普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試之?dāng)?shù)學(xué)

絕密*啟用前試卷類型：A2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試河北衡水中學(xué)三模試卷命題人：褚艷春說明：本試卷共4頁，包括三道大題，22道小題，共150分。考試時(shí)間120分鐘。其中第一道大題為選擇題參考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互獨(dú)立，那么如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率球的表面積公式球的體積公式其中R表示球的半徑選擇題（每小題5分，共60分。每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上）1．如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．0B.2C.0或3D.2或32．已知全集U=R，集合，則=（）A.B.C.D.3．若為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則與的等比中項(xiàng)為（）A.B.C.D.4．“”是的 （） A．充分不必要條件 B．既不充分也不必要條件 C．必要不充分條件 D．充分不必要條件5．已知，則等于（）ABCD6．12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）A.B.C.D.7．一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查20000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖，為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，按月收入用分層抽樣方法抽樣，若從月收入（元）段中抽取了30人，則在這20000人中共抽取的人數(shù)為（）A.200B.100C.20000D.408.設(shè)點(diǎn)P（）滿足不等式組，則的最大值和最小值分別為（）ABCD9．我國儲(chǔ)蓄存款采取實(shí)名制并收利息稅，利息稅由各銀行儲(chǔ)蓄點(diǎn)代扣代收，某人于2008年3月1日存入人民幣1萬元，存期一年，年利率為％，到期時(shí)凈得本金和利息共計(jì)元，則利息稅的稅率是（）A.5％B.8％C.15％D.20％10．設(shè)直線與球O有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，從直線出發(fā)的兩個(gè)半平面截球O的兩個(gè)截面圓的半徑分別為1和，二面角的平面角為，則球O的表面積為()A.B.C.D.11．若雙曲線與橢圓（）的離心率之積大于1，則以為邊長的三角形一定是（）A等腰三角形B銳角三角形C直角三角形D鈍角三角形12．將函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)滿足，則向量的坐標(biāo)是（）A． B． C．D．二、填空題:（每小題5分，共20分，把答案填寫在答題紙的相應(yīng)位置上）13．已知的展開式中，，則常數(shù)a的值為14.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則不等式的解集為15.直線，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）等于16．給出下列命題：①已知函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則；②若不等式對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是③不等式的解集是④如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則為銳角三角形，為鈍角三角形.其中真命題的序號(hào)是（將所有真命題的序號(hào)都填上）三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.(本題10分)在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．18.(本題12分)某次演唱比賽，需要加試文化科學(xué)素質(zhì)，每位參賽選手需加答3個(gè)問題，組委會(huì)為每位選手都備有10道不同的題目可供選擇，其中有5道文史類題目，3道科技類題目，2道體育類題目，測(cè)試時(shí)，每位選手從給定的10道題中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次抽取一道題，回答完該題后，再抽取下一道題目作答.（Ⅰ）求某選手第二次抽到的不是科技類題目的概率；（Ⅱ）求某選手抽到體育類題目數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望E.19.（本題12分）如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點(diǎn)在底面上的射影恰好是的中點(diǎn)，且．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求二面角的大小.20.（本題12分）.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證：；21.（本題12分）.過點(diǎn)A（-4，0）向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為B,C，且為正三角形.（Ⅰ）求最大時(shí)橢圓的方程；（Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中的橢圓，若其左焦點(diǎn)為，過的直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，且求直線的方程22．（本題12分）已知函數(shù)。若函數(shù)在上是增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立。河北衡水中學(xué)三模數(shù)學(xué)（理科）試題答案一、選擇題：A卷：ABCCDCAAADDBB卷：ACBBDBAAADDC二、填空題:（每小題5分，共20分）13．14.15.16．124三、解答題：17.(本題10分)解：（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得． 2分聯(lián)立方程組解得，． 4分（Ⅱ）由題意得，即，當(dāng)時(shí)，，，，， 6分當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，．8分所以的面積． 10分18.(本題12分)解（Ⅰ）記A：該選手第二次抽到的不是科技類題目；B：該選手第一次抽到科技類而第二次抽到非科技類；C：該選手第一次和第二次都抽到非科技類題目.則.6分（Ⅱ）的取值為0，1，2.；；.故的分布列為：012P于是，的期望.------12分19.（本題12分）（Ⅰ）證明：設(shè)的中點(diǎn)為.在斜三棱柱中，點(diǎn)在底面上的射影恰好是的中點(diǎn),平面ABC.……1分平面，.……2分，∴.，∴平面.……3分平面，平面平面.………………4分解法一：（Ⅱ）連接，平面，是直線在平面上的射影.………………5分，四邊形是菱形...……………6分（Ⅲ）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接.，平面..是二面角的平面角.…………9分設(shè)，則，....平面，平面，..在中，可求.∵，∴.∴..……10分.∴二面角的大小為.………………12分解法二：（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，則平面ABC.以為原點(diǎn)，過平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，由題意可知，.設(shè)，由，得.又...……6分（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為.則∴.設(shè)平面的法向量為.則∴..……………10分二面角的大小為.…………12分20．解：（1）由，得，代入，得，整理，得,從而有，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即.……………（5分）（2），，，，.…（12分）21.解：（Ⅰ）由題意，其中一條切線的方程為：-------------2分聯(lián)立方程組消去得即有，可得因?yàn)?，所以，?-----------4分所以當(dāng)時(shí)，取最大值；求得故橢圓的方程為----------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，設(shè)直線方程為：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，有定比分點(diǎn)公式可得：--------------------------8分代入橢圓解得直線方程為----------10分同理當(dāng)時(shí)，無解故直線方程為------------12分22、解：（I）由題設(shè)可得函數(shù)在