無(wú)量綱化簡(jiǎn)介

2.模型無(wú)量綱化舉例

例1.單擺的運(yùn)動(dòng)：建模描述單擺運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

假設(shè)：同前。

變量、參量：同前。

坐標(biāo)系:(x，y)，(r,θ)

平衡關(guān)系：

受力物體運(yùn)動(dòng)的加速度與其質(zhì)量的乘積等于它所受的外力。

外力：重力mg，張力T。模型留意到擺球的坐標(biāo)的表達(dá)式，則有第一個(gè)方程描述了擺球沿?cái)[弧的切線方向運(yùn)動(dòng)的狀況，是量綱齊次的。對(duì)它進(jìn)行無(wú)量綱化。

變量的無(wú)量綱化

令稱(chēng)之為無(wú)量綱時(shí)間代入模型可得選擇變換因子為則有

無(wú)量綱模型的分析1.換算因子w0:令T0為單擺的周期，則

w0為角頻率以2π為時(shí)間單位時(shí)搖擺的頻率數(shù)。2.特征時(shí)間tc,稱(chēng)tc=1/w0=T0/2π為特征時(shí)間。以2π為時(shí)間單位時(shí)，搖擺一次所需的時(shí)間3.無(wú)量綱時(shí)間=t/tc。是以特征時(shí)間為單位的時(shí)間計(jì)量。

例2.拋射問(wèn)題：從地球表面以速度v豎直向上放射火箭。探討火箭放射的高度隨時(shí)間變更的規(guī)律。假設(shè)：1.地球是球體。2.火箭升空只需克服地球的引力。3.火箭在地球的表面旁邊在引力作用下將具有自由下落的加速度g。平衡關(guān)系：牛頓定律，萬(wàn)有引力定律火箭升空后由于地球吸引力的作而減速運(yùn)動(dòng)用。

變量、參量時(shí)間：t，火箭的高度：y(t),地球半徑：r,初速度：v，重力加速度：g，火箭質(zhì)量：m1,地球質(zhì)量：m2.模型m1y’’=-km1m2/(y+r)2。由假設(shè)3,y=0時(shí),y’’=-g。故有g(shù)=km2/r2.y’’=-r2g/(y+r)2,y(0)=0,y’(0)=v.

模型的無(wú)量綱化將模型中的變量變換為無(wú)量綱變量令tc，yc分別為具有時(shí)間量綱和長(zhǎng)度量綱的量。則t*=t/tc，y*=y/yc就成為無(wú)量綱的時(shí)間和長(zhǎng)度。留意到模型就可以化為

令tc2g/yc=1,vtc/yc=1,則有tc=v/g,yc=v2/g分別稱(chēng)tc和yc為特征時(shí)間和特征尺度模型可以化簡(jiǎn)為y*’’=-(Ay*+1)-2,y*(0)=0,y*(0)=1,其中A=v2/rg這時(shí)模型是簡(jiǎn)潔的，而且其中全部的量都是無(wú)量綱的。

五.擬合模型與機(jī)理模型

擬合模型機(jī)理模型

假設(shè)條件弱強(qiáng)機(jī)理分析少