高三學生寒假自主學習調(diào)查數(shù)學試題

學生寒假自主學習調(diào)查高三數(shù)學一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案直接填寫在相應(yīng)位置上1．設(shè)1+i1-i=a+bi（i為虛數(shù)單位，a，b∈R），則ab的值為2．已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，B＝{m，n}，若A∩B＝{0}，則m﹣n＝▲3．某公司共有1000名員工，下設(shè)若干部門，現(xiàn)采用分層抽樣方法從全體員工中抽取一個容量為80的樣本，已知廣告部被抽取了4個員工，則廣告部的員工人數(shù)是▲．4．若雙曲線x2m-y2m25．運行如圖所示的偽代碼，則輸出的結(jié)果S為▲．6．從集合A＝{1，2，3，4，5}中任取兩個數(shù)，欲使取到的一個數(shù)大于k，另一個數(shù)小于k（其中k∈A）的概率是25，則k的值為▲7．若實數(shù)x，y滿足x+y-1≥0y-x-1≤0x≤1，則z＝2x+3y的最大值為8．已知函數(shù)y＝3sin（2x+π4）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π2）個單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點成中心對稱，則φ9．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1+a4＝18，a2+a3＝12，則a1的值是▲．10．已知三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且面積分別為3，4，6，則此三棱錐外接球的表面積為▲．11．已知函數(shù)f（x）＝x﹣2（ex﹣e﹣x），則不等式f（x2﹣2x）＞0的解集為▲．12．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若AC→?BD→=-14，則AD→13．設(shè)函數(shù)f（x）=4x-1，x＜13x2，x≥1，則滿足f（f（a））＝3（f（a））214．△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若c＝2且△ABC的面積為3，則ba-a二、解答題：本大題共6小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M是PC的中點．（1）證明：BM∥平面PAD；（2）若PB＝BC且平面PBC⊥平面PDC，證明：PA＝AD．16．設(shè)a→=（sinx，cosx），b→=（sinx，3sinx），記函數(shù)f（x）=a→?（a→+2b→），（1）當x∈[0，π]時，若|a→|＝|b→|，求（2）求使不等式f（x）≥g（x）+3-1成立的17．如圖，GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建一倉庫，設(shè)AB＝y(tǒng)km，并在公路同側(cè)建造邊長為xkm的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF（其中邊EF在GH上），現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）如果中轉(zhuǎn)站四周圍墻造價為1萬元/km，兩條道路造價為3萬元/km，問：x取何值時，該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價M最低？18．如圖，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為22，一條準線方程為x＝2．過點T（0，2）且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于A，B兩點線段（1）求橢圓C的方程；（2）求證：線段MN的中點在定直線上；（3）若△ABN為等腰直角三角形，求直線l的方程．19．已知n為正整數(shù)，數(shù)列{an}滿足an＞0且4（n+1）an2＝nan+12，數(shù)列{bn}前n項和為Sn，且滿足bn=a（1）求證：數(shù)列{ann}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式（用a（2）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，①求實數(shù)t的值；②若對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2＝16bm成立，求滿足條件的所有整數(shù)a1的值．20．已知函數(shù)f（x）＝（x﹣a）2ex．（1）當a＝0時，求證：f（x）≥ex3；（2）若f（x）在（0，2）上存在極值，求a的取值范圍；（3）當a＝2時，是否存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在該區(qū)間上的值域為[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案直接填寫在相應(yīng)位置上1．0．2．1．3．5004．25．9．6．3．7．8．8．3π89．2．10．29π．11．（0，2）12．