2.1.1曲線與方程學習

曲線與方程Oxyx-y=012-1-22-2答：（1）直線l上的點的坐標都是方程x-y=0的解；M（x,y)問題1:坐標平面中第一、三象限的平分線L的方程是什么？如何理解兩坐標軸所成的角位于第一、三象限的平分線l的方程是x-y=0？思考：（2）以方程x-y=0的解為坐標的點都在直線上。問題2：函數y=ax2(a>0)的圖象是關于y軸對稱且經過原點的拋物線，這條拋物線是所有以方程y=ax2的解為坐標的點組成。這句話的意義是什么？答：如果M（x0,y0)是拋物線上的點，那么（x0,y0)一定是這個方程的解；反過來，如果（x0,y0)是方程y=ax2的解，那么以它為坐標的點一定在這條拋物線上。這樣，我們就說y=ax2是這條拋物線的方程。3-3-13Oxyy=ax2(a>0)M(x0,y0)如何理解以（a，b)為心半徑為r的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2?（a，b)圓上點的坐標都是方程的解以方程的解為坐標的點都在圓上一般地,在直角坐標系中,如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)與二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系:(1)曲線上的點坐標都是這個方程的解;(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么,這個方程f(x,y)=0叫做這條曲線C的方程;這條曲線C叫做這個方程f(x,y)=0的曲線.1、定義說明:1）曲線的方程——反映的是圖形所滿足的數量關系;f(x,y)=00xy2）方程的曲線——反映的是數量關系所表示的圖形.定義的特征“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”，說明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外（純粹性）?！耙赃@個方程的解為坐標的點都在曲線上”說明符合條件的點都在曲線上而毫無遺漏（完備性）。簡記：曲線上的點都符合方程即：“形由數成”簡記：符合條件的都在曲線上即：“數由形定”例1:如果曲線C上所有點的坐標都是方程F(x,y)=0的解,那么以下說法正確的是()A.以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上B.以方程F(x,y)=0的解為坐標的點有些不在曲線C上C.不在曲線C上的點的坐標都不是方程F(x,y)=0的解D.坐標不滿足方程F(x,y)=0的點都不在曲線C上分析:本題是曲線與方程的定義的應用問題.解:按曲線與方程的定義可知,已知條件交代的曲線C和方程并不一定是相互的,因此A?B?C都無正確的依據,另外,已知條件逆否命題恰好是D,故D是正確的選項.D練習1.命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解”是正確的,下面命題中正確的是()A.方程f(x,y)=0的曲線是CB.方程f(x,y)=0的曲線不一定是CC.f(x,y)=0是曲線的方程D.以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線上解析:由題設知曲線C與方程f(x,y)=0不是對應關系,所以答案B正確.B已知f(x,y)=0是曲線c的方程，（1）若點M(x,y)的坐標是方程f(x,y)=0的解，則點M在曲線C上.（錯誤）（正確）（錯誤）（正確）（4）若點M(x,y)在曲線C上，則點M的坐標不一定滿足方程f(x,y)=0.（3）若點M(x,y)在曲線C上，則點M的坐標滿足方程f(x,y)=0.（2）若點M(x,y)的坐標是方程f(x,y)=0的解，則點M不在曲線C上.2.判斷正誤：3判斷下列說法是否正確.O(1)方程：|x|-y=0的曲線如下圖.

x

y(曲線上有的點的坐標(x,y)不滿足方程)(1).曲線C上點的坐標(x,y)都是方程f(x,y)=0的解.(2).以方程f(x,y)=0的解為坐標的點(x,y)都在曲線C上.滿足（2)

但不滿足(1)O

x

y(2).和兩條坐標軸距離相等的點的軌跡方程是:

y=x(除了直線y=x上的點滿足條件外,還有其他的點滿足條件.)(1).曲線C上點的坐標(x,y)都是方程f(x,y)=0的解.(2).以方程f(x,y)=0的解為坐標的點(x,y)都在曲線C上.滿足（1)

但不滿足(2)或y=-x4:下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？

(1)曲線C為過點A(1，1)，B(-1，1)的折線(如圖(1))其方程為(x-y)(x+y)=0;

(2)曲線C是Ⅰ,Ⅱ象限內到x軸，y軸的距離乘積為1的點集，其方程為y=。10xy-11xy-11-2210xy-11-221軌跡方程的證明：證明與兩條坐標軸的距離的積是常數k（K>0）的點的軌跡方程是xy=±k分析：（2）以方程的解為坐標的點在軌跡上（1）軌跡上的點的坐標適合方程第一步，設M(x0,y0)是曲線C上任一點，證明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；歸納:

證明已知曲線的方程的方法和步驟

第二步，設(x0,y0)是f(x,y)=0的解，證明點M(x0,y0)在曲線C上.例2

證明以坐標原點為圓心，半徑等于5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在這個圓上.證明：(1)設M(x0,y0)是圓上任意一點.因為點M到坐標原點的距離等于5，所以也就是xo2+yo2=25.

即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.(2)設(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么

x02+y02=25

兩邊開方取算術根，得即點M(x0,y0)到坐標原點的距離等于5，點M(x0,y0)是這個圓上的一點.由1、2可知，x2+y2=25,是以坐標原點為圓心，半徑等于5的圓的方程.0