大一第二學期線性代數(shù)chapter1.3方陣的行列式

第三節(jié)方陣的行列式一、二、三階行列式二、排列與逆序三、n階行列式的定義四、行列式的性質(zhì)五、行列式按行（列）展開六、行列式的計算七、方陣的行列式一、二三階行列式二階行列式的定義例1例2解消元法P59例3解方程組解：可以根據(jù)對角線法則來記憶，主對角線方向符號是正的，副對角線方向符號是負的。＋＋＋－－－三階行列式的定義（要記住）例4解方程組解克拉默法則例5求值練習

求值例6：解方程組解二、排列與逆序例

寫出“讀”,“書”,“好”仨字的所有排列。解讀書好讀好書好讀書好書讀書讀好書好讀例

寫出“1”，“2”，“3”，

“4”所有排列。解1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321。排列的定義：

由1，2，3，…，ｎ這ｎ個數(shù)構(gòu)成的一個有序數(shù)組，稱為一個ｎ級排列.例：234615、456321、123456、654321124356789(10)(11)11級排列（即把1，2，…，n這n個數(shù)順序打亂,并且這些數(shù)不能少一個，也不能多一個，也不能重復）6級排列1253789(10)64(11)由1，2，3，…，ｎ這ｎ個數(shù)構(gòu)成的一個有序數(shù)組，稱為一個ｎ級排列.ｎ級排列ｎ(ｎ－1）…21是一個什么排列？其中下標代表排列中的位置其一般形式為：排列的定義：

3階排列共有多少種不同的排列？1231322132313123213！種ｎ階排列有多少個呀？完全按自然順序從小到大排序的那個排列123…(n-1)n.標準排列：ｎ階排列第一個位置i1有n種選擇，第二個位置i2有（n－1）種選擇，……依此類推，到in-1只有2種，到in只有1種選擇，根據(jù)乘法原理，總共有n！個n階排列例1（1）9級排列“123496758”中構(gòu)成逆序的數(shù)對有96，97，95，98，65，75。（2）排列“123456789”中沒有逆序。（3）排列“987654321”中的逆序數(shù)為：8+7+6+5+4+3+2+1=36。逆序一個排列所含逆序的總個數(shù)，n級排列中的兩個數(shù)a

和b,如果大數(shù)在前，小數(shù)在后，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序。記為：逆序的定義：

逆序數(shù)的定義：

奇排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列偶排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列例2（1）9級排列“123496758”中構(gòu)成逆序的數(shù)對有96，97，95，98，65，75，（2）τ(1234567)=0，是偶排列。（3）排列“987654321”中的逆序數(shù)為：8+7+6+5+4+3+2+1=36，所以，τ(123496758)=6，是偶排列。所以，τ(987654321)=36，是偶排列。例3.5級排列“32514”中的逆序有32，31；逆序數(shù)τ(32514)=5，是奇排列。21；51，51，例4.6級排列“435162”中的逆序有43，41，42；逆序數(shù)τ(435162)=8，是偶排列。62，31，32；51，52；例6.例5.τ(12)=0，偶；τ(21)=1，奇。τ(123)=0，偶；τ(132)=1，奇。τ(213)=1，奇；τ(231)=2，偶。τ(312)=2，偶；τ(321)=3，奇。例7.以下是所有四級排列的逆序數(shù)1234(0),1243(1),1324(1),1342(2),1423(2),1432(3),2134(1),2143(2),2314(2),2341(3),2413(3),2431(4),3124(2),3142(3),3214(3),3241(4),3412(4),3421(5),4123(3),4132(4),4213(4),4231(5),4312(5),4321(6).所有n級排列中，奇偶排列各占一半，分別為n!/2個。三、行列式的一般定義其中求和項過所有n級排列，該行列式也可記作定義n階行列式為求和符號的用法例1

