2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題附答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形。/8C的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)/、C分別在x軸、y軸的

正半軸上，點(diǎn)E是。/邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)/重合)，EFLCE,且與正方形外角平分線/G

交于點(diǎn)P.

(1)求證：CE=EP；

(2)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,0),在夕軸上是否存在點(diǎn)“，使得四邊形是平行四邊

形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由.

(1)證明：在OC上截取OK=OE.連接EK,

圖1

；OC=O4NCO/=/B/0=90°,NOEK=NOKE=45°,

?：AP為正方形OCBA的外角平分線,

：.ZBAP=45°,

:.NEKC=/PAE=135°,

：.CK=EA,

'：ECLEP,

：.NCEF=NCOE=90°,

：.ZCEO+ZKCE=90°,ZCEO+ZPEA=90Q,

:.NKCE=/CEA,

在△CKE和△EZP中

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ZKCE=LPEA

CK=EA

/CKE=LEAP

:./XCKE空!\EAP,

：.EC=EP；

(2)解：y軸上存在點(diǎn)M,使得四邊形BME尸是平行四邊形.

如圖，過(guò)點(diǎn)B作3"〃尸￡交y軸于點(diǎn)“，連接BP,EM,

則NC08=NCEP=9O°,

所以NOCE=NC30,

2cBM=/.OCE

???在△8CN和△COE中，\BC=OC

ZBCM=乙COE

:ABCMq/\COE,

:.BM=CE,

?：CE=EP,

:?BM=EP.

?:BM"EF,

，四邊形BMEP是平行四邊形，

VA^CM^ACOE,

:?CM=0E=3,

：.OM=CO-CM=2.

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,2）.

第2頁(yè)共10頁(yè)

2.如圖1,是。。的直徑，點(diǎn)4、C是直徑OE上方半圓上的兩點(diǎn)，且4OLCO.連接

AE,。相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)8是直徑OE下方半圓上的任意一點(diǎn)，連接N8交CO于點(diǎn)G,

連接C8交4E于點(diǎn)從

圖1圖2

(1)NABC=45°:

(2)證明：△CFHsXCBG；

(3)若弧OB為半圓的三分之一，把/ZOC繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C、。、8在一直線上

FH

時(shí)，如圖2,求ST的值.

DU；

解：⑴VZAOC=90°,

/.ZABC=45°,

故答案為45°

1

(2)如圖1,NCFH=NCDE+NAED=勺(180°-ZAOC)=45°=NABC,

NFCH=ZGCB,△CFHs△CBG；

(3)設(shè)乙4OD為Nl,NCOE為N2,NOEA=NOAE=a,圓的半徑為R,

圖2

AO11CO,則Nl+/2=90°,

/l=2a,

弧08為半圓的三分之一，則NO￡4=NO/IE=30°

第3頁(yè)共10頁(yè)

則N2=60°,a=30°,

在△O￡7/中，/2=60°,a=15°,OE=R,

在OE上取一點(diǎn)K,使HK=EK,則/〃KO=2a=30°,

設(shè)HU則x+e=R.

J3

貝ljx=OH=xtanNHKO=（2-V3）R,

V3+2'

貝I」C"=CO-O〃=（V3-1）R,

在△"（?中，ZDCB=30°,NHFC=45°,CH=（V3-1）R,

同理可得：FC=R,

△CFHs^CBG,

FHFCR1

BG~BC~2R~2

3.如圖，在RtZX/BC中，ZACB=90Q,以斜邊45上的中線CZ)為直徑作。。，與8c交

于點(diǎn)/，與48的另一個(gè)交點(diǎn)為￡,過(guò)/作MLL/8,垂足為M

(1)求證：MN是的切線：

(2)若。。的直徑為5,sin8=|,求皮)的長(zhǎng).

