初三培優(yōu)初中數(shù)學(xué) 旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含詳細(xì)答案

11初三培優(yōu)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練含詳細(xì)答案一、旋1．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中拋物線：=axbx+與x軸交于A，兩，頂點(diǎn)為D（，）=42，設(shè)點(diǎn)（，）x軸正半軸上一點(diǎn)，拋物線C繞旋轉(zhuǎn)180°，到新的拋物線C．（）拋物線的數(shù)表達(dá)；（）拋物線與拋物線C在軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍．（）圖2，是一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，設(shè)是C上動(dòng)點(diǎn)，是′上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形N能否成為正方形？若能，求出m的；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（）

y

x

；（）＜＜2；3m或m=﹣．【解析】試題分析：1）題意拋物線的頂點(diǎn)（，），（22，），設(shè)拋物線的解析式為y

，把A（2，）代入可得a

，由此即可解決問題；（）題意拋線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為m4）設(shè)拋物線的解析式為y

1y2，由

，消去y得

2

m

2

，題意，拋物線C與物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公點(diǎn)，則有

(2m

，

2m

解不等式組即可解決問題；（）形1，邊形PMPN能為正方形．作PEx軸于Ex軸于．由題意易知P（，2），eq\o\ac(△,)是等腰直角三角形時(shí)，四邊形N是方形，推出PF=FM，PFM易eq\o\ac(△,)PFEFMH可得PE==2，=HM﹣，得（m+2，﹣2），理由待定系數(shù)法即可解決問題；情形2如圖，四邊形N是正方形，同法可得

M（2，﹣），利用待定系數(shù)法即可解決問題．試題解析：1）題意拋物線的頂點(diǎn)（，），（22，），設(shè)拋物線的解析式為y

，把A（2，）代入可得a

，拋線C的函數(shù)表達(dá)式為y

x2

．（）題意拋線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為m4）設(shè)拋物線的解析式為y

，由

1y21y(2

，消去y得到22，題意，拋物線C′與拋物線在y軸右側(cè)有兩個(gè)同的公共點(diǎn)，則有

(

2m

，解得

2m22＜＜2，滿條件的的值范圍2＜＜．（）論：四形N能為正方形．理由：情形1，如圖，作PE軸于，x軸H由題意易知P（，）eq\o\ac(△,)是腰直角三角形時(shí)，四邊形N是正方形，PFFM，PFM=90°，eq\o\ac(△,)PFEFMH，可得PE=FH=2，=HM﹣m，M（，m﹣，點(diǎn)M在

1上mm2

，解得m=17﹣或﹣﹣（棄）m17﹣3時(shí)，四邊形N是方形．情形，圖，四邊形PMPN是正方形，同法可得M（﹣，﹣m，把M（﹣，﹣）入

y

1x中22

，解得m=6或0（舍棄），m=6

時(shí)，四邊形PMPN是正方形．綜上所述：=6或=17﹣時(shí)四邊形PMPN是正方形．2．已知正方形ABCD的長(zhǎng)為4，個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的角點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、，連接EF，設(shè)CE＝，＝b．（）圖1，＝2時(shí)，求b的；（）＝時(shí)在圖中出相應(yīng)的圖形并求出b的；（）圖3，直接寫EAF繞旋的過程中a、b滿的關(guān)系式．【答案】（）2；（）＝；）ab＝．【解析】試題分析：1）正方形ABCD的長(zhǎng)為4，得AC＝，ACB＝．再＝a＝，得＝，從而可CAF的數(shù)，既而可得b=AC；（）過證eq\o\ac(△,)△ECA，即可；（）過證eq\o\ac(△,)△ECA，即可.試題解析：1）正形的長(zhǎng)為4，＝

2，ACB＝．CE＝＝

2，CAE＝AEC＝

＝，∠CAF＝EAF＝22.5°，＝ACD－＝，CAF＝，b=ACCF＝

4；（）＝，＝45°，＋CAE＝，CAE＋＝45°，F(xiàn)AC＝．又＝ECA＝，，8，即＝．

AC42CF，EC2

，CF＝

（）＝．提示：由（）可eq\o\ac(△,證)，

ACb，ECCAa

，ab＝．3．如圖，O是方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn).分延長(zhǎng)OD到點(diǎn)GOC到E使OGOD，=2，后以O(shè)G、OE為邊作正方形，接AG，DE．(1)求：；(2)正形固，將正方形繞點(diǎn)O逆針旋轉(zhuǎn)角得正方形，如圖2．①在轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)直角邊所對(duì)的銳角為30度

