2016年考研數(shù)學(xué)二真題與解析

2016年考研數(shù)學(xué)二真題與解析一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．1均是比x0時(shí)，若ln(12x)，(1cosx)x高階的無(wú)窮小，則的可能取值范圍是（）１．當(dāng)11（A）(2,)(1,2)(,1)(0,)（B）（C）（D）221(1cos)~1x212是階無(wú)窮小，【詳解】ln(12x)~2x，是階無(wú)窮小，x由題意可知2112所以的可能取值范圍是，(1,2)應(yīng)該選（B）．2．下列曲線(xiàn)有漸近線(xiàn)的是（A）yxsinx（B）yx2sinx（C）yxsin1（D）yx2sin1xx【詳解】對(duì)于yxsin1xlimy1且lim(yx)limsin10，所以有斜漸近線(xiàn)yxxx，可知xxx應(yīng)該選（C）3．設(shè)函數(shù)f(x)具有二階g(x)f(0)(1x)f(1)x，則在[0,1]上（）f'(x)0時(shí)，f(x)g(x)導(dǎo)數(shù)，（A）當(dāng)f'(x)0時(shí)，f(x)g(x)（B）當(dāng)0時(shí)，f(x)g(x)（D）當(dāng)f(x)g(x)f(x)0時(shí)，f(x)（C）當(dāng)【分析】此題考查的曲線(xiàn)的凹凸性的定義及判斷方法．【詳解1】如果對(duì)曲線(xiàn)在區(qū)間[a,b]上凹凸的定義比較熟悉的話(huà)，可以直接做出判斷．顯然g(x)f(0)(1x)f(1)x就是聯(lián)接(0,f(0)),(1,f(1))兩點(diǎn)的的，也就是f(x)g(x)，應(yīng)該選（f(x)0時(shí)，曲線(xiàn)是凹直線(xiàn)方程．故當(dāng)D）【詳解2】如果對(duì)曲線(xiàn)在區(qū)間[a,b]上凹凸的定義不熟悉的話(huà)，可令F(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)x，則F(0)F(1)0，且F"(x)f"(x)，故當(dāng)f(x)0凹的，從而F(x)F(0)F(1)0，即F(x)f(x)g(x)0，也就是時(shí)，曲線(xiàn)是Page1of14f(x)g(x)，應(yīng)該選（D）xt7,2t的點(diǎn)處的曲率半徑是（）14．曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)于yt24t110101010510（Ａ）（Ｂ）(Ｃ）（Ｄ）50100y"1，曲率半徑．【詳解】曲線(xiàn)在點(diǎn)(x,f(x))處的曲率公式KR(1y'2)3K2dxdtdydy2t412dy1t32，t22t,2t4本題中，所以dx，dt2ttdx22ty"11，曲率半徑t1的點(diǎn)處y'3,y"1，所以KR1010．對(duì)應(yīng)于(1y'2)31010K應(yīng)該選（C），則（）2x，若f(x)xf'()5．設(shè)函數(shù)f(x)arctanlimx2x02111（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）32311xx0時(shí),arctanxx13x3o(x3)．1）fx，（2）【詳解】注意（'()2112f(x)arctanxxarctanx(arctanx)2，，2由于f(x)xf'()．所以可知f'()xxx(x13x3)o(x3)x3lim2limxarxtanxlim13．xx(arctanx)22x0x0x0u206．設(shè)u(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足及xy2u2u0，則（）．x2y2（A）u(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上（B）u(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的內(nèi)部；；（C）u(x,y)的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上；Page2of14（D）u(x,y)的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上．【詳解】u(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以u(píng)(x,y)在D內(nèi)必然有最大值和最小值．并且如果在uu2u2u2u2uy2,B，由0，在這個(gè)點(diǎn)處A,C內(nèi)部存在駐點(diǎn)(x,y)，也就是xyx200xyyx條件，顯然ACB20，顯然u(x,y)不是極值點(diǎn)，當(dāng)然也不是最值點(diǎn)，所以u(píng)(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上．所以應(yīng)該選（A）．0ab0a00b0cd0等于7．行列式c00d（A）(adbc)(adbc)2adb2c2ad2b2c2（D）22（B）（C）22【詳解】0ab0a0ba0ba00ba0d0b0c0ad0cd0abbcab(adbc)2cdcdc0dc0dc00d應(yīng)該選（B）．8．