等腰三角形證明 教學(xué)設(shè)計(jì)

等腰三角形（2）教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)目標(biāo):探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明等腰三角形中相等的線(xiàn)段，進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式，體會(huì)證明的必要性；2．能力目標(biāo):①經(jīng)歷“探索－發(fā)現(xiàn)－猜想－證明”的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；②在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問(wèn)題的能力，拓展命題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性；③在圖形的觀(guān)察中，揭示等腰三角形的本質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué).3．情感與價(jià)值觀(guān)要求:①鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；②體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．教學(xué)重、難點(diǎn)經(jīng)歷“探索——發(fā)現(xiàn)一一猜想——證明”的過(guò)程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論．教學(xué)過(guò)程本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提出問(wèn)題，引入新課；第二環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習(xí)；第四環(huán)節(jié)：拓展延伸、探索等邊三角形性質(zhì)；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)及時(shí)鞏固；第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時(shí)小結(jié).第一環(huán)節(jié)：提出問(wèn)題，引入新課活動(dòng)內(nèi)容：在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題：在等腰三角形中作出一些線(xiàn)段(如角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線(xiàn)段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?第二環(huán)節(jié)：自主探究活動(dòng)內(nèi)容：在等腰三角形中自主作出一些線(xiàn)段(如角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高等)，觀(guān)察其中有哪些相等的線(xiàn)段，并嘗試給出證明.通過(guò)學(xué)生的自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀(guān)猜測(cè)、測(cè)量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出：等腰三角形兩個(gè)底角的平分線(xiàn)相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線(xiàn)相等．并對(duì)這些命題給予多樣的證明.如對(duì)于“等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等”，學(xué)生得到了下面的證明方法：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分線(xiàn)．求證：BD=CE．證法1：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對(duì)等角)．∵∠1=EQ\F(1,2)∠ABC，∠2=EQ\F(1,2)∠ABC，∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)證法2：證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠3=∠4．在△ABC和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．在證明過(guò)程中，學(xué)生思路一般還較為清楚，但畢竟嚴(yán)格證明表述經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，因此，教學(xué)中教師應(yīng)注意對(duì)證明規(guī)范提出一定的要求，因此，注意請(qǐng)學(xué)生板書(shū)其中部分證明過(guò)程，借助課件展示部分證明過(guò)程；可能部分學(xué)生還有一些困難，注意對(duì)有困難的學(xué)生給予幫助和指導(dǎo).第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題變式練習(xí)活動(dòng)內(nèi)容：提請(qǐng)學(xué)生思考，除了角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高等特殊的線(xiàn)段外，還可以有哪些線(xiàn)段相等？并在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，研究課本“議一議”：在課本圖1—4的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=EQEQ\F(1,3)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,4)∠ACB呢?由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論?(2)如果AD=EQ\F(1,2)AC，AE=EQ\F(1,2)AB，那么BD=CE嗎?如果AD=EQEQ\F(1,3)AC，AE=EQEQ\F(1,3)AB呢?由此你得到什么結(jié)論?下面是學(xué)生的課堂表現(xiàn)：[生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=EQ\F(1,3)∠ABC，那么BD=CE．這和證明等腰三角形兩底角的角平分線(xiàn)相等類(lèi)似．證明如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等邊對(duì)等角)．又∵∠ABD=EQ\F(1,3)∠ABC,∴∠ACE=EQ\F(1,3)∠ACB,∴∠ABD=∠ACE．在△BDC和△CEB中，∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)[生]如果在△ABC中，AB=AC,∠ABD=EQ\F(1,4)∠ABC，∠ACE=∠EQ\F(1,4)∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代換便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC與△CEB全等的條件就能滿(mǎn)足，也就能得到BD=CE．由此我們可以發(fā)現(xiàn)：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠EQ\F(1,n)∠ABC，