是直角時(shí)，求的度數(shù)；(注：直角邊為斜邊一半時(shí)，這條②若方形的長(zhǎng)為1，在轉(zhuǎn)過程中，求出結(jié)果不必說明理由．

長(zhǎng)的最大值和此時(shí)的數(shù)，直寫【答案】（））當(dāng)【解析】

為直角時(shí)，或150°.分析：1）長(zhǎng)交于點(diǎn)H，明

，根據(jù)等量代換證明結(jié)論；（）據(jù)題意銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數(shù)值得到

，分兩種情況求出的度數(shù)；（）據(jù)正方的性質(zhì)分別求出OA和OF的，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出AF長(zhǎng)最大值和此時(shí)的度數(shù)．詳解：

如圖1，延長(zhǎng)ED交于H，點(diǎn)O是方形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，，，在

和

中，

，

，，，，，即；在旋轉(zhuǎn)過程中，

成為直角有兩種情況：在

由

增大到過程中，當(dāng)，中，，，

，

時(shí)，，，即

；

由

增大到

過程中，當(dāng)

時(shí)，同理可求

，綜上所述，當(dāng)如圖3，

．時(shí)，

或．

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到、在一條直線上時(shí)，正方形的長(zhǎng)為1，，，，，，，此時(shí)．

的長(zhǎng)最大，點(diǎn)睛：考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，有一定的綜合性，注意分類討論的思.4．在等eq\o\ac(△,)AOB中將扇形COD按圖1擺，使扇形的半徑OC、OD分別與、重合，OA＝OB＝，OC＝＝，固定等eq\o\ac(△,)AOB不動(dòng)，讓扇形COD繞逆針旋轉(zhuǎn)，線段、也之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α0＜（）∥時(shí)旋轉(zhuǎn)角＝

度；發(fā)現(xiàn)：2）段AC與BD有數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)僅就圖給證明．應(yīng)用：3）、、三共線時(shí)，求的長(zhǎng)．拓展：4）是段AB上任意一點(diǎn)，在扇形COD的轉(zhuǎn)過程中，請(qǐng)直接寫出線段的最大值與最小值．【答案】（）或；AC=BD，理由見解析；）最大值3，的小值=﹣．

13+11或；4）的

【解析】分析：1）圖1中易知當(dāng)點(diǎn)在段和線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角或240°（）論：=BD．要證eq\o\ac(△,)即．（）圖3、4中分別求解即可．（）圖中由題意，點(diǎn)C在以為圓心1為半徑O上動(dòng)，過點(diǎn)O作OHAB于H，線OH交O于、″，線段CB的長(zhǎng)即為的大值，線段CH的即為PC的最小值．易知PC的最大值，PC的小=3﹣．詳解：1）圖1中，ABC是等邊三角形AOB==60°當(dāng)在線段和段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=60°．故答案為或240；（）論：=BD，由如下：如圖2中，==60°，COA．在AOCeq\o\ac(△,)BOD中OA

，BOD，AC=BD；

CO（）如圖中，當(dāng)A、、共時(shí)，作OHAC于．在eq\o\ac(△,)中，=1=30°，=HD

，=．eq\o\ac(△,)中AH=OA2

2=

，BDCH+AH．如圖4中當(dāng)、、共時(shí)，作AC于H．

易知==﹣=．綜上所述：當(dāng)、、三共線時(shí)的為

或；（）圖中由題意，點(diǎn)C在以為圓心1為半徑O上動(dòng)，過點(diǎn)O作OHAB于H，線OH交O于、″，線段CB的長(zhǎng)即為的大值，線段CH的即為PC的最小值．易知PC的最大值，PC的最小=1．點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，利用輔助圓解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．5．如圖，eq\o\ac(△,)中，是AE上任意一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、不合），以AC為直角邊在eq\o\ac(△,)ADE的部作eq\o\ac(△,)ABC，BAC=90°，接BE、．（）圖1中若AC=AB，，將圖1中eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)順針旋轉(zhuǎn)銳角α，得到圖2，那么線段BE．CD之有怎樣的關(guān)系，出結(jié)論，并說明理由；（）圖1中若CA=3，AB=5，，AD=6，圖中eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角，到圖，接BD、．①求eq\o\ac(△,)ABE△；②計(jì)