設(shè),,是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)k,l，向量k，線(xiàn)性無(wú)關(guān)是向量,,123l1231323線(xiàn)性無(wú)關(guān)的（A）必要而非充分條件（B）充分而非必要條件（D）非充分非必要條件（C）充分必要條件3【詳解】若向量,,線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則1210（k，）(,,)01(,,)K，對(duì)任意的常數(shù)k,l，矩陣K的秩都等123123l1323kl于2，所以向量k，一定線(xiàn)性無(wú)關(guān)．l3132100kl13230,1,0而當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的常數(shù)，向量，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，但k,l1230003,,線(xiàn)性相關(guān)；故選擇（A）．12Page3of14二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿(mǎn)分24分.把答案填在題中橫線(xiàn)上）19．x22x5dx1．3|()【詳解】11x22x5dx1(x1)241arctanx111dx222428．10．設(shè)f(x)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f'(x)2(x1),x0,2，則f(7)．【詳解】當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)2(x1)dxx22xC，由f(0)0可知C0，即f(x)x22x；f(x)為周期為4奇函數(shù)，故f(7)f(1)f(1)1．11．設(shè)zz(x,y)是由方程e2yzxy2z7確定的函數(shù)，則dz|,22．411【詳解】設(shè)F(x,y,z)e2yzxy2z7，F(xiàn)1,F2ze2yz2y,F2ye2yz1，當(dāng)xy124xyz時(shí)，z0，xzFx1z，F(xiàn)y11dx12dy．2，所以dz|2F2yF11,22zzr，則L在點(diǎn)(r,),處的切線(xiàn)方程為12．曲線(xiàn)L的極坐標(biāo)方程為．22xr()coscosyr()sinsin【詳解】先把曲線(xiàn)方程化為參數(shù)方程，于是在2處，，x0,y2sincoscossin2處的切線(xiàn)方程為2(0)dy|dx2|yx，即(r,),，則在點(diǎn)L22222yx.2(x)x22x1，則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)13．一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于x軸的區(qū)間0,1上，若其線(xiàn)密度x．1110()xxdx1(x32x2x)dx12【詳解】質(zhì)心坐標(biāo)x1120．05(x)dx1(x22x1)dx013014．設(shè)二次型f(x,x,x)x2x22axx4xx的負(fù)慣性指數(shù)是1，則a的取值范圍123121323Page4of14是．【詳解】由配方法可知f(x,x,x)x2x22axx4xx312312132(xax)2(x2x)2(4a2)x231323由于負(fù)慣性指數(shù)為1，故必須要求4a20a2,2，所以的取值范圍是．三、解答題15．（本題滿(mǎn)分10分）1x(t2(et1)t)dt求極限limx1．x2ln(11)x【分析】．先用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限．【詳解】11x(t2(et1)t)dt1x(t2(et1)t)dt1limxlimxlim(x2(ex1)x)x1x2ln(11)xxlimx2(11o(1)x122x2x2xx16．（本題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)yy(x)滿(mǎn)足微分方程x2y2y'1y'，且y(2)0，求y(x)的極大值和極小值．【詳解】解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到(1y2)dy1x2，這是一個(gè)可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分dx可得方程通解為：13y3yx13x3C，由y(2)0得C32，13y3yx13x3．2即3dy1x201y2dxd2y2x(1y2)22y(1x2)2dx2(1y)23，得x1，且可知令；當(dāng)x1時(shí)，可解得y1，y"10，函數(shù)取得極大值y1；當(dāng)x1時(shí)，可解得y0，y"20，函數(shù)取得極小值y0．17．（本題滿(mǎn)分10分）Page5of14xsin(x2y2)D(x,y)|1x2y24,x0.y0．計(jì)算dxdy設(shè)平面區(qū)域xyD【詳解】由對(duì)稱(chēng)性可得xsin(x2y)ysin(x2y2)(xy)sin(x2y2)dxddxd12dxdyxyxy2xyDDDsin(x2y2)1dxd1d2rsinrdr32212401D18．（本題滿(mǎn)分10分）2z2zx2y2設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，zf(excosy)滿(mǎn)足zexcosy)e(42x．若f(0)0,f'(0)0，求f(u)的表達(dá)式．