無窮小量與無窮大量階的比較

無窮小量與無窮大量階的比較第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.例如,第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日注意1.稱函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的變化過程；2.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;3.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日2.無窮小與函數(shù)極限的關系:證必要性充分性第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日意義1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質:定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日無界，不是無窮大．第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日證第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日三、無窮小與無窮大的關系定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日意義

關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日極限運算法則的證明定理證由無窮小運算法則,得第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日有界，注①此定理對于數(shù)列同樣成立②此定理證明的基本原則：③(1),(2)可推廣到任意有限個具有極限的函數(shù)④(2)有兩個重要的推論第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日四、無窮小的比較例如,觀察各極限不可比.極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日定義:第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日例1解例2解第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日常用等價無窮小:注上述10個等價無窮?。òǚ?、對、冪、指、三）必須熟練掌握第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:一般地有即α與β等價α與β互為主要部分例如,第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日補充高階無窮小的運算規(guī)律第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日五、等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證意義求兩個無窮小之比的極限時，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價的較簡單的無窮小代替，以簡化計算。具體代換時，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時代換。第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日例3解注意不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.等價關系具有：自反性，對稱性，傳遞性第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日例4解錯解第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日例5解第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日例6求解一解二第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日解三例7求解第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日關于1∞型極限的求法第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:（1）無窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.六、小結第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日3.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.4.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.作業(yè)P66:1,2,3,5,6..第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日思考題1思考題2在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？第三十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日思考題1解答不能保證.例有思考題2解答沒有極限．假設有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設錯誤．第三十五頁，共三十六頁，2022年，