人教版八年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí)13-4：最短路徑問題

第十三章軸對稱13.4最短路徑問題（練習(xí)）精選練習(xí)基礎(chǔ)篇一、單選題（共10小題）如圖所示，某工廠有三個(gè)住宅區(qū)，A,B,C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點(diǎn)在一條大道上（A,B,C三點(diǎn)在同一直線上），已知AB=300米，BC=600米.為了方便職工上下班，該廠的接送車打算在此路段只設(shè)一個(gè)停靠點(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）ABC點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.AB之間D.BC之間【答案】A【解析】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，由題意設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點(diǎn)間線段最短定理.【詳解】解：①以點(diǎn)A為?？奎c(diǎn)，則所有人的路程的和=15x300+10x900=13500（米），以點(diǎn)B為停靠點(diǎn)，則所有人的路程的和=30x300+10x600=15000（米），以點(diǎn)C為停靠點(diǎn)，則所有人的路程的和=30x900+15x600=36000（米），當(dāng)在AB之間停靠時(shí)，設(shè)?？奎c(diǎn)到A的距離是m,貝（0VmV300）,則所有人的路程的和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m>13500,當(dāng)在BC之間停靠時(shí)，設(shè)?？奎c(diǎn)到B的距離為n，則（0VnV600）,則總路程為30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n>13500.?°?該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在點(diǎn)A；故選：A.【點(diǎn)睛】考查了比較線段的長短，此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，考查知識(shí)點(diǎn)為兩點(diǎn)之間線段最短.已知村莊A和B分別在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN（假定河的兩岸彼此平行，且橋與河岸互相垂直），下列示意圖中，橋的建造位置能使從村莊A經(jīng)橋過河到村莊B的路程最短的是（）【解析】如圖作AI〃MN,且AI=MN,連接BI,由兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最短,???四邊形AMNI為平行四邊形，???AM〃BN,此時(shí)從A點(diǎn)到B點(diǎn)距離最短.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑的問題,運(yùn)用到了兩點(diǎn)之間線段最短,平行四邊形等知識(shí)點(diǎn),解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).某公司員工分別住在A、B、C、D四個(gè)住宅區(qū)，A區(qū)有20人，B區(qū)有15人，C區(qū)有5人，D區(qū)有30人,四個(gè)區(qū)在同一條直線上,位置如圖所示．該公司的接送車打算在此間設(shè)立一個(gè)?？奎c(diǎn),為使所有員工步行到停靠點(diǎn)的路程之和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)置在（）I400*|2曲米.靶0米|ABCDD區(qū)B.A區(qū)C.AB兩區(qū)之間D.BC兩區(qū)之間【答案】D【解析】根據(jù)題意分別計(jì)算?？奎c(diǎn)分別在各點(diǎn)時(shí)員工步行的路程和，選擇最小的即可解答.【詳解】解：???當(dāng)?？奎c(diǎn)在D區(qū)時(shí)，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：20x800+15x400+5x200=23000m；當(dāng)?？奎c(diǎn)在A區(qū)時(shí)，所有員工步行到停靠點(diǎn)路程和是：15x400+5x600+30x800=33000m；當(dāng)停靠點(diǎn)在AB兩區(qū)之間時(shí),設(shè)距離B區(qū)x米，所有員工步行到停靠點(diǎn)路程和是：20x(400-x)+15x+5x(200+x)+30x(400+x)=(30x+21000)m；當(dāng)?？奎c(diǎn)在BC兩區(qū)之間時(shí),設(shè)距離B區(qū)x米，所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：0x(400+x)+15x+5x(200-x)+30x(400-x)=21000m．???當(dāng)?？奎c(diǎn)在BC兩區(qū)之間時(shí),所有員工步行到停靠點(diǎn)路程和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)該在BC兩區(qū)之間.故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了比較線段的長短,正確理解題意是解題的關(guān)鍵．要能把線段的概念在現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行應(yīng)用如圖所示，從點(diǎn)A到點(diǎn)F的最短路線是()Afi0A.AfDfEfFB.AtCtEtFC.AfB—EfFD.無法確定【答案】C【解析】認(rèn)真分析圖形，要求點(diǎn)A到點(diǎn)F的最短路線，其中AB,EF的線路是固定的,則需要確定點(diǎn)B到點(diǎn)E之間的最短路線，由兩點(diǎn)之間，線段最短可得，點(diǎn)B到點(diǎn)E之間BE最短.【詳解】解:由圖中可以看出，從點(diǎn)A到點(diǎn)F，AB，EF是必須經(jīng)過的路線，點(diǎn)B到點(diǎn)E的路線中BE最短,所以點(diǎn)A到點(diǎn)F的最短路線為A-B—E-F,故答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定出點(diǎn)A到點(diǎn)F的最短路線是解題的關(guān)鍵.如圖，從A地到B地有①、②、③三條路線，每條路線的長度分別為1、m、皿則()A.1>m>nB.1=m>nC.mVn=lD.l>n>m【答案】C【解析】分析：根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，認(rèn)真觀察圖形，可知①③都是相當(dāng)于走直角線，故①③相等,②走的是直線，最短.詳解：由題意可得：???從C到B地有①②③條路線可以走，每條路線長分別為1,m,n,則AC+AB=1>BC?°.1=n>m.故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了生活中的平移現(xiàn)象,要求學(xué)生充分利用兩點(diǎn)間線段距離最近.如圖，直線l表示一條河，點(diǎn)A,B表示兩個(gè)村莊，想在直線l的某點(diǎn)P處修建一個(gè)向A,B供水的水站，現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案（圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道），則鋪設(shè)管道一定最短的是（）4*A【答案】A【解析】依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離即可.【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)A,連接BA交直線1于P.根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)A鋪設(shè)的管道最短.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了最短路線問題，這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn).下列命題是真命題的是（）兩點(diǎn)之間的距離是這兩點(diǎn)間的線段墻上固定一根木條，至少需要兩根釘子，其依，據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交和垂直三種同平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的定義、垂線的性質(zhì)即可作出判斷．【詳解】A、兩點(diǎn)之間的距離是這兩點(diǎn)間的線段的長度，故錯(cuò)誤；B、墻上固定一根木條，至少需要兩根釘子，其依據(jù)是“兩點(diǎn)可以確定一條直線”，故錯(cuò)誤；C、同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交兩種，故錯(cuò)誤；D、同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.（2017?淄博市臨淄區(qū)皇城鎮(zhèn)第二中學(xué)初一期中）小李同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A.垂線段最短B.經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線C.經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線D?兩點(diǎn)之間線段最短【答案】D【解析】試題解析：由圖可知，剪掉一部分，相當(dāng)于用一條線段取代了連接原來兩點(diǎn)之間的曲線.根據(jù)線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短，所以剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小.故本題應(yīng)選D.點(diǎn)睛：直線公理是指兩點(diǎn)確定一條直線，而線段公理是指兩點(diǎn)之間線段最短，我們要清楚這兩者的區(qū)別.（2017?淄博市臨淄區(qū)皇城鎮(zhèn)第二中學(xué)初一期中）下列說法正確的是（）A.兩點(diǎn)之間的連線中，直線最短B.若P是線段AB的中點(diǎn)，則AP=BPC.若AP=BP，則P是線段AB的中點(diǎn)D.兩點(diǎn)之間的線段叫做這兩點(diǎn)之間的距離【答案】B【解析】A中，兩點(diǎn)之間線段最短，故A錯(cuò)誤；B中，若P是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到A、B的距離相等，即AP=BP,故B正確；

