數(shù)字圖像處理第2章

第2講圖像的頻域變換2.1傅立葉變換2.2離散余弦變換2.5離散沃爾什-哈達瑪變換2.4小波變換2.3

Gabor變換頻域變換的意義在計算機的圖像處理中，所謂圖像變換就是為達到圖像處理的某種目的而運用的一種數(shù)學技巧.圖像函數(shù)經(jīng)過變換后處理起來較變換前更加簡潔和便利，由于這種變換是對圖像函數(shù)而言的，所以稱為圖像變換?，F(xiàn)在探討的圖像變換基本上都是正交變換，正交變換可以削減圖像數(shù)據(jù)的相關(guān)性，獲得圖像的整體特點，有利于用較少的數(shù)據(jù)量表示原始圖像，這對圖像的分析、存儲以及圖像的傳輸都是特殊有意義的。傅立葉變換一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換對定義為：（2.1.1）（2.1.2）2.1.1二維離散傅立葉變換（2.1.3）二維離散傅立葉變換(DFT)二維離散傅立葉變換的性質(zhì)圖2.1.1二維傅立葉變換的頻譜分布

2.1.2數(shù)字圖像傅立葉變換的頻譜分布和統(tǒng)計特性

1．數(shù)字圖像傅立葉變換的頻譜分布

數(shù)字圖像的二維離散傅立葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖2.1.1所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個角的四周對應(yīng)于低頻成分，中心部位對應(yīng)于高頻部分。為了便于視察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中心，可接受圖示的換位方法，依據(jù)傅立葉頻率位移的性質(zhì)，只須要用f(x，y)乘上因子進行傅立葉變換即可實現(xiàn)，變換后的坐標原點移動到了窗口中心，圍繞坐標中心的是低頻，向外是高頻。圖2.1.2頻率位移示例圖2.1.2給出了二維離散傅立葉變換的頻率位移特性示例。圍繞坐標中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對中心點是共軛對稱的，利用這個特性，假如在數(shù)據(jù)存儲和傳輸時，僅存儲和傳輸它們中的一部分，進行逆變換復原原圖像前，依據(jù)對稱性補充另一部分數(shù)據(jù)，就可達到數(shù)據(jù)壓縮的目的。2．圖像傅立葉變換的統(tǒng)計分布（1）傅立葉變換后的零頻重量F（0，0），也稱作直流重量，依據(jù)公式（2.1.9），它反映了原始圖像的平均亮度。（2）對大多數(shù)無明顯顆粒噪音的圖像來說，低頻區(qū)集中了85％的能量，這一點成為對圖像變換壓縮編碼的理論依據(jù)，如變換后僅傳送低頻重量的幅值，對高頻重量不傳送，反變換前再將它們復原為零值，就可以達到壓縮的目的。（3）圖像灰度變更緩慢的區(qū)域，對應(yīng)它變換后的低頻重量部分；圖像灰度呈階躍變更的區(qū)域，對應(yīng)變換后的高頻重量部分。除顆粒噪音外，圖像微小環(huán)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變更突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻重量特征。(a)Lena(b)Barbara(c)Mandrill

圖2.1.3國際上流行的三幅標準圖像

傅立葉變換應(yīng)用舉例去除正弦波噪聲去除白噪聲l

信號分析，包括濾波、數(shù)據(jù)壓縮、電力系統(tǒng)的監(jiān)控等；

l

探討偏微分方程，比如求解熱力學方程的解時，把f(t)綻開為三角級數(shù)最為關(guān)鍵。

l

概率與統(tǒng)計，量子力學等學科。2.2離散余弦變換(DiscreteCosineTransform)

假如一個函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，即f(x)=f(-x)，求此函數(shù)的傅立葉變換如下：（2.2.1）

一維離散余弦變換

設(shè){f(x)|x=0，1，…，N-1}為離散的信號序列，一維DCT變換對定義如下：

（2.2.2）

u=0，1，2，…，N－1x=0，1，2，…，N－1二維離散余弦變換正、反變換核為：

（2.2.3）

DCT的變換核具有可分別性，而且二維DCT的正反變換核是相同的。DCT變換頻譜示意圖與變換核為復指數(shù)的DFT相比，由于DCT的變換核是實數(shù)的余弦函數(shù)，因此DCT的計算速度要快，廣泛應(yīng)用于數(shù)字信號處理，如圖像壓縮編碼、語音信號處理等方面。