+CE

2

的值．【答案】（），，理由見角；）證明見解析②BD+CE2．【解析】【分析】

（）論BE=，；要證eq\o\ac(△,)CAD，可解決問題；（）根據(jù)兩邊成比例夾角相等即可證eq\o\ac(△,)△ACD②由①得到AEB=CDA．再根據(jù)等量代換得到DGE，即DG，根據(jù)勾股定理得到

+

=CB+ED，即可根據(jù)勾股定理計(jì)算．【詳解】（）論BE=，．理由：設(shè)與的點(diǎn)為點(diǎn)F，與CD的點(diǎn)為點(diǎn)，圖2．CAB=EAD=90°BAE．eq\o\ac(△,)CAD和中

，CAD≌BAECD=BE，

ACDABE．=CFG，，+ACD，=90°，CD（）設(shè)AE與CD于，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，圖3CABB=EAD=90°，CAD=．CA=3=5，AD=6，=10，

AE==2，△ABE△ACD；AB②ABEACD，=CDAAFD=，AFDCDA，AEB=90°，=90°，DGBE，AGD=BGD，=CG+EG，BG+2，BD+CE=2+EG+BG2+DG2．2BG

CB

，+DGED，

+CE

=CB

+=

+

+AD+．

【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用，運(yùn)用類比，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖，

中，=4cm，=120°，平分BCD交于.點(diǎn)P從A點(diǎn)發(fā)，沿AB方以的速度運(yùn)動(dòng)，連接CPeq\o\ac(△,)PCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使與CB重，得eq\o\ac(△,)，接.（）證eq\o\ac(△,)PCQ是邊三角形；（）圖，當(dāng)點(diǎn)在段上動(dòng)時(shí)eq\o\ac(△,)PBQ的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求eq\o\ac(△,)PBQ周的最小值；若不存在請(qǐng)說明理由；（）圖，當(dāng)點(diǎn)在線上動(dòng)時(shí)，是否存在以點(diǎn)P、、為點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理.（）（2（）【答案】（）明見解析；2）在，理由見解析；3）為2s或者14s.【解析】分析：1）據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證eq\o\ac(△,)，后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三

角形的判定證明即可；（）用平行邊形的性質(zhì)證eq\o\ac(△,)BCE為邊三角形，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)為4+CP，后垂線段最短可由直三角形的性質(zhì)求解即可；（）據(jù)點(diǎn)的動(dòng)的距離，分類討論求解即.詳解：1）旋QCBCP=CQ，PCE，，平分BCD，PCQ=60°，PCEQCB+QCE=60°，PCQ為邊三角形.（）在平，BCE=60，在行四邊形中，ABCD﹣120°=60°BCE為邊三角形BE=CB=4旋QCBEP=BQ，C

PBQ

=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CPCPAB時(shí)eq\o\ac(△,)周長(zhǎng)最小當(dāng)AB時(shí)，2周最小為＋23（）當(dāng)點(diǎn)B與P重合時(shí)，不構(gòu)三角形②當(dāng)0＜6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，CPE=CQBCPQ=CPB+BPQ=60°則：CQB＝60°又PQC+CQB+PBQ=180°CBQ=180°—60°QBP=60°，BPQ＜，所以PQB可為直角由（）eq\o\ac(△,)為等邊三角形，

PBQ=60°，CQB＝CQB＝CPB=30°＝60°，＝APC=30°，所以AP=AE-EP=6-4=2所以＝s③當(dāng)6＜時(shí)由＝＞，以不存在④當(dāng)＞時(shí)由旋轉(zhuǎn)得：，由（）得CPQ=60°BPQ=∠，而BPC＞，＞60°BPQ=90°，而，BP=BC=4所以AP=14cm所以t=14s綜上所述：為2s或14s時(shí)符合題意。點(diǎn)睛：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)圖形變化的應(yīng)用，結(jié)合平行四邊形、等邊三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)行解答即可，注意分類討論思想的應(yīng)用，比較困.7．在正方形中連接．（）圖1，于．直接寫B(tài)AE的數(shù)．（）圖1，（）條件下，eq\o\ac(△,)AEB以A旋中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后到′E，AB與BD交于M，的延長(zhǎng)線與BD交．①依意補(bǔ)全圖1；②用式表示線段、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（）圖2，、是、上點(diǎn)eq\o\ac(△,)CEF周長(zhǎng)是正方形周長(zhǎng)的一半AE、分別與BD交M、，出判斷線段BM、、之間數(shù)量關(guān)系的思路．（不必寫出完整推理過程）【答案】（）；2）補(bǔ)圖見解析、DN和MN之的量關(guān)系是BM+MD=MN2，明見解析；3答案見解.【解析】

