2021年高考甲卷-理數(shù)試題(含解析)

#乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為12032005(2)由題意k2乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為12032005(2)由題意k2=n(ad-bc)2400X(150X80-120X50)2X10.256>6.635.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 200x200x270x130所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異..已知數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S為｛a｝的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為nn條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列：②數(shù)列八不)是等差數(shù)列：③a=3a.n n 2 1注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分，①，③n②答案：見解析解析：TOC\o"1-5"\h\z①，③n②證明：設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d.因?yàn)閍=3a，所以a+d=3a，, n 21 1 1則d=2a.所以S=na+n(n~—d=na+n(n-1)a=n2a，所以1 n12 1 1 1正〃e-(n-1),“=a.所以｛訝｝是首項(xiàng)為、a，公差為、?的等差數(shù)列..已知直三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AABB為正方形，AB=BC=2，E，F(xiàn)分別111 11為AC和CC的中點(diǎn)，D為棱AB上的點(diǎn)，BF1AB.1 11 11(1)證明：BF1DE；⑵當(dāng)Bi⑵當(dāng)BiD為何值時(shí)，面BBiCiC與面DFE所成的二面角的正弦值最小?答案：見解析；解析:連AE，取BC中點(diǎn)M連BM，EM，

由EM為AC,BC的中點(diǎn)，則EM//AB,又AB//AB,AB//EM，則ABME共面，故DEu面ABME.1111TOC\o"1-5"\h\z11 111111又在側(cè)面BCCB中AFCB=AMBB，則BF1MB11 1 1BF1AB 1ii\o"CurrentDocument"又MBCAB=BbnBF1面ABME，則BF1DE.iiii iiMB,ABu面ABME1 11 11BF1AB，則BF1ABnAF2=BF2+AB2=911又AF2=FC2+AC2nAC2=8則AB1BC.如圖以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，則B(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1).y設(shè)DBy設(shè)DB=t則D(t,0,2),0<t<2,1則面BCCB法向量為/二(1,0,0)，對(duì)面def設(shè)法向量為為=(x,y,z)，則1麗=(-1,1,1) \EF-n=0一 ，《一n為=(31+兀2-1)即=Q—1,—1,2) [EDn=0

則cos:m,萬;二a+(1+1)2+(2—t)2 J2t2則cos:m,萬;二要求最小正弦值則求最大余弦值.當(dāng)t=2時(shí)二面角余弦值最大，則biD=2時(shí)二面角正弦值最小.OP1OQ,已知點(diǎn)M(2,0),且。M與l相切.(1)求COM的方程;⑵設(shè)A1A2，A是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線AA，12A1A均與°M相切，判斷直線A2A3，與OMOP1OQ,已知點(diǎn)M(2,0),且。M與l相切.(1)求COM的方程;⑵設(shè)A1A2，A是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線AA，12A1A均與°M相切，判斷直線A2A3，與OM的位置關(guān)系，并說明理由.答案：見解析；解析：(1)C:y2=x，qM:(x-2)2+j2=1(2)設(shè)A(a2,a),A(b2,b),A(c2,c).lA1A2:y-a=(x-a2)nx-(a+b)y+ab=0，所以a+bd=rnJ2+ab|=1①.

1+(a+b)2l:y-a=(x-a2)nx-(a+c)y+ac=0，所以A1B3 a+cI2+acId二rn,一二1②.

\：1+(a+c)2所以bI2+axI=1n(a2—1)x2+2ax-a2+3=0的兩根.又lA2A3:x-(b+c)y+bc=0，所以?1?1+(b+c)2I2+bcI 12+IraT1 Ia2+1I一=—=. =1所以d=人即直線qe與MM相切.xa21.已知a〉0且a中1,函數(shù)f(x)=一(x>0).ax(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.答案：見解析；解析：x2(1)a=2時(shí)，f(x)=——，2xf(x)=_x(2-xln2)_1n2。x(R-x)2x2x22當(dāng)x^(0，放)時(shí)，小)〉0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x*(無,+8)時(shí)，收)<0，山)單調(diào)遞減.故f(x)在(0，三)上單調(diào)遞增，在(二,+8)上單調(diào)遞減.ln2 ln2(2)由題知f(x)_1在(0,+8)有兩個(gè)不等根;lnxlna_axoaInx_xInaO _ xalnx 1-lnx令g(x)_ g(x)_ ，g(x)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減.x x2，又g(1)_0g(e)_-x—+8,g(x)-0.，e，lna1所以0< <-na〉1且a中e.ae四、選考題(2選1)22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p_2Y2cos0.(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0)，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足AP_<2AM，寫出P的軌跡C的參數(shù)方程，并判斷C與C是否有公共點(diǎn).答案：見解析解析：(1)p2=2<2pcosOnx2+y2=2K2xn(x—<2)2+y2=2.⑵設(shè)P(x,y),M/，,o)，由AP=22AMnOM=學(xué)AP+OA=爭xTyH(1,0)=年x-3+VyAP=22AM仔x.r,；2+仔x.r,；2+1)2+=2n(x+&-3)2+y2=4.則C1為(3-J2,0)為圓心，半徑為2的圓，所以CC< —丫2所以，兩圓為內(nèi)含關(guān)系，所以，圓C與圓q所以，兩圓為內(nèi)含關(guān)系，所以，圓C與圓q無公共點(diǎn).23.已知函數(shù)f(x)=1x-21，g(x)=12x+31-12x-11.(1)畫出y=f(x)和y=g(x)的圖象；(2)若f(x+a)>g(x)，求a的取值范圍.見解析:解析：當(dāng)a>0時(shí)，f（x+a）>g（x）恒成立，必有f(1+a)>g1、 f(1+a)>g-)ola一一l>4na>—11當(dāng)a>—時(shí)，3x￡（一8,5）時(shí)，g（x）-0，f（x）>0，所以f（x）>g（x）.31x￡[--,-]時(shí)，g(x)=4x+2,f(x)=x+a一2，令F(x)=f