﹣2．13．{a|a=13或a14．233二、解答題：本大題共6小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15．（1）取PD的中點F，連接AF，MF，則由已知得MF∥∴四邊形ABMF時平行四邊形．∴AF∥BM，又BM?平面PAD，AF?平面PAD，∴BM∥平面PAD．（2）證明：由PB＝BC，PM＝MC，∴BM⊥PC，∵平面PBC⊥平面PDC，∴BM⊥平面PDC，BM⊥PD，∵AF∥BM，∴AF⊥PD，又PF＝FD，∴PA＝AD．16．（1）因為|a→|＝|b所以sin2x+cos2x＝sin2x+3sin2x，所以sin2x=1又因為x∈[0，π]，所以x=π6或x（2）因為f（x）=a→?（a→+2b→）＝sin2x+cos2x+2（sin2x+3sinxg（x）＝f（3π4-x）＝2+2sin（4π3-2x因為f（x）≥g（x）+3所以sin（2x-π6）+cos（2x+π即sin2x+cos2x≥1，即2sin（2x+π所以2kπ+π即x∈[kπ，kπ+π4]，k∈故答案為：[kπ，kπ+π4]，k∈17．（1）∵AB＝y(tǒng)，AB＝AC+1，∴AC＝y(tǒng)﹣1．∵在Rt△BCF中，CF＝x，∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，可得BC＝2x．由于2x+y﹣1＞y，得x＞1在△ABC中，根據(jù)余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2?AB?BC?cosB，可得（y﹣1）2＝y(tǒng)2+（2x）2﹣2y?2x?cos60°，即（y﹣1）2＝y(tǒng)2+4x2﹣2xy，解得y=4∵y＞0且x＞12，∴可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=4x2（2）由題意，可得總造價M＝3[y+（y﹣1）]+4x=12x2令x﹣1＝t，則M=12(t+1)2t-3+4（t+1）＝16當且僅當16t=9t，即t=34此時x＝t+1=74，y答：當x的值為74時，該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和道路總造價M18．（1）由ca=22，ab=∴橢圓方程為：x2（2）顯然直線l的斜率存在，可設(shè)其方程為y＝kx+2．聯(lián)立橢圓方程可得（1+2k2）x2+8kx+6＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則xM=12(x1+x2)=∴直線MN的方程為：y=-1?N（0，-21+2∴yM＝﹣yN，∴線段MN的中點在定直線y＝0上．（3）由（2）得|MN|=1+(-1k)2||AB|=1+k2|x1﹣x2|=∵△ABN為等腰直角三角形，∴|AB|＝2|MN|，∴1+k2?24?k＝±222．（滿足△∴直線l的方程為y=±2219．證明：（1）∵an＞0，且4（n+1）an2＝nan+1∴an+1n+1=∴數(shù)列{ann}是以a∴an∴an=na1?解：（2）①∵bn=an2tn，∴b∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∴2?a2∴2×2a化為16t＝t2+48，解得t＝12或t＝4，當t＝4時，bn=n∴bn+1﹣bn=(n+1)當t＝12時，bn=nSn∵對任意的n∈N*，均存在m∈N*，當t＝12時，bn=n2b∴b2+b4≠2b3，數(shù)列{bn}不是等差數(shù)列，舍去，綜上，t＝4．②當t＝4時，bn=nSn∵對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S∴8a12∴na12=4m當a1=2k，k∈N*當a1=2k-1，k∈N*時，取n＝1，m=4k綜上，存在a120．（1）證明：a＝0時，f（x）＝x2ex，證明f（x）≥ex3?x2ex≥ex3?ex﹣ex≥0．令u（x）＝ex﹣ex，u′（x）＝ex﹣e，令u′（x）＝0，解得x＝1．可得：x＝1時，函數(shù)u（x）取得極小值即最小值，∴u（x）≥u（1）＝0．∴f（x）≥ex3．（2）解：f′（x）＝2（x﹣a）ex+（x﹣a）2ex＝（x﹣a）（x﹣a+2）ex．令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝a﹣2．由a﹣2＜a，列表可得：x（﹣∞，a﹣2）a﹣2（a﹣2，a）a（a，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單增極大值單減極小值單增由f（x）在（0，2）上存在極值，∴0＜a﹣2＜2＜a，或a﹣2＜0＜a＜2，解得：a∈（0，2）∪（2，4）．（3）∵f（x）≥0，∴m≥0．①m＝0時，則n≥2，∵f（0）＝4＜e4n，∴（n﹣2）2en＝e4n，設(shè)g（x）=(x-2)2xex（x≥2），則g′（x）∴g（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)．由g（4）＝e4，即方程（n﹣2）2en＝e4n有唯一解為：n＝4．②若m＞0時，則2?[m，n]，即n＞m＞2，或0＜m＜n＜2．（i）n＞m＞2時，f（m）＝（m﹣2）2em＝e4m，f（n）＝（n﹣2）2en＝e4n，由①可知：不存在滿足條件的m，n．（ii）0＜m＜n＜2時，（m﹣2）2em＝e4n，（n﹣2