∠AOB則：（）＝；2）OD＋＝OC·

；（3）＋＝eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC

·sin

cos

D

E

證明：方法一：如圖，過點(diǎn)C分作CM⊥OA，⊥，垂足分別為M，

AD

N

B易證△△NCEASA）∴，＋＝ON2OC·cos

∴＋＝＝·eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC方法二：如圖，以CO為一邊作∠＝180－，OB于．D

CEF易證△△ECFASA）

∴，＋＝＝·cos

∴＋＝＝·eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OECeq\o\ac(△,S)OCF【拓展】如圖，當(dāng)∠的一邊與BO的延長線交于點(diǎn)E時(shí)則（）＝；2）OD－＝OC·（3）－＝·eq\o\ac(△,S)ODCeq\o\ac(△,S)OEC如圖，證明同上D

A

AO

C

CEO

B

E

C

B4、似之90°”如圖，∠AOB∠＝90°，COB＝

，則CE·tan

E

方法一：如圖，過點(diǎn)C分作⊥OACNOB垂足分別為M、NDMCO易證△△NCE∴

MDCDCM

，即CE·tan

方法二：如圖，過點(diǎn)C作⊥，OB于點(diǎn)F．ADCEF

B易證△∽△ECF，∴

ODCD

，即CECD·tan

方法三：如圖，連接．AD

B易證D、、、點(diǎn)共圓∴∠CDE∠COE＝，CE＝·tan

【拓展】如圖，當(dāng)∠的一邊與AO的延長線交于點(diǎn)D時(shí)則CE＝·tan

O

D如圖，證明同上．A

C

CO

E

B

F

O

D

D

D例講例1已△是⊙內(nèi)接三角形ABAC在所對(duì)弧BC上任取一點(diǎn)D連AD，，．如圖1，若∠BAC＝120°，那么BD＋與AD間的數(shù)量關(guān)系是什么？如圖2，若∠BAC＝，么BD＋與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什？D

C

B

A

圖1

2解：（）＋＝

ADB

E

CA

3

F如圖3，過點(diǎn)A分別向∠BDC的兩邊作垂線，垂分別為、．由題意可得ADB＝∠ADC＝°易證△≌△AFC∴＝DE＝

AD⑵＝sin

．如圖4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的長線于點(diǎn)．DB

F

CE則△EBA≌△，以＝AE＝D．

OA圖4作AF⊥于點(diǎn)，則＝

．所以＋＝＝DF2ADsin．例如1，將一個(gè)直角三角板的角頂點(diǎn)P放在正方形的角線上滑動(dòng)，并使其一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)，一直角邊與相交于點(diǎn)F求證：＝；如圖，將⑴中的正方形變?yōu)榫?，其余不變，且?0，＝8，求AP：的值；⑶如圖，在⑵的條件下，當(dāng)P滑到的延長線上時(shí)AP：的值是否發(fā)生變化？A

DBE圖1

P

ACB

DPE圖2

圖3

PFDC解⑴如圖4，過點(diǎn)P分別作⊥，⊥，足分別為M，．則PM＝，MPN°，由已知條件可得APE90，所以APM＝∠EPN，以APM≌△．故AP＝．AM

DBE圖4

C⑵如圖，過點(diǎn)P分別PM，⊥，足分別為，．則∥，∥D．所以△△BDA△∽BC．可得

PMPMAD5，所以．ADBDPNCD易證△△EPN所以

PM．PN4A

DM

PB圖5⑶的不變．如，理由同]

CMA

D

PFB

圖

C進(jìn)訓(xùn)1．如圖，四邊形ABCD被角分等腰和eq\o\ac(△,Rt)，中BAD和∠都是直角，另一條對(duì)角線的度2，則四邊形的積為_________ABC第圖答案：四邊形的面積為2．【提示證A四點(diǎn)共圓∠BCA＝∠BDA＝∠ABD∠ACD全等型90的結(jié)論可得＝

AC＝．2．在△ABC中＝，A＝°，是BC邊中點(diǎn)，EDF＝120°，與AB邊相交于點(diǎn)，與邊或AC邊的延線）相交于點(diǎn)．A

AEE

NBD

FC

B

C

F第1題圖1

第1題圖2⑴如圖，與邊交于點(diǎn)，求證BECF＝

AB；⑵如圖2，將圖1中∠繞D順針旋轉(zhuǎn)定的角度，使DF與AC邊的延長線交于點(diǎn)F，作DN⊥于N，若＝，證：＋CF＝（－）答案：略．1AB21AB2【提示點(diǎn)D作DG∥交于G≌DFCBE＋＝＋＝＝B．2AGB第1題圖1⑵過點(diǎn)DDG∥交AB于點(diǎn)G，同⑴可得BE＝

C

＝＝，長至H使3得BH＝DHDF而BE＋CF＝＝2（）．AEG

＝×2N

DN＝2DN以BE＋CF＝3BH

D第答圖2

C

F3．在菱形ABCD中兩條對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∠MON∠＝180°，MON繞旋轉(zhuǎn)，射線OMBC于E射線ON交CD于，連結(jié)EF如圖，當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，的形狀____如圖，當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，請(qǐng)判斷△OEF形狀，并說明理由；如圖3，在⑴的條件下，將的點(diǎn)移動(dòng)到AO的中點(diǎn)O處，∠'繞旋轉(zhuǎn)，仍滿足∠'BCD°，射線'交線于點(diǎn)，射線'交線CD于，當(dāng)BC＝，

V8形

時(shí)，求的長．AD

A

D