例2設S={1,2,4,5,6},則例3設S={-1,2.2,3,4,6},則例4求值,其中求和項滿足S={-1,2.2,3,4,6}例5按行列式的一般定義展開分析解2級排列只有：(12),(21)解：例6展開分析τ(123)=0，τ(132)=1，τ(213)=1，τ(231)=2，τ(312)=2，τ(321)=3，解：τ(123)=0，τ(132)=1，τ(213)=1，τ(231)=2，τ(312)=2，τ(321)=3，解：τ(123)=0，τ(132)=1，τ(213)=1，τ(231)=2，τ(312)=2，τ(321)=3，例5按定義展開一階行列式分析解1級排列只有1個:(1)例6展開分析以下是所有四級排列(和逆序數(shù))1234(0),1243(1),1324(1),1342(2),1423(2),1432(3),2134(1),2143(2),2314(2),2341(3),2413(3),2431(4),3124(2),3142(3),3214(3),3241(4),3412(4),3421(5),4123(3),4132(4),4213(4),4231(5),4312(5),4321(6).四階及四階以上的行列式?jīng)]有對角線法則，所以以下做法是錯誤的：只有二階和三階行列式才有對角線法則！例7計算123132213231312321例7計算1231322132313123212332例7計算31231322132313123212332例8計算例8計算練習計算例9計算結(jié)論很重要！練習1計算練習2計算（第一行元素全為0）例10計算（第一列元素全為0）練習計算若某一整行或一整列元素全為0，則行列式的值為0！稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式

.四、行列式的性質(zhì)D=DT

(行列互換，行列式的值不變）性質(zhì)1性質(zhì)1的意義何在呀？行列式的行與列地位平等，因而對行成立的性質(zhì)，對列也成立。例

對調(diào)行列式的兩行(列)，行列式的值變號性質(zhì)2例

例

row:行對調(diào)行列式的兩行(列)，行列式的值變號性質(zhì)2例

例

column:列行列式若有兩行（列）對應元素完全相同，則行列式為零.推論1證：設行列式D

的i行和k行相同，則若將i行和k行互換，所得仍為D。但是由性質(zhì)2知，互換前后變號，即D＝－D，所以，D＝0。例

行列式某整行(列)的元素都乘以數(shù)k，等于數(shù)k乘以此行列式，換言之，行列式某整行(列)的公因子k可提到行列式的外面相乘。性質(zhì)3例

例10計算若行列式中一整行(列)全為零，則行列式等于零推論2如果行列式的兩行（列）元素對應成比例，則行列式為零。性質(zhì)4＝＝＝0(分行列相加性）性質(zhì)5行列式的某一行（列）加上另一行（列）對應元素的k倍，行列式的值不變性質(zhì)6例

行列式的某一行（列）加上另一行（列）對應元素的k倍，行列式的值不變性質(zhì)6例

例計算例已知求：解例計算解1例計算解2例計算解2練習計算例計算R2+2R1R3-3R1R4-2R1R3-R4R4+2R21321016720123121100108012312110211086400108001510

R34R2R48R2

005/2040

例按第一行展開行列式五、行列式按行（列）展開解按第一行展開解按第一行展開例按第二列展開行列式解按第二列展開練習按第一列展開行列式幾個術(shù)語是3的余子式；

是3的代數(shù)余子式；

在行列式中：

幾個術(shù)語是2的余子式；

是2的代數(shù)余子式；

在行列式中：

幾個術(shù)語是-2的余子式；

是-2的代數(shù)余子式；

在行列式中：

幾個術(shù)語5的余子式是：

5

的代數(shù)余子式是：在行列式中，

余子式，代數(shù)余子式在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij；而Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式.返回定義例如五、行列式按行（列）展開行列式按一行（列）展開定理n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和，即定理五、行列式按行（列）展開n階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零，定理即證按s行展開，所以，同理可證，例9求解1按第一行展開解2按第三行展開解3按第四列展開1121-31-2000103414C1+C4C3＋C4

例10111344-310＝(-1)(－1)2+4R2－4R1111-100-310－例11解1按第一行展開例11解2按第一行展開按第二列展開例11解3按第一行展開按第二列展開例12解1解2稱為“箭”型行列式.例11解1解2例11例12例13例14證明例15按第一行展開按第一行展開計算行列式例16解D是4階范德蒙德行列式的轉(zhuǎn)置，所以例17按第一列展開例18例19例20證明n階范德蒙德行列式證利用數(shù)學歸納法，n＝2時結(jié)論成立，假設對n－1時結(jié)論成立，即則n階范德蒙德行列式可化為（按第n列展開，并提取公因子）七、方陣的行列式定義7

對n階方陣A=(aij)，將