蘇教版必修第一冊5.3.1函數(shù)的單調性課件

第1課時函數(shù)的單調性第5章

函數(shù)的單調性學習目標1.了解函數(shù)的單調區(qū)間、單調性等概念.2.會劃分函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性.3.會用定義證明函數(shù)的單調性.導語我們知道，“記憶”在我們的學習過程中扮演著非常重要的角色，因此有關記憶的規(guī)律一直都是人們研究的課題.德國心理學家艾賓浩斯曾經對記憶保持量進行了系統(tǒng)的實驗研究，并給出了類似如圖所示的記憶規(guī)律.如果我們以x表示時間間隔(單位：h)，y表示記憶保持量(單位：%)，則不難看出，圖中，y是x的函數(shù)，記這個函數(shù)為y＝f(x).這個函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律？你能從中得到什么啟發(fā)？課時對點練一、函數(shù)的單調性的判定與證明二、求函數(shù)的單調區(qū)間三、函數(shù)單調性的簡單應用隨堂演練內容索引函數(shù)的單調性的判定與證明

一問題1

觀察下面三個函數(shù)圖象，他們的圖象有什么變化規(guī)律？這反映了相應函數(shù)值的哪些變化規(guī)律？提示函數(shù)y＝x的圖象從左向右看是上升的；函數(shù)y＝x2的圖象在y軸左側是下降的，在y軸右側是上升的；函數(shù)y＝－x2的圖象在y軸左側是上升的，在y軸右側是下降的.問題2

如何理解函數(shù)圖象是上升的？提示從左向右的方向看函數(shù)的圖象，當圖象上點的橫坐標逐漸增大時，點的縱坐標也逐漸變大，即函數(shù)的自變量逐漸增大時，對應的函數(shù)值逐漸增大.知識梳理增函數(shù)與減函數(shù)的定義前提條件設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A條件如果對于區(qū)間I內的任意兩個值x1，x2，當x1<x2時都有f(x1)

f(x2)都有f(x1)

f(x2)圖示

<>結論y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)(也稱在I上單調遞增)，I稱為y＝f(x)的增區(qū)間y＝f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)(也稱在I上單調遞減)，I稱為y＝f(x)的減區(qū)間(1)區(qū)間I是定義域的子集，即應在函數(shù)的定義域內研究單調性.(2)單調性應注意“三特性”：①同區(qū)間性，即x1，x2∈I；②任意性，即不可以用區(qū)間I上的特殊值代替；③有序性，即要規(guī)定x1，x2的大小.(3)“單調遞增(遞減)”“x1，x2的大小”“f(x1)與f(x2)的大小”知二求一.注意點：

已知函數(shù)f(x)＝

.(1)求f(x)的定義域；例1由x2－1≠0，得x≠±1，(2)判斷函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上的單調性，并用定義加以證明.證明：?x1，x2∈(1，＋∞)，設x1<x2，由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，又x1<x2，所以x1－x2<0，即f(x1)>f(x2)，利用定義判斷或證明函數(shù)單調性的步驟反思感悟

證明：函數(shù)f(x)＝x＋

在(0,1)上是減函數(shù).跟蹤訓練1設x1，x2是區(qū)間(0,1)上的任意兩個實數(shù)，且x1<x2，∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0,0<x1x2<1，則－1＋x1x2<0，即f(x1)>f(x2)，求函數(shù)的單調區(qū)間

二問題3

“函數(shù)y＝f(x)在I上為增函數(shù)”與“函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為I”含義相同嗎？提示不同.“函數(shù)y＝f(x)在I上為增函數(shù)”是指區(qū)間I為函數(shù)y＝f(x)的一個增區(qū)間，還可能存在其他增區(qū)間；“函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為I”是指除區(qū)間I外，函數(shù)y＝f(x)不存在其他增區(qū)間.知識梳理函數(shù)的單調性與單調區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是

，那么稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上具有

，增區(qū)間和減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間.增函數(shù)或減函數(shù)單調性(1)如果函數(shù)y＝f(x)存在多個單調區(qū)間，應當用“，”或“和”連接.(2)單調性是函數(shù)的局部性質，增(減)函數(shù)是函數(shù)的整體性質.注意點：

