導(dǎo)學(xué)案 函數(shù)的應(yīng)用（Ⅰ）

§2.3函數(shù)的應(yīng)用(Ⅰ)【學(xué)習(xí)要求】：1.通過運用函數(shù)的有關(guān)知識解決實際生活中的問題，加深對函數(shù)概念的理解；2.會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題；3.了解數(shù)學(xué)知識來源于生活，又服務(wù)于生活．【學(xué)法指導(dǎo)】：通過具體實例，感受運用函數(shù)建立模型的過程和方法，體會一次函數(shù)、二次函數(shù)模型在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性，初步樹立函數(shù)的觀點.填一填：知識要點、記下疑難點1.一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)，當(dāng)a>0時，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)a<0時，f(x)為減函數(shù)．2.反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)．3.二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，當(dāng)a>0時，增區(qū)間為[－，＋∞)；減區(qū)間為(－∞，－].研一研：問題探究、課堂更高效[問題情境]我們已經(jīng)學(xué)過正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，它們在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用．今天我們嘗試一下，怎樣從實際問題入手，運用已學(xué)過的函數(shù)知識來解決一個實際問題．探究點一一次函數(shù)模型的應(yīng)用例1某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km.火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系，并求離開北京2h時火車行駛的路程．分析1：本例所涉及的變量有哪些？它們的取值范圍怎樣？答：變量有路程s和時間t，它們的取值范圍分別為13≤s≤277,0≤t≤eq\f(277－13,120)＝eq\f(11,5).分析2:所涉及的變量的關(guān)系如何？答:s＝13＋120t.問題:根據(jù)分析1、分析2，寫出例1的解答過程．解:因為火車勻速運動的時間為(277－13)÷120＝eq\f(11,5)(h)，所以0≤t≤eq\f(11,5).因為火車勻速行駛th所行駛路程為120t，所以，火車行駛總路程s與勻速行駛時間t之間的關(guān)系是s＝13＋120t(0≤t≤eq\f(11,5))．離開北京2h時火車行駛的路程s＝13＋120×eq\f(11,6)＝233(km)．小結(jié):實際問題中列出的函數(shù)關(guān)系的定義域，要考慮實際問題對自變量的限制．即注意自變量的實際意義．跟蹤訓(xùn)練1一個水池每小時注入水量是全池的eq\f(1,10)，水池還沒注水部分的總量y隨時間t變化的關(guān)系式是______．解析:設(shè)t小時注滿水池，則有eq\f(1,10)t＝1，所以0≤t≤10.y隨時間t變化的關(guān)系式為y＝1－eq\f(1,10)t(0≤t≤10)．探究點二二次函數(shù)模型的應(yīng)用例2某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿.公司欲提高檔次，并提高租金.如果每間日房租每增加2元，客房出租數(shù)就會減少10間.若不考慮其他因素，旅游公司將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？分析1:本例涉及到哪些數(shù)量關(guān)系？如何選取變量，其取值范圍又如何？答:租金提高的錢數(shù)與客房減少數(shù)，租金與租出客房數(shù)等；變量選為租金提高了x個2元，0<x<30.分析2:應(yīng)當(dāng)選取何種函數(shù)模型來描述變量的關(guān)系？“總收入最高”的數(shù)學(xué)含義如何理解？答:二次函數(shù)，“總收入最高”即求函數(shù)的最大值．問題:根據(jù)分析1、分析2寫出例2的解答過程．解:設(shè)客房日租金每間提高x個2元，則每天客房出租數(shù)為300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得：0＜x＜30，設(shè)客房租金總收入y元，則有：y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)2＋8000(0＜x＜30)由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x＝10時，ymax＝8000.所以當(dāng)每間客房日租金提高到20＋10×2＝40元時，客戶租金總收入最高，每天為8000元.小結(jié):解題方法：(1)讀題，找關(guān)鍵點；(2)抽象成數(shù)學(xué)模型；(3)求出數(shù)學(xué)模型的解；(4)做答．跟蹤訓(xùn)練2某單位計劃用圍墻圍出一塊矩形場地，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為l，如果要使圍墻圍出的場地面積最大，問矩形的長、寬各等于多少？解：設(shè)矩形的長為x(0<x<eq\f(l,2))，則寬為eq\f(1,2)(l－2x)，從而矩形的面積為S＝x·eq\f(l－2x,2)＝－x2＋eq\f(l,2)x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(l,4)))2＋eq\f(l2,16).