2021屆云南省高三沖刺聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

/20/20/2021屆云南省高三沖刺聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】解出一元二次不等式，利用集合并集的定義求解即可．【詳解】因為或，所以或.故選：.2．已知，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)運算法則及虛部概念得解.【詳解】因為，所以的虛部為.故選:D.3．在等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，利用等差中項分別求得，，再由求解.【詳解】，，又，，.故選：C.4．隨著互聯(lián)網(wǎng)和物流行業(yè)的快速發(fā)展，快遞業(yè)務(wù)已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ町斨胁豢苫蛉钡闹匾M成部分.下圖是2012-2020年我國快遞業(yè)務(wù)量變化情況統(tǒng)計圖，則關(guān)于這年的統(tǒng)計信息，下列說法正確的是（）2012-2020年我國快遞業(yè)務(wù)量變化情況A．這年我國快遞業(yè)務(wù)量有增有減B．這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的中位數(shù)為C．這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的極差未超過D．這年我國快遞業(yè)務(wù)量的平均數(shù)超過億件【答案】D【分析】對于A，由條形圖有變化進行判斷即可；對于B，先對這9年的增速排列，找到第5個數(shù)就是中位數(shù)；對于C，求出極差進行判斷；對于D，從條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務(wù)量遠超過億件，從而可得平均數(shù)超過億件【詳解】由條形圖可知，這年我國快遞業(yè)務(wù)量逐年增加，故錯誤；將各年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速按從小到大排列得：，，，，，，，，，故中位數(shù)為第個數(shù)，故錯誤；這年我國快遞業(yè)務(wù)量同比增速的極差為，故錯誤；由條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務(wù)量遠超過億件，故快遞業(yè)務(wù)量的平均數(shù)超過億件，正確.故選：D.5．已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】注意到，用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】.故選：B.6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的圖象在點處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)數(shù)，由為偶函數(shù)，求得，然后再求得，寫出切線方程.【詳解】由題得，，由為偶函數(shù)，得，所以，所以的圖象在點處的切線的斜率為，所求的切線方程為，即.故選：.7．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】易知為上的增函數(shù)，且為奇函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，又為上的增函數(shù)，所以，即，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由圖象得出，進而求得的解析式.【詳解】由圖可知，，圖象過點，，，，.由圖象過點得，，，，.故選：C.9．一個長方體的平面展開圖如圖所示，其中，，，點為的中點，則將該長方體還原后，與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】換元長方體，取的中點有，則即為異面直線與所成的角，應(yīng)用余弦定理求即可.【詳解】將該長方體還原后的直觀圖如下圖所示，取的中點，易證，∴由圖知，即為異面直線與所成的角，可得，，∴由余弦定理得.故選：B.10．在西方人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，這個比例被稱為黃金分割比例.黃金分割比例符合人類潛意識里的審美觀，給人以強烈的視覺美感，因此在繪畫、設(shè)計、建筑等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.如圖，名畫《蒙娜麗莎的微笑》的整個畫面的主體部分便很好地體現(xiàn)了黃金分割比例，其中矩形、矩形、矩形、矩形、矩形均為黃金矩形.現(xiàn)從圖中隨機取一點，則點恰好落在黃金矩形內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題可設(shè)、、、、、，然后根據(jù)題意得出以及，最后求出矩形的面積以及矩形的面積，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)，，，，，，則，故，，，，則矩形的面積，矩形的面積，故點恰好落在黃金矩形內(nèi)的概率，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查幾何概型的相關(guān)問題的求解，能否求出矩形的面積以及矩形的面積是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，是中檔題.11．已知雙曲線的右頂點、右焦點分別為，，過點的直線與的一條漸近線交于點，直線與的一個交點為，若，且，則的離心率為（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由，變形得到，即，設(shè)，，由，得到B的坐標，然后由點B在雙曲線上求解.【詳解】由已知得，設(shè)，由，得，軸，即，不妨設(shè)點在第一象限，則.設(shè)，由，得，，即，點在雙曲線上，，整理得，，解得或（負值舍去）.故選：D12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個點，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題實際上是求四面體外接球的面積問題.設(shè)出球心，根據(jù)已知條件求出外接球半徑即可.【詳解】由已知得△，△均為等邊三角形.如圖所示，設(shè)球心為，△的中心為，取的中點，連接，，，，，，則，，得平面，且可求得，而，所以.在平面中過點作的垂線，與的延長線交于點，由平面，得，故平面，過點作于點，則四邊形是矩形.則，，，.設(shè)球的半徑為，，則由，，得，，解得，.故三棱錐外接球的表面積.故選：B.【點睛】思路點睛：解決與外接球有關(guān)的問題時，要認真分析圖形，明確球心的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖求解.二、填空題13．已知平面向量，滿足，，，則向量與的夾角的余弦值為________.【答案】【分析】由數(shù)量積公式得出向量與的夾角的余弦值.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，由，可得.故答案為：14．若命題“，使得成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】由題意可知，命題“，使得成立”是真命題，可得出，結(jié)合基本不等式可解得實數(shù)的取值范圍．【詳解】若命題“，使得成立”是假命題，則有“，使得成立”是真命題.即，則，又，當且僅當時取等號，故．故答案為：15．設(shè)橢圓右焦點為，橢圓上的兩點，關(guān)于原點對稱，焦距為，，且，則橢圓的方程為___________.【答案】【分析】由題設(shè)條件結(jié)合橢圓定義及對稱性求出橢圓C在點P或Q處的兩條焦半徑，再由直角三角形建立方程求解而得.