求下列函數(shù)的單調區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù).(1)f(x)＝

；例2函數(shù)f(x)＝

的單調區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函數(shù).當x≥1時，f(x)是增函數(shù)，當x<1時，f(x)是減函數(shù)，所以f(x)的單調區(qū)間為(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù)，在[1，＋∞)上是增函數(shù).(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.因為f(x)＝－x2＋2|x|＋3根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)f(x)的單調區(qū)間為(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞).f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函數(shù)，在(－1,0)，[1，＋∞)上是減函數(shù).求函數(shù)單調區(qū)間的方法(1)利用基本初等函數(shù)的單調性，其中分段函數(shù)的單調區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解.(2)利用函數(shù)的圖象.提醒：若所求出函數(shù)的增區(qū)間或減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調區(qū)間之間要用“，”隔開.反思感悟

借助函數(shù)圖象，求函數(shù)f(x)＝|x2－1|＋x的增區(qū)間.跟蹤訓練2當x≥1或x≤－1時，當－1<x<1時，作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖實線部分).函數(shù)單調性的簡單應用

三

(1)若函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在區(qū)間(－∞，3]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是____________.例3f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上是增函數(shù)知3≤－a－1，解得a≤－4，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4].(－∞，－4](2)已知函數(shù)y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實數(shù)x的取值范圍為___________.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴實數(shù)x的取值范圍為(－∞，1).(－∞，1)延伸探究1.在本例(1)中，若函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(－∞，3]，則實數(shù)a的值為______.由(1)知，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(－∞，－a－1]，所以－a－1＝3，a＝－4.－42.若本例(2)中函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，求x的取值范圍.由函數(shù)單調性求參數(shù)范圍的處理方法(1)由函數(shù)解析式求參數(shù)若為二次函數(shù)——判斷開口方向與對稱軸——利用單調性確定參數(shù)滿足的條件.若為一次函數(shù)——由一次項系數(shù)的正負決定單調性.若為函數(shù)y＝|f(x)|或y＝f(|x|)類——數(shù)形結合，探求參數(shù)滿足的條件.(2)當函數(shù)f(x)的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據(jù)函數(shù)單調性的定義和性質，將符號“f

”去掉，列出關于自變量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數(shù)的定義域.反思感悟

(1)若f(x)在R上是減函數(shù)，則f(－1)與f(a2＋1)之間有A.f(－1)≥f(a2＋1) B.f(－1)>f(a2＋1)C.f(－1)≤f(a2＋1) D.f(－1)<f(a2＋1)跟蹤訓練3√∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴對任意x1，x2，若x1<x2，均有f(x1)>f(x2).又∵－1<a2＋1，∴f(－1)>f(a2＋1).(2)若f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是________.課堂小結1.知識清單：(1)增函數(shù)、減函數(shù)的定義.(2)函數(shù)的單調性與單調區(qū)間.2.方法歸納：數(shù)形結合法.3.常見誤區(qū)：(1)函數(shù)的單調區(qū)間不能用并集.(2)利用函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍忽略函數(shù)的定義域.隨堂演練

1.函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,4]的圖象如圖所示，則f(x)的增區(qū)間是A.[－4,4]B.[－4，－3]∪[1,4]C.[－3,1]D.[－3,4]√1234由圖象知增區(qū)間為[－3,1].12342.若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則有A.f(3)<f(5) B.f(3)≤f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)√因為函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，3<5，所以f(3)>f(5).12343.函數(shù)y＝|x＋2|在區(qū)間[－3,0]上A.是減函數(shù)

B.是增函數(shù)C.先減后增

D.先增后減√即可作出y＝|x＋2|的圖象，如圖所示，易知函數(shù)在[－3，－2)上為減函數(shù)，在[－2,0]上為增函數(shù).12344.已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x2－2)<f(－x)，則x的取值范圍是________.由x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.(－2,1)課時對點練

