有理數(shù)的概念

知識整合二一一有理數(shù)的概念一、正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念1、正數(shù)：大于0的數(shù)，叫做正數(shù)。正數(shù)比0大。2、在正數(shù)前面加“一”（讀作負(fù)）號的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)比0小。&零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。注意：1） 為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時也可以加上“+”（讀作正）號。2） 對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“+”號的數(shù)是正數(shù)，帶“一”號的數(shù)是負(fù)數(shù)。二、有理數(shù)的概念1、有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。注意：（1）有時為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本節(jié)中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。（2）因為分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示,所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。（3）“0”即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0”是整數(shù)。2、 整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。3、 分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。正有理數(shù)￡「正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)整數(shù)*有理勲0有理數(shù)■=負(fù)有理數(shù)乂「負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)?-分?jǐn)?shù)V按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類:按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類:按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類:按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類:2、1、''正整數(shù)0負(fù)整數(shù)■■正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)注意：通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)，則a>0表明a是正數(shù)；aV0表明a是負(fù)數(shù)；a*表明a是非負(fù)數(shù)；a蘭0表明a是非正數(shù)。四、 數(shù)軸的概念規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸數(shù)軸的定義包含三層含義：一，數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二，數(shù)軸有三要素一一原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；三，原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。五、 數(shù)軸的畫法1、畫一條直線（一般畫成水平的直線）。2、 在直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下面標(biāo)上“0”）。3、 確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來。4、 選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3……；

從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為一1,—2,—3 注：（1）原點的位置、單位長度的大小可根據(jù)實際情況適當(dāng)選??；（2）確定單位長度時，根據(jù)實際情況，有時也可以每隔兩個（或更多的）單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2,4，6，……；從原點向左，依次表示為一2,—4，一6，；六，相反數(shù)的概念1、相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。2、相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)（除了符號不同以外完全相同），我們說其中一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。七、絕對值的概念1、絕對值的幾何定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，數(shù)a的絕對值記作“”2、絕對值的代數(shù)定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);ra,(a=0)螢心=￡ra,(a=0)螢心=￡—弘@c0) LC^>o)a3第二章：有理數(shù)及其運(yùn)算知識要求：1、 有具體情境中，理解有理數(shù)及其運(yùn)算的意義；2、 能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大小。3、 借助數(shù)軸理解相反數(shù)與絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值。4、 經(jīng)歷探索有理數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律的過程；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運(yùn)算；理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能利用運(yùn)算律簡化運(yùn)算，及能運(yùn)用有理數(shù)及其運(yùn)算律解決簡單的實際問題。知識重點：絕對值的概念和有理數(shù)的運(yùn)算（包括法則、運(yùn)算律、運(yùn)算順序、混合運(yùn)算）是本章的重點。知識難點：絕對值的概念及有關(guān)計算，有理數(shù)的大小比較，及有理數(shù)的運(yùn)算是本章的難點?？键c：絕對值的有關(guān)概念和計算，有理數(shù)的有關(guān)概念及混合運(yùn)算是考試的重點對象。知識點：一、有理數(shù)的基礎(chǔ)知識1、三個重要的定義：（1）正數(shù)：像1、2.5、這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“一”號，表示比0小的數(shù)叫做負(fù)數(shù)；（3）0即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。

2、有理數(shù)的分類(1)按定義分類2)按性質(zhì)符號分類：正整數(shù)有理數(shù)整數(shù)、負(fù)整數(shù)2、有理數(shù)的分類(1)按定義分類2)按性質(zhì)符號分類：正整數(shù)有理數(shù)整數(shù)、負(fù)整數(shù)有理數(shù)正有理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)3、 數(shù)軸數(shù)軸有三要素：原點、正方向、單位長度。畫一條水平直線，在直線上取一點表示0(叫做原點)，選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸。在數(shù)軸上的所表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，所以正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。4、 相反數(shù)如果兩個數(shù)只有符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)。0的相反數(shù)是0，互為相反的兩上數(shù)，在數(shù)軸上位于原點的兩則，并且與原點的距離相等。5、 絕對值絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示該數(shù)的點與原點的距離。絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；0的絕對值是0；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可用字母a表示如下：a (a>0)a=<0 (a=0)-a (a<0)(3)兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。二、有理數(shù)的運(yùn)算1、 有理數(shù)的加法有理數(shù)的加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。有理數(shù)加法的運(yùn)算律：加法的交換律：a+b=b+a；加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)用加法的運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加；把同分母的分?jǐn)?shù)先相加；把符號相同的數(shù)先相加；把相加得整數(shù)的數(shù)先相加。2、 有理數(shù)的減法有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。有理數(shù)減法常見的錯誤：顧此失彼，沒有顧到結(jié)果的符號；仍用小學(xué)計算的習(xí)慣，不把減法變加法；只改變運(yùn)算符號，不改變減數(shù)的符號，沒有把減數(shù)變成相反數(shù)。(3)有理數(shù)加減混合運(yùn)算步驟：先把減法變成加法，再按有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算；3、 有理數(shù)的乘法有理數(shù)乘法的法則：兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘都得0。有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：交換律：ab=ba；結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；交換律：a(b+c)=ab+ac。倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)，即ab=1，那么a和b互為倒數(shù)；倒數(shù)也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來。4、 有理數(shù)的除法有理數(shù)的除法法則：除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)，0不能做除數(shù)。這個法則可以把除法轉(zhuǎn)化為乘法；除法法則也可以看成是：兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除，0除以任何一個不等于0的數(shù)都等于0。5、 有理數(shù)的乘法有理數(shù)的乘法的定義：求幾個相同因數(shù)a的運(yùn)算叫做乘方，乘方是一種運(yùn)算，是幾個相同的因數(shù)的特殊乘法運(yùn)算，記做'an”其中a叫做底數(shù)，表示相同的因數(shù)，n叫做指數(shù)，表示相同因數(shù)的個數(shù)，它所表示的意義是n個a相乘，不是n乘以a,乘方的結(jié)果叫做幕。正數(shù)的任何次方都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方是負(fù)數(shù)6、 有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的關(guān)建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算法則、運(yùn)算律及運(yùn)算順序。比