1111111111111（）用等腰角三角形的性質(zhì)即可；（）題意畫如圖1所的圖形，根據(jù)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，判斷線段的關(guān)系，再利用勾股定理得到，再判出FM=MN即；（）eq\o\ac(△,)周長(zhǎng)是正方形ABCD周的一半，判斷出EF=EG再利用2）證明即可．解：（）BD是方形ABCD的對(duì)角線，ABD=，BD，ABE=，（）依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所，、和MN之間的數(shù)量關(guān)系是，eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)順針旋轉(zhuǎn)，eq\o\ac(△,)AFB，ADB=，BAF=，，，在方形中BD，ABD=45°，F(xiàn)BA+ABD=ADB+ABD=90°，在eq\o\ac(△,)BFM中，根據(jù)勾股定理得旋eq\o\ac(△,)得AB

E，EAB=45°，+DAN=90°﹣，BAF=DAN+BAF=45°，，AB，，，，F(xiàn)B+BM=FM，2+BM=MN2（）圖2，eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得eq\o\ac(△,)ABG，，正形的長(zhǎng)為4ABeq\o\ac(△,)周長(zhǎng)為，CEF周是正方形ABCD周的一半4AB=2（），2AB=EF+EC+CF﹣，﹣，﹣﹣，，DF=GB，EF=GB+BE=GE，旋轉(zhuǎn)得到，，AEGAEF，EAF=45°，（）的一，得到DN+BM=MN2．

1111111111“點(diǎn)”此是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等，判斷出eq\o\ac(△,)AFN，到）是解題的關(guān).8．如圖，邊長(zhǎng)分別為6和的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和E疊在一起．（）作：固eq\o\ac(△,)ABC，eq\o\ac(△,)CDE繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\o\ac(△,)，接，如圖2．探究：在圖2中線BE與AD之有怎樣大小關(guān)系？并請(qǐng)說明理由；（）作：固eq\o\ac(△,)ABC，eq\o\ac(△,)繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°eq\o\ac(△,)CDE，接ADCE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，在線段上沿著CF方向平移，（點(diǎn)F與點(diǎn)P重合即停止平移）平移后eq\o\ac(△,)設(shè)eq\o\ac(△,)PQR，圖3．探究：在圖3中除三角形和CDE外，還有哪個(gè)三角形是等腰三角形？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）；（）究：如，（2）條件下，設(shè)，代式表示出的長(zhǎng)．【答案】（）．由見解；2eq\o\ac(△,)是腰三角形；）2

-x．【解析】試題分析：1）據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BCCD=CE，ACB=ECD=60°，后求出ACD=BCE再利用“邊角邊證eq\o\ac(△,)和全，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；（）出ACF=30°再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出CHQ=30°從而得到，判斷eq\o\ac(△,)CHQ是腰三角形；（）出CGP=90°，后利的余弦表示出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)表示出CH，然后根據(jù)GH=CG-CH整理即可得解．試題解析：1）．理由如下：eq\o\ac(△,)CDE是等邊三角形，AC=BC，，ACB=．ACB-ACE=ECD-，即BCE=ACD．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)BCE中，BCE（），BE=AD；（）旋角為30°，

BCF=30°，ACF=60°-30°=30°，CHQ=ACF=CHQ是腰三角形；（）ACF-RPQ=180°-30°-60°=90°，?cos30°=

（）CHQ是腰三角形，?CQcos30°=2x

=，GH=CG-CH=

（）

x=2-．考點(diǎn)：幾何變換綜合題．9．如1，eq\o\ac(△,)ABC中，E是AC上意一點(diǎn)（點(diǎn)與A，不合），以CE為直角邊作eq\o\ac(△,)ECD，ECD=90°，接BE，．（）CA=CB，CE=CD①猜線段BE，之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)，直接寫出結(jié)論；②現(xiàn)圖1中的eq\o\ac(△,)ECD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角α，到圖2請(qǐng)判斷中結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（）CA=8,CB=6，CE=3，，eq\o\ac(△,)ECD繞點(diǎn)C順針轉(zhuǎn)銳角，圖，連接BD，AE，算