12345678910111213141516基礎鞏固1.(多選)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為減函數(shù)的是A.y＝5－x

B.y＝x2＋2C.y＝

D.y＝－|x|√選項A，C，D中的函數(shù)在(0,2)上是減函數(shù)，函數(shù)y＝x2＋2在(0,2)上是增函數(shù).√√123456789101112131415162.函數(shù)y＝x2－2|x|＋1的增區(qū)間是A.(－1,0) B.(－1,0)和(1，＋∞)C.(－∞，－1) D.(－∞，－1)和(0,1)√作出其圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)的增區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞).123456789101112131415163.(多選)下列說法中，正確的有A.若任意x1，x2∈I，當x1<x2時，

>0，則y＝f(x)在I上是增函數(shù)B.函數(shù)y＝x2在R上是增函數(shù)C.函數(shù)

在定義域上是減函數(shù)D.函數(shù)

的單調區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)√√12345678910111213141516當x1<x2時，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，A正確；∴C正確；B和D錯誤.123456789101112131415164.函數(shù)f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的增區(qū)間分別是A.(－∞，0]，(－∞，1]B.(－∞，0]，(1，＋∞)C.[0，＋∞)，(－∞，1] D.[0，＋∞)，[1，＋∞)√分別作出f(x)與g(x)的圖象(圖略)，得f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，g(x)在(－∞，1]上為增函數(shù).123456789101112131415165.若函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是C.(3，＋∞) D.(－∞，－3]√12345678910111213141516∵函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1的圖象開口向上，直線x＝

為函數(shù)的對稱軸，又∵函數(shù)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，123456789101112131415166.已知f(x)在(－∞，＋∞)內是減函數(shù)，a，b∈R，且a＋b≤0，則有A.f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B.f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C.f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D.f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)√由題意知a＋b≤0，得到a≤－b，b≤－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)內是減函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).123456789101112131415167.已知f(x)是定義在區(qū)間[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)<f(1－x)，則x的取值范圍是______.123456789101112131415168.若函數(shù)f(x)＝

在(a,＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是___________.函數(shù)f(x)＝

的減區(qū)間為(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上是減函數(shù)，所以a≥－1.[－1,＋∞)12345678910111213141516(1)求m，n的值；12345678910111213141516(2)當x∈[1，＋∞)時，判斷f(x)的單調性并用定義證明.12345678910111213141516設1≤x1<x2，因為1≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>1，所以2x1x2>2>1，12345678910111213141516即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù).1234567891011121314151610.已知函數(shù)

在(1，＋∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.12345678910111213141516設1<x1<x2，∴x1x2>1.∵函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x1)－f(x2)∵x1－x2<0，12345678910111213141516∵x1x2>1，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.∴a的取值范圍是[－1，＋∞).12345678910111213141516綜合運用11.若函數(shù)y＝ax與y＝

在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上A.是增函數(shù)

B.是減函數(shù)C.先增后減

D.先減后增√12345678910111213141516由于函數(shù)y＝ax與y＝

在(0，＋∞)上均為減函數(shù)，故a<0，b<0，故二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx的圖象開口向下，且對稱軸為直線x＝

<0，故函數(shù)f(x)＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是減函數(shù).1234567891011121314151612.已知函數(shù)

若f(4－a)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(－∞，－2) D.(－2，＋∞)√畫出f(x)的圖象(圖略)可判斷f(x)在R上是增函數(shù)，故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.1234567891011121314151613.已知函數(shù)

在(0，a－3)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A.[3,4] B.[3,5]C.(3,4] D.(3,5]√12345678910111213141516∵函數(shù)f(x)在(0，a－3)上是減函數(shù)，∴由圖象可知0<a－3≤2，解得3<a≤5，故實數(shù)a的取值范圍是(3,5].1234567891011121314151614.已知函數(shù)

若f(x)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________.因為f(x)是R上的增函數(shù)，[4，8)解得4≤a<8.12345678910111213141516拓廣探究15.已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足以下三個條件：①對于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝－f(x)；②函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱；③對于任意的x1，x2∈[0,1]，且