【詳解】設(shè)uexcosy，則zf(u)f(ecosy)，xzf'(u)excosy2zf"(u)e2xcos2yf'(u)excosy;,xx2zf'(u)esiny,2zf"(u)e2xsin2yf'(u)excosy；xyy22z2zf"(u)e2xf"(excosy)e2xx2y22z2z(4cos)ye2x，zex由條件可知xy22f"(u)4f(u)u這是一個(gè)二階常用系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程．對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：f(u)Ce2uCe2u其中C,C為任意常數(shù)．1212對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為y*14u．1故非齊次方程通解為f(u)Ce2uCe2u4u．12Page6of1411C,C．1612將初始條件f(0)0,f'(0)0代入，可得16f(u)的表達(dá)式為f(u)116e1e2u1．u所以2u16419．（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間f(x)單調(diào)增加，，證明：a.b上連續(xù)，且0g(x)1（1）xg(t)dtxa,xa,b；0ag(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx．a(chǎn)b（2）aaa【詳解】dtxa,b．0g(x)10x1xxg(t)dt（1）證明：因?yàn)椋詃xaaa即0xg(t)dtxa,xa,b．a(chǎn)x（2）令F(x)xf(u)g(u)duag(t)dtf(u)du，aaaF'(x)f(x)g(x)g(x)faxg(t)dt，F(xiàn)(a)0，且知?jiǎng)t可a0因?yàn)閤g(t)dtxa,且f(x)單調(diào)增加，afa所以xg(t)dtf(axa)f(x)．從而aF'(x)f(x)g(x)g(x)faxg(t)dtf(x)g(x)g(x)f(x)0，xa,ba也是F(x)在a,b單調(diào)增加，則F(b)F(a)0，即得到abg(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx．a(chǎn)aa20．（本題滿(mǎn)分11分）x設(shè)函數(shù)f(x)1x,x0,1，定義函數(shù)列f(x)f(x)，f(x)f(f(x))，,f(x)f(f(x)),121nn1設(shè)S是曲線(xiàn)yf(x)，直線(xiàn)x1,y0所圍圖形的面積．求極限．limnSnnnn【詳解】xx1xf(x)1fx1xx12x13xf(x)1,f(x)1()，f(x),，x2x311x1Page7of14x1nxf(x)n.利用數(shù)學(xué)歸納法可得xln(1n)S1f(x)dx01nxdx111(111nx)dx1(1)，nnnnn00limnSlim1ln(1n)1．nnnn21．（本題滿(mǎn)分11分）f2y1)，且f(y,y)(y1)2(2y)lny，求曲線(xiàn)已知函數(shù)f(x,y)滿(mǎn)足(yf(x,y)0所成的圖形繞直線(xiàn)y1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．【詳解】f2y1f(x,y)滿(mǎn)足(y)，所以f(x,y)y22yC(x)，其中為待定的連續(xù)函數(shù)．C(x)由于函數(shù)12(2y)lny，從而可知又因?yàn)閒(y,y)(y)C(y)1(2y)lny，yC(x)y得到f(x,y)y2222y1(2x)lnx．令f(x,y)0，可得2(y1)(2x)lnx．且當(dāng)y1時(shí)，x1,x2．12曲線(xiàn)f(x,y)0所成的圖形繞直線(xiàn)y1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為25V2(y1)dx2(2x)lnxdx(2ln24)1122．（本題滿(mǎn)分11分）1234設(shè)A0111，E為三階單位矩陣．1203（1）求方程組AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系；ABE的所有矩陣．（2）求滿(mǎn)足【詳解】（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換如下：1234123412341001A0111011101110102，1203043100130013得到方程組AX0同解方程組Page8of14xx144x2x2x3x3412得到AX0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．311xyz111xyz（2）顯然B矩陣是一個(gè)43矩陣，設(shè)B222xyz333xyz444對(duì)矩陣(AE)進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下：12341001234100(AE)0111010011101004311011203001123410010012610111010010213100131410013141由方程組可得矩陣B對(duì)應(yīng)的三列分別為216111xyz111123212xxyyzcc，c2，22，13431312z3333010101xyz444即滿(mǎn)足ABE的所有矩陣為2c6c1c12312c32c12cB12313c43c13c123c1cc23其中c,c,c為任意常數(shù)．31223．（本題滿(mǎn)分11分）1110011