的值．【答案】（）BEAD；見析；）．【解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD，；BE與的點(diǎn)為點(diǎn)F，與AD的點(diǎn)為點(diǎn)G，據(jù)ACB=得ACD=BCE，后結(jié)合AC=BC，CD=CE得eq\o\ac(△,)ACDBCE，則CAD=，根BFC=AFG得AFG+，而說明直；首先根據(jù)題意得出，后說AGE=BGD=90°，后根據(jù)直角三角形的勾股理將所求的線段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案．試題解析：1）解BE=ADBE

，仍成立證明：設(shè)BE與AC的點(diǎn)為點(diǎn)，BE與AD的點(diǎn)為點(diǎn)，如圖．ACB=ECD=90°，ACD=CD=CEACDBCE∠BFC=BFC+CBE=90°AFG+CAD=90°AGF=90°BE（）明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F，BE的長(zhǎng)線與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)，圖．ACB=ECD=90°，ACD=，，，CD=4△ACD△CAD=BFC=BFC+CBE=90°AFG+CAD=90°AGF=90°BEBGD=90°

，，

．，

．考點(diǎn)：三角形全等與相似、勾股定理．10．圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被等分成3個(gè)形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成個(gè)形，每一個(gè)扇形上都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，計(jì)算指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和．如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個(gè)數(shù)字為止．（）你通過樹狀圖或列表的方法分析，并求指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于0的率；（）亮和小小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則是：指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10，穎獲勝；指針?biāo)竻^(qū)內(nèi)的數(shù)字之和等于10，平局；指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10，亮獲勝．你認(rèn)為該游戲規(guī)則是否公平？請(qǐng)說明理由；若游戲規(guī)則不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則．【答案】（）

；（2）不公平．

【解析】試題分析：1）據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率．（）斷游戲公平性，首先要計(jì)算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平．試題解析：1）有12種等可能的結(jié)果，小于10的況4種，所以指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10的率為

．（）公平，為小穎獲勝的概率為

；小亮獲勝的概率為

．小亮獲勝的可能性大，所以不公平．可以修改為若這兩個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，則小亮贏；積為偶數(shù)，則小穎贏．考點(diǎn)：．戲平性2列表法與樹狀圖法．11．圖1，方形與方形AEFG的邊ABAE（＜）一條直線上正方形AEFG以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角.在轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接BE、（）正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖所的位置時(shí)，求證BE=DG；（）點(diǎn)C在線BE上，連接FC直接寫出FCD度數(shù)；（）圖3，果，，

，求點(diǎn)G到BE的距離【答案】（）明見解析；2）或；（）【解析】

.

試題分析：1）據(jù)正方形的性質(zhì)可得，AE=AG，BAD=EAG=90°，求出BAE=DAG，然后利用邊角邊證eq\o\ac(△,)ABEeq\o\ac(△,)全，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可（）點(diǎn)C在線BE上，可知點(diǎn)E與重或G點(diǎn)C與合，據(jù)此求解即.（）據(jù)

和

求解即可.試題解析：1）圖2，四形是方形AB=AD，BAE+EAD=90°.四形AEFG是正方形AE=AG，EAD+BAE=DAG..ADG（）BE=DG..（）圖，當(dāng)在線BE上時(shí)，可知點(diǎn)E與C重或點(diǎn)C與重合，此時(shí)FCD的數(shù)為45°或135°.（）圖3，接、由已知α=45°，知又GE為正方形AEFG的對(duì)角線，ABGE.

，GE過點(diǎn)作BHAE于H.

.，設(shè)點(diǎn)到的離為h..點(diǎn)G到BE的距離為

..

...