DCT變換的意義加窗傅立葉變換-Gabor變換傅立葉變換對:2.3加窗傅立葉變換(2.3.1)加窗傅立葉變換離散信號加窗傅立葉變換對:(2.3.2)圖2.3.1STFT示意圖圖2.3.2lenna圖加窗傅立葉變換的頻譜2.3.1Gabor變換的基本概念a，b為常數(shù)(a代表柵格的時間長度，b代表柵格的頻率長度)，如圖2.3.3所示。圖2.3.3Gabor綻開的取樣柵格圖2.3.4h(t)的位移和調(diào)制圖示高斯函數(shù)有緊支撐的適度光滑函數(shù)Gabor變換最初提出時，指定用了高斯窗加窗傅立葉變換的不足:時-頻窗的形態(tài)對時頻精細化程度的影響時頻窗的面積加窗傅立葉變換的優(yōu)點:能夠?qū)π盘栠M行時-頻局部化分析不能自適應(yīng)的調(diào)整時-頻窗小波變換2.5小波變換2.5.1小波變換的發(fā)展歷程：1910年，Harr函數(shù)系在工程界常用1946年，Gabor創(chuàng)立了時-頻相位空間理論，這是早期的非正交小波綻開1981年，法國地質(zhì)物理學家Morlet首先（第一次）提出了小波分析的概念2.5.2什么是小波（Wavelets）小波變換是一種工具，它把數(shù)據(jù)、函數(shù)或算子分割成不同頻率的成分，然后再用分解的方法去探討對應(yīng)尺度下的成分。小波分析時傅立葉分析發(fā)表近兩個世紀以來最佳的繼承、總結(jié)和發(fā)展小波變換是一種時頻局部化或稱為時頻定位的工具，有數(shù)學‘顯微鏡’之稱，同時它還具有良好的‘自適應(yīng)性質(zhì)’無時-頻定位信息可以獲得時間局部化的信息進行時-頻定位的一種標準方法小波變換與加窗傅立葉變換的相像與不同：窗口傅立葉變換函數(shù)和小波變換函數(shù)的對比2.5.4二維離散小波變換圖2.5.1二級小波變換示例小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用2.5.5小波變換應(yīng)用工程、物理及純數(shù)學領(lǐng)域圖像處理與傳輸、信號處理、模式識別、地震探測、音樂、雷達、CT成像、彩色復印、流體湍流、機器視覺、機械故障診斷與監(jiān)控以及HDTV等等。DFT和DCT在快速算法中要用到復數(shù)乘法、三角函數(shù)乘法，這些運算占用時間較多，在某些應(yīng)用領(lǐng)域，須要更有效和便利的變換方法。沃爾什（Walsh）變換就是其中一種，在它的變換核矩陣中，只含有＋1和－1兩種元素，因此在計算過程中只有加減運算而沒有乘法運算，從而大大提高了運算速度，且易于硬件實現(xiàn)、抗干擾性好，尤其是在實時處理大量數(shù)據(jù)時，沃爾什變換更加顯示出其優(yōu)越性，故獲得了確定范圍的應(yīng)用。2.3沃爾什-哈達瑪變換2.3.1一維離散沃爾什函數(shù)變換核定義：正變換核：

反變換核：

（2.3.1）

N＝8時沃爾什函數(shù)核形成的陣列

二維離散沃爾什變換性質(zhì):變換核具有可分別性變換核的矩陣形式WT具有能量集中的性質(zhì)(說明)2.3.2一維哈達瑪變換（Hadamard）

正變換核：

反變換核：

（2.3.2）

其中，指數(shù)上的求和是以2為模的；

稱為哈達瑪變換的階數(shù)；

是z的二進制表示的第k位。

例如,N=2^n=8時的變換核和反變換核用矩陣形式表示為:對應(yīng)x=1,u=4,n=3,考慮x=(0001),u=(0100)∵∴N＝8時，哈達瑪核形成的陣列哈達瑪變換本質(zhì)上是一種特殊排序的沃爾什變換，哈達瑪變換矩陣也是一個方陣，只包含＋1和－1兩種矩陣元素，各行和各列之間彼此是正交的；哈達瑪變換核矩陣與沃爾什變換核矩陣的不同之處僅僅是行和列的次序不同；哈達瑪變換的最大優(yōu)點在于它的變換核矩陣具有簡潔的遞推關(guān)系，即高階矩陣可以由低階矩陣的克羅內(nèi)克積求得。應(yīng)用克羅內(nèi)克快速求哈達瑪變換核矩陣克羅內(nèi)克積:哈達瑪變換核滿足克羅內(nèi)克運算階哈達瑪矩陣有如下形式：

哈達瑪變換核的遞推公式(