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則由橢圓的對稱性可知，，又，解得，由，得，由勾股定理可得，即，解得，而，則，因此，橢圓的標準方程為.答案為：16．已知數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的前項和_____________.【答案】【分析】由遞推關(guān)系求的通項公式，錯位相減法求和.【詳解】由，得，當時，，兩式作差，得，化簡得，當時，，，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故，，，錯位相減得，即.故答案為:.【點睛】方法點睛:若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則數(shù)列前項和用錯位相減法.三、解答題17．新冠疫情防控期間，為保證抗疫物資的質(zhì)量，我國加大了質(zhì)量檢測的力度.某市今年新增了兩家專門生產(chǎn)測溫槍的工廠.質(zhì)檢部門現(xiàn)從這兩家工廠各隨機抽取了把測溫槍，檢測其某項質(zhì)量指標，得到甲、乙兩廠所生產(chǎn)的測溫槍的該項質(zhì)量指標值的頻數(shù)分布表，如下表所示：質(zhì)量指標值甲廠測溫槍的頻數(shù)乙廠測溫槍的頻數(shù)已知每把測溫槍的等級與該項質(zhì)量指標值間的關(guān)系如下表所示：質(zhì)量指標值等級二級一級特級（1）試利用樣本估算總體的思想分別估計甲、乙兩廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的概率；（2）若生產(chǎn)一把二級測溫槍、一級測溫槍、特級測溫槍分別可獲得純利潤元、元、元，且不考慮其他因素，試從平均數(shù)的角度分析哪家工廠生產(chǎn)測溫槍的利潤更高.【答案】（1）0.32，0.3；（2）甲廠生產(chǎn)的測溫槍的利潤更高.【分析】（1）分別計算頻率，用頻率估計概率；（2）分別計算甲與乙的平均數(shù)，再進行比較.【詳解】（1）由表格可得，甲廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的頻數(shù)為.故頻率為，乙廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的頻數(shù)為，故頻率為.由此估計：甲廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的概率為0.32，乙廠生產(chǎn)出來的一把測溫槍為特級測溫槍的概率為0.30.（2）甲廠生產(chǎn)一把測溫槍的平均利潤為（元），乙廠生產(chǎn)一把測溫槍的平均利潤為（元），所以，所以甲廠生產(chǎn)的測溫槍的利潤更高.18．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.（1）求角；（2）若，的外接圓半徑為，試求的邊上的高.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和以及正弦定理，結(jié)合兩角和公式化簡已知條件，可得角；（2）由正弦定理求出，利用余弦定理和三角形面積公式可得的邊上的高．【詳解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，即.又，所以，即.又，所以.（2）由正弦定理得，由余弦定理得，所以，設(shè)的邊上的高為，因為的面積，所以的邊上的高.19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，，，.（1）求證：；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點，要證，只需證；（2）用等體積法（）求點面距.【詳解】（1）取的中點，連接，.，為的中點，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，.又，平面.平面，.又為的中點，所以.（2）平面平面，平面平面，，平面，...，設(shè)點到平面的距離為，則由，得，.即點到平面的距離為.【點睛】思路點睛：立體幾何中，用等體積法求點面距是一種很常見的方法.20．已知焦點為的拋物線經(jīng)過圓的圓心，點是拋物線與圓在第一象限的一個公共點，且.（1）分別求與的值；（2）點與點關(guān)于原點對稱，點，是異于點的拋物線上的兩點，且，，三點共線，直線，分別與軸交于點，，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.【答案】（1），；（2）為定值，2.【分析】（1）將點代入拋物線方程中，可得的值；設(shè)點，由拋物線定義求出點的坐標，代入圓方程可得的值；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出，進而可得定值．【詳解】（1）由已知得拋物線過點，所以，所以.即拋物線的方程為.設(shè)點，則，所以，于是得，即，將點的坐標代入圓的方程，得，所以.（2）設(shè)點，，由已知得，由題意直線斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，由得，由，得，即，因為，異于原點，所以，則，.因為點，在拋物線上，所以，，則，.因為軸，所以，所以的值為定值.21．已知函數(shù).（1）若存在極值，求的取值范圍；（2）當時，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況，分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性與極值，可得的取值范圍；（2）當時，設(shè)，成立，即證明，對函數(shù)求導(dǎo)判斷出單調(diào)性和最值，可得命題成立．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，對任意的，，故在上單調(diào)遞增，無極值；當時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.故在處取得極大值，無極小值.綜上所述，若存在極值，則的取值范圍為.（2）當時，.設(shè)，其定義域為，則證明即可.，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，.有唯一的實根，且，.當時，；當時，，故函數(shù)的最小值為...【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)證明不等式，解決本題的關(guān)鍵點是構(gòu)造，將命題成立，轉(zhuǎn)化為證明，對函數(shù)求導(dǎo)判斷出單調(diào)性和最值，可得命題成立，考查學(xué)生邏輯推理能力和計算能力，屬于中檔題．22．在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.（1）若直線與相切，求的值；（2）已知直線與圓相交于點，，記點的直角坐標為，若，求直線的普通方程.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的直角坐標方程，根據(jù)兩曲線相切，則判別式，從而解得參數(shù)的值；（2）由（1）中聯(lián)立結(jié)果可以得到韋達定理，把題干中的條件轉(zhuǎn)化為，之間的關(guān)系，從而求得的值，并判斷存在性，寫出普通方程.【詳解】（1）由圓的極坐標方程為，則其直角坐標方程為，將代入，得，由，得，又，所以或.（2）記點，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，故，同號，所以，所以，.此時滿足，直線與圓相交于兩點，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，得直線的普通方程為或.【點睛】方法點睛：借助直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標方程聯(lián)立，可以解決曲線位置關(guān)系，到定點的距離關(guān)系及求參數(shù)等的相關(guān)問題.23．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）記的最大值為，若，，且，求證：.【答案】（1）；（2）證