圖像處理直方圖

關(guān)于圖像處理直方圖第1頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖調(diào)整法（一）直方圖均衡化HistogramEqualization

直方圖:是灰度級的函數(shù)，描述的是數(shù)字圖象中的每一灰度級與其出現(xiàn)的頻率(該灰度級的象素數(shù)目)間的統(tǒng)計關(guān)系,用橫坐標表示灰度級,縱坐標表示頻數(shù)(也可用概率表示)。直方圖:第2頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖第3頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第4頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第5頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第7頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第8頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第9頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第10頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第11頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖的性質(zhì)：①不表示圖像的空間信息；②任一特定圖像都有唯一直方圖，但反之并不成立第12頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三（a）（b）

圖a和圖b具有相同的直方圖第13頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)灰度的直方圖非均勻分布第19頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)灰度的直方圖均勻分布第20頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化目標直方圖均衡化第21頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化第22頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

如上面所述，一幅給定的圖像的灰度級分布在0≤r≤1范圍內(nèi)。可以對[0,1]區(qū)間內(nèi)的任一個r

值進行如下變換

(3.3.1)也就是說，通過上述變換，每個原始圖像的像素灰度值r

都對應(yīng)產(chǎn)生一個

s

值。

直方圖均衡的基礎(chǔ)

第23頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三變換函數(shù)T(r)應(yīng)滿足下列條件：（1）在0≤r≤1區(qū)間內(nèi)，T(r)單值單調(diào)增加；（2）對于0≤r≤1，有0≤T(r)≤1。

這里的第一個條件保證了圖像的灰度級從白到黑的次序不變。第二個條件則保證了映射變換后的像素灰度值在允許的范圍內(nèi)。滿足這兩個條件的變換函數(shù)的一個例子如圖3.16所示。

第24頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三圖3.16一種灰度變換函數(shù)

第25頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三從s

到

r

的反變換可用式(3.3.2)表示

(3.3.2)

由概率論理論可知，如果已知隨機變量的概率密度為，而隨機變量是的函數(shù)，即，的概率密度為，所以可以由求出。第26頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

因為是單調(diào)增加的，由數(shù)學(xué)分析可知，它的反函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)。在這種情況下，如圖所示，＜且僅當ξ＜時發(fā)生，第27頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

和的變換函數(shù)關(guān)系

第28頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三所以可以求得隨機變量的分布函數(shù)為

對式兩邊求導(dǎo)，即可得到隨機變量的分布密度函數(shù)為

(3.3.3)

第29頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三通過變換函數(shù)T(r)可以控制圖像灰度級的概率密度函數(shù)，從而改變圖像的灰度層次。這就是直方圖修改技術(shù)的基礎(chǔ)。第30頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

直方圖均衡化處理是以累積分布函數(shù)變換法為基礎(chǔ)的直方圖修正法。

假定變換函數(shù)為

(3.3.4)

式中是積分變量，而就是的累積分布函數(shù)(CDF)。第31頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三這里，累積分布函數(shù)是的函數(shù)，并且單調(diào)地從0增加到1，所以這個變換函數(shù)滿足關(guān)于*在0≤≤1內(nèi)單值單調(diào)增加，*在0≤≤1內(nèi)有0≤≤1的兩個條件。

第32頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三對式(3.3.4)中的求導(dǎo)，則(3.3.5)

再把結(jié)果代入式(3.3.3)，則

第33頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三(3.3.6)第34頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三兩個重要概念：1）、直方圖均衡化處理技術(shù)是用累積分布函數(shù)作變換函數(shù)的直方圖修正方法；2）、用累積分布函數(shù)作為變換函數(shù)可產(chǎn)生一幅灰度級分布具有均勻概率密度的圖像。

第35頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三圖4-5均勻密度變換法

第36頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

例如，在圖4—5中，(a)是原始圖像的概率密度函數(shù)。從圖中可知，這幅圖像的灰度集中在較暗的區(qū)域，這相當于一幅曝光過強的照片。(b)和(c)分別為變換函數(shù)和變換后的均勻的概率密度函數(shù)。

第37頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三由圖(a)可知，原始圖像的概率密度函數(shù)為