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的質(zhì)；2.正方形的性質(zhì)；3.全三形的判定和質(zhì)平的判定和性質(zhì)；勾定理分思想的應(yīng)用．12．維啟迪：（）如圖1，，兩分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C，接BC，的中點(diǎn)P（點(diǎn)可直接到達(dá)點(diǎn)，利用工具過點(diǎn)作AB交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，時(shí)測(cè)得CD＝米，那么A，間距離是

米．思維探索：2）eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中，＝，＝，AE＜AC，＝AED90°，eq\o\ac(△,)繞A順針方向旋轉(zhuǎn)，把點(diǎn)E在AC邊eq\o\ac(△,)的置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)位的側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，P是段BD的點(diǎn)，連接，PE．①如2，eq\o\ac(△,)在起始位置時(shí)，猜想PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是；②如3，＝時(shí)點(diǎn)D落AB邊上，請(qǐng)判斷PC與的量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；③當(dāng)α＝時(shí)，若BC＝DE＝，直接寫出2

的值．【答案】（）；（＝，PE；與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝，PE見解析；＝

3

.【解析】【分析】（）CDAB，＝B，根據(jù)APB＝DPC即可證eq\o\ac(△,)DCP即可得AB＝，即可解題．

（）延長(zhǎng)EP交BC于，eq\o\ac(△,)FBP（）eq\o\ac(△,)是腰直角三角形，即可證明PC，．②作BFDE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接CE、，eq\o\ac(△,)FBPEDP）結(jié)合已知得＝＝，證eq\o\ac(△,)FBCEAC（）可eq\o\ac(△,)是腰直角三角形，即可證明PC＝，PE③作BFDE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接CE、，點(diǎn)EHAC交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知CAE＝150°，與所夾角的銳角為，＝，同可可得PC＝，PE，再由已知解三角形＝+HE＝103，可求出PC2

EC2

3【詳解】（）：C＝B，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中，CP

，

ABPDCP（），DCAB．AB＝米．CD200米故答案為：．（）與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝，PE理由如下：如解圖1，長(zhǎng)交BC于F同（），EDP（SAS），＝，＝，又AC＝BC，＝，F(xiàn)C，又ACB90°EFC是等腰直角三角形，EPFP，PC，PCPE②PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝，PE．理由如下：如解圖2，DE，EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，接CE、，同理可eq\o\ac(△,)EDP（）BF，＝EFDE＝，BF＝，

，

PCPC當(dāng)α＝時(shí)，EAC90°，ED，BCFB，F(xiàn)BC＝，，eq\o\ac(△,)FBCeq\o\ac(△,)EAC中AECAE

，

BCACFBCEAC（）＝FCB＝，＝90°，F(xiàn)CE＝，F(xiàn)CE是等腰直角三角形，EPFP，CPEPCP＝＝EF

．③如圖3作BF，交EP延線于點(diǎn)，連接CE、，點(diǎn)作交CA延線于H點(diǎn)當(dāng)＝時(shí)由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知CAE＝150°，與所夾角的銳角為30°，EAC＝＝同可eq\o\ac(△,)FBPEDP（）同是等腰直角三角形CPEPCP＝＝在eq\o\ac(△,)AHE中＝30°AE＝＝，

，HE＝

，＝，又AC＝AB＝，CH＝

，EC＝2+HE

＝103103＝2

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)、勾股定理和30°直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解問題，屬于壓軸題．13．方形和方形AEFG的長(zhǎng)分別為2和，B在邊AG上，點(diǎn)D在段的延長(zhǎng)線上，連接BE（）圖1，證DGBE；（）圖2，正方形繞A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段上時(shí)，求線段的．【答案】（）案見解析；2）【解析】【分析】（）題意可eq\o\ac(△,)ADGABE，AGD＝AEB，AGD，可得ADG+AEB＝，BE；（）點(diǎn)A作AMBD垂足為M，據(jù)勾股定理可求的度，即可求的長(zhǎng)度，由題意可eq\o\ac(△,)DAG，得BE＝．【詳解】（）圖，延EB交GD于H四形和邊形AEFG是方形

AD＝，＝，DAG＝＝90°ADGABE（）AGD＝AEB+AGD＝+＝90°DGBE（）圖，過A作AM，垂足正形和方形AEFG的長(zhǎng)分別為2和2

2，AM＝＝

2，DAB＝GAE＝90°＝

AG2＝，＝DG＝DM+MG＝

+6，旋轉(zhuǎn)可得AD＝