C中，若AP=BP,C中，若AP=BP,點(diǎn)P不一定是線段AB的中點(diǎn)，如，故C錯(cuò)誤;D中，兩點(diǎn)之間的線段的長度叫做這兩點(diǎn)之間的距離，故D錯(cuò)誤.故選B.10?如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，若要用尺規(guī)在直線1上確定一點(diǎn)P使得AP+BP最短，則下列作圖正確的是（）A.C?A.C?【答案】C【解析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短可知選項(xiàng)C是正確的.故選C?提升篇二、解答題（共3小腿）（2019?蘭州市外國語學(xué)校初一期末）如下圖所示?（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1；（2）在x軸上確定一點(diǎn)P使得軸上確定一點(diǎn)P使得PA+PC最小.【解析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)Al、Bl、C1，然后順次連接即可;（2）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'的位置，然后連接A'B與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P【詳解】解：（1）如圖所示，AA1B1C1即為所求;（2）如圖所示，點(diǎn)P即為所求（有兩種做法：作A或C的對稱點(diǎn)均可）.【點(diǎn)睛】此題考查作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，掌握作圖法則是解題關(guān)鍵（2018?瀘西縣中樞鎮(zhèn)逸圃初級中學(xué)初二期中）作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）如圖，A、B兩村在一條小河MN的同一側(cè)，要在河邊建一水廠向兩村供水.（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，在圖1中用尺規(guī)作圖作出廠址P的位置.（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，在圖2中作出廠址Q的位置.TOC\o"1-5"\h\zB?B,—A,\o"CurrentDocument"爾■NMN圖1圖2【答案】作圖見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)知，作AB的中垂線，交于直線MN于點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)；（2）由三角形的三邊關(guān)系，三角形是任意兩邊之和大于第三邊知，故作出點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)E,連接BE交于直線MN的點(diǎn)Q是所求的點(diǎn).2）如圖所示：點(diǎn)Q即為所求.

邊放一行球，參賽者從起點(diǎn)C起步，跑向邊AB任取一球，再折向D點(diǎn)跑去，將球放入D點(diǎn)的紙箱內(nèi)便完成任務(wù)，完成任務(wù)的時(shí)間最短者獲得勝利，如果邀請你參加，你將跑去選取什么位置上的球？為什么？OOOOOOOO【答案】見解析【解析】試題分析：可過點(diǎn)D