'：OC=OM,

：.ZOCM=NOMC,

在VX/XABC中，CD是斜邊上的中線,

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:.CD=%B=BD,

：.ZDCB=ZDBC,

：.40MC=NDBC,

：.OM//BD,

■:MNLBD,

J.OMLMN,

過(guò)O,

是。。的切線;

???CD是OO的直徑，

：.ZCED=90Q,NDMC=90°,

即。M_L8C,CE1AB,

由(l)知：BD=CD=5,

為5c的中點(diǎn)，

3

Vsin^=耳,

.4

..cosDn=耳,

在RtZXBMD中，BM=BD?cosB=4,

:.BC=2BM=8,

在RtZXCEB中，BE=BC?cosB=背，

327

：?ED=BE-BD=學(xué)-5=g

4.已知NM尸N的兩邊分別與OO相切于點(diǎn)/,B,OO的半徑為八

(1)如圖1,點(diǎn)。在點(diǎn)力，8之間的優(yōu)弧上，/MPN=80°,求NACB的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)。在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸。最大時(shí)，要使四邊形/IPBC為菱形，N4PB的度

第5頁(yè)共10頁(yè)

數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若PC交。。于點(diǎn)。，求第（2）問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含，?的式子表示）.

【解答】解：（1）如圖1,連接04,0B,

圖1

,：PA,尸8為。。的切線，

ZPAO=ZPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360°,

.?.//P8+//O8=180°,

；N/PB=80°,

AZAOB=lOO°,

：.ZACB^50°；

(2)如圖2,當(dāng)乙4P8=60°時(shí)，四邊形/P8C是菱形,

連接04,OB,

由(1)可知，NZO8+NNPB=180°,

VZAPB=60°,

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AZAOB=\20°,

AZACB=60Q=NAPB,

?.?點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，

；.PC經(jīng)過(guò)圓心，

,：PA,尸8為。。的切線，

:.PA=PB,/APC=/BPC=30°,

又,：PC=PC,

:.△APgXBPC(SAS),

：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

...N4PC=/4CP=30°,

：.AP=AC,

:.AP=AC=PB=BC,

...四邊形/P8C是菱形；

(3)丫?。的半徑為，，

.'.0/1—r,0P—2r,

：.AP=V3r,PD=r,

VZAOP=90°-ZAPO=60°,

...而的長(zhǎng)度==^r,

，陰影部分的周長(zhǎng)=弘+/7。+筋=gf+$=（V3+1+J）r.

5.如圖，玄為。。的切線，P8C為。。的割線，4。，。產(chǎn)于點(diǎn)。，△4DC的外接圓與5c

的另一個(gè)交點(diǎn)為￡.證明：NBAE=NACB.

【解答】證明：連接。N,OB,OC,BD.

"：OA1.AP,ADLOP,

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???由射影定理可得：PA2=PD*PO,AN=PD?OD.…（5分）

又由切割線定理可得Pm=PB?PC,

:?PB?PC=PD/PO,

:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（10分）

AZPDB=ZPCO=ZOBC=AODC,/PBD=/COD,

.,.△PSD^ACOP,

PDBD八

:.—=—,…（15分）

CDOD

:?BD?CD=PD，OD=AN,

.BDAD

?布-CD,

又NBDA=/BDP+90。=NOOC+90°=ZADC,

:.ABDAs4ADC,

：.NBAD=NACD,

:?AB是△ZQC的外接圓的切線，

：.ZBAE=ZACB.

6.如圖，點(diǎn)/為y軸正半軸上一點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)/任作直線交拋物線y=|/

于P,。兩點(diǎn).

(1)求證：ZABP=ZABQ；

(2)若點(diǎn)”的坐標(biāo)為(0,1),且/尸8。=60°,試求所有滿足條件的直線P。的函數(shù)

解析式.

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【解答】（1）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（（），，），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,-t）.

設(shè)直線P。的函數(shù)解析式為了=履丑，并設(shè)尸，。的坐標(biāo)分別為（XP,yP）,（XQ,yS）.由

'y=kx+t

y=jx2

27

得Q%，—kx—t=0,

=3tf2

于是久p%Q~2即亡=-JXPXQ.

BCyp+t|%p2+t|%p2一|%p%Q|%p（Xp-XQ）Xp

于是右=~~=2~；-=2~7-2-----=2-：-----7=--

HDYQ+C-%QZ+t2XQZ~XpXQ§XQ（XQ-Xp）XQ

eIPCXp“BCPC

又因?yàn)橐?所以一=—,

QDxQBDQD

因?yàn)镹BCP=NBDQ=90°,

所以43006

i^ZABP=ZABQ；

（