由此可得，該函數(shù)在x＝eq\f(l,4)時取得最大值，且Smax＝eq\f(l2,16).這時矩形的寬為eq\f(l－2x,2)＝eq\f(l,4).即這個矩形是邊長等于eq\f(l,4)的正方形時，所圍出的面積最大．探究點三選擇函數(shù)的擬合問題例3我國1999～2002年國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬億元)如下表所示：年份1999200020012002x0123生產(chǎn)總值8.20678.94429.593310.2398(1)畫出函數(shù)圖形，猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式；(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實際生產(chǎn)總值比較；(3)利用關(guān)系式估計2003年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值．解：(1)畫出函數(shù)圖形．從函數(shù)的圖形可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，可選擇線性函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型．如右圖所示，設(shè)所求的線性函數(shù)為y＝kx＋b.把直線通過的兩點(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式，解方程組，得k＝0.6777，b＝8.2067.因此，所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝f(x)＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的關(guān)系式計算出2000年和2001年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為f(1)＝0.6777×1＋8.2067＝8.8844，f(2)＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621，與實際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過0.1萬億元．(3)假設(shè)我國2002年以后國內(nèi)生產(chǎn)總值還按上面的關(guān)系式增長，則2003年(即x＝4時)的國內(nèi)生產(chǎn)總值為y＝f(4)＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175.所以2003年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為10.9175萬億元．小結(jié)：依據(jù)問題給出的數(shù)據(jù)，建立反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)模型的探索方法為：(1)首先建立直角坐標(biāo)系，畫出散點圖；(2)根據(jù)散點圖設(shè)出比較接近的可能的函數(shù)模型的解析式；(3)利用待定系數(shù)法求出各解析式；(4)對模型擬合程度進行檢驗，若擬合程度差，重新選擇擬合函數(shù)，若擬合程度好，符合實際問題，就用這個函數(shù)模型解釋實際問題．跟蹤訓(xùn)練3若用模型y＝ax2來描述汽車緊急剎車后滑行的距離y與剎車時的速度x的關(guān)系．而某種型號的汽車速度為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20m，在限速100km/h的高速公路上，一輛這種型號的車緊急剎車后滑行的距離為60m，則這輛車是否超速行駛：____________.解析：將(60,0.02)代入y＝ax2，得a＝eq\f(0.02,3600)，所以模型為y＝eq\f(0.02,3600)x2，當(dāng)y＝0.06時，x2＝eq\f(0.06×3600,0.02)＝3×602，即x＝60eq\r(3)≈60×1.732＝103.92>100.所以這輛車是超速行駛．練一練：當(dāng)堂檢測、目標(biāo)達成落實處1.某文體商店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副20元，球每只5元，該店制訂了兩種優(yōu)惠方法：①買一副球拍贈送一只球；②按球拍和球的總價的92%付款．某單位計劃購買4副球拍和30只球，該單位若想更省錢，則應(yīng)選優(yōu)惠方法()A．①B．②C．兩種一樣D．不能確定解析：若按第①種優(yōu)惠方法，共需要花費4×20＋26×5＝210(元)，若按第②種優(yōu)惠方法，共需要花費0.92×(4×20＋30×5)＝211.6(元)，所以選A.2.用長度為24m的材料圍成一矩形場地，如果在中間加兩道隔墻，要使矩形面積最大，則隔墻的長度應(yīng)為()A．3mB．4mC．6mD．12m解析：設(shè)矩形的長為x，則寬為eq\f(1,4)(24－2x)，則矩形的面積為S＝eq\f(1,4)(24－2x)x＝－eq\f(1,2)(x2－12x)＝－eq\f(1,2)(x－6)2＋18，所以當(dāng)x＝6時，矩形的面積最大．3.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差()A．10元B．20元C．30元D.eq\f(40,3)元解析：設(shè)A種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為S＝k1t＋20，B種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為S＝k2t，當(dāng)t＝100時，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時，150k