用累積分布函數(shù)原理求變換函數(shù)由此可知變換后的值與值的關(guān)系為

第38頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

按照這樣的關(guān)系變換就可以得到一幅改善了質(zhì)量的新圖像。這幅圖像的灰度層次將不再是呈現(xiàn)黑暗色調(diào)的圖像，而是一幅灰度層次較為適中的，比原始圖像清晰，明快得多的圖像。下面還可以通過簡單的推證，證明變換后的灰度級概率密度是均勻分布的。

第39頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三因為

所以

由于取值在[0,1]區(qū)間內(nèi)，所以

第40頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三這個簡單的證明說明在希望的灰度級范圍內(nèi)，它是均勻密度。因此而

第41頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第42頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第43頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三圖象均衡化處理后，圖象的直方圖是平直的，即各灰度級具有相同的出現(xiàn)頻數(shù)，那么由于灰度級具有均勻的概率分布，圖象看起來就更清晰了。

第44頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化要找到一種變換S=T(r)

使直方圖變平直，為使變換后的灰度仍保持從黑到白的單一變化順序，且變換范圍與原先一致，以避免整體變亮或變暗。必須規(guī)定：（1）在0≤r≤1中，T(r)是單調(diào)遞增函數(shù)，且0≤T(r)≤1；（2）反變換r=T-1(s),T-1(s)也為單調(diào)遞增函數(shù)，0≤s≤1。

第45頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三rjrj+rsjsj+s直方圖均衡化變換公式推導(dǎo)圖示第46頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化考慮到灰度變換不影響象素的位置分布，也不會增減象素數(shù)目。所以有

第47頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化應(yīng)用到離散灰度級，設(shè)一幅圖象的象素總數(shù)為n，分L個灰度級。

nk:

第k個灰度級出現(xiàn)的頻數(shù)。第k個灰度級出現(xiàn)的概率P(rk)=nk/n其中0≤rk≤1，k=0,1,2,...,L-1形式為：

算例第48頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三例例：設(shè)圖象有64*64=4096個象素，有8個灰度級，灰度分布如表所示。進行直方圖均衡化。rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1

nk790102385065632924512281p(rk)

0.190.250.210.160.080.060.030.02第49頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三步驟：rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1

nk790102385065632924512281p(rk)

0.190.250.210.160.080.060.030.02例第50頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三1.由（2-2）式計算sk。rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1

nk790102385065632924512281p(rk)

0.190.250.210.160.080.060.030.02sk計算0.190.440.650.810.890.950.981.00例第51頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1

nk790102385065632924512281p(rk)

0.190.250.210.160.080.060.030.02sk計算0.190.440.650.810.890.950.981.00sk舍入1/73/75/76/76/71112.把計算的sk就近安排到8個灰度級中。例第52頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1

nk790102385065632924512281p(rk)

0.190.250.210.160.080.060.030.02sk計算0.190.440.650.810.890.950.981.00sk舍入1/73/75/76/76/7111sk

s0s1s2s3s4nsk

7901023850985448p(sk)

0.190.250.210.240.113.重新命名sk，歸并相同灰度級的象素數(shù)。例第53頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化均衡化前后直方圖比較例第54頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

由上面的例子可見，利用累積分布函數(shù)作為灰度變換函數(shù)，經(jīng)變換后得到的新灰度的直方圖雖然不很平坦，但畢竟比原始圖像的直方圖平坦得多，而且其動態(tài)范圍也大大地擴展了。因此這種方法對于對比度較弱的圖像進行處理是很有效的。

第55頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

因為直方圖是近似的概率密度函數(shù)，所以用離散灰度級作變換時很少能得到完全平坦的結(jié)果。另外，從上例中可以看出變換后的灰度級減少了，這種現(xiàn)象叫做“簡并”現(xiàn)象。由于簡并現(xiàn)象的存在，處理后的灰度級總是要減少的。這是像素灰度有限的必然結(jié)果。由于上述原因，數(shù)字圖像的直方圖均衡只是近似的。

第56頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

產(chǎn)生簡并現(xiàn)象的根源是利用變換公式求新灰度時，所得到的往往不是允許的灰度值，這時就要采用舍入的方法求近似值，以便用與它最接近的允許灰度來代替它。在舍入的過程中，一些相鄰的值變成了相同的值，這就發(fā)生了簡并現(xiàn)象，于是也就造成了一些灰度層次的損失。那么為什么會有簡并現(xiàn)象呢？第57頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

減少簡并現(xiàn)象的簡單方法是增加像素的比特數(shù)。比如，通常用8bit來代表一個像素，而現(xiàn)在用12bit來表示一個像素，這樣就可減少簡并現(xiàn)象發(fā)生的機會，從而減少灰度層次的損失。另外，采用灰度間隔放大理論的直方圖修正法也可以減少簡并現(xiàn)象。這種灰度間隔放大可以按照眼睛的對比度靈敏度特性和成像系統(tǒng)的動態(tài)范圍進行放大。那么如何減少簡并現(xiàn)象呢？第58頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三均衡化第59頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化直方圖均衡化實質(zhì)上是減少圖象的灰度級以換取對比度的加大。在均衡過程中，原來的直方圖上頻數(shù)較小的灰度級被歸入很少幾個或一個灰度級內(nèi)，故得不到增強。若這些灰度級所構(gòu)成的圖象細節(jié)比較重要，則需采用局部區(qū)域直方圖均衡。

第60頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第61頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖調(diào)整法（二）直方圖匹配修改一幅圖象的直方圖，使得它與另一幅圖象的直方圖匹配或具有一種預(yù)先規(guī)定的函數(shù)形狀。

目標：突出我們感興趣的灰度范圍，使圖象質(zhì)量改善。

第62頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)灰度的直方圖原圖第63頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三連續(xù)灰度的直方圖規(guī)定第64頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖匹配

令P(r)為原始圖象的灰度密度函數(shù)，P(z)是期望通過匹配的圖象灰度密度函數(shù)。對P(r)及P(z)作直方圖均衡變換，通過直方圖均衡為橋梁，實現(xiàn)P(r)與P(z)變換。第65頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

假設(shè)pr(r)是原始圖像灰度分布的概率密度函數(shù)，pz(z)是希望得到的圖像的概率密度函數(shù)。如何建立pr(r)和pz(z)之間的聯(lián)系是直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵。第66頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

所以，直方圖規(guī)定化處理的關(guān)鍵思路是尋找一個pr(r)和pz(z)間的中介，在pr(r)，pz(z)間搭建一座橋梁，建立r與z的關(guān)系。第67頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三首先對原始圖像進行直方圖均衡化處理，即：假定已經(jīng)得到了所希望的圖像，并且它的概率密度函數(shù)是。對這幅圖像也作均衡化處理，即：(4—17)(4—16)第68頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

因為對于兩幅圖同樣做了均衡化處理，所以和具有同樣的均勻密度。其中式(4—17)的逆過程為(4—18)第69頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三

這樣，如果用從原始圖像中得到的均勻灰度級來代替逆過程中的，其結(jié)果灰度級將是所要求的概率密度函數(shù)的灰度級。

第70頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三rjzk直方圖匹配變換公式推導(dǎo)圖示第71頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖匹配

步驟：（1）由

各點灰度由r映射成s。（2）由各點灰度由z映射成v。

第72頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖匹配

步驟：（3）根據(jù)v=G(z),z=G-1(v)

由于v,s有相同的分布，逐一取v=s，求出與r對應(yīng)的z=G-1(s)。第73頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖匹配離散灰度級情況：

由（1）、（2）計算得兩張表，從中選取一對vk,sj，使vk≈sj，并從兩張表中查得對應(yīng)的rj，zk。于是，原始圖象中灰度級為rj的所有象素均映射成灰度級zk。最終得到所期望的圖象。第74頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三實例第75頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三灰度動態(tài)范圍較窄觀察直方圖分布第76頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三對比度拉伸灰度動態(tài)范圍變寬第77頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三灰度動態(tài)范圍變寬觀察直方圖分布第78頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第79頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化灰度動態(tài)范圍擴展第80頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三對比度擴展第81頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三直方圖均衡化第82頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第83頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第84頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第85頁，共92頁，2023年，2月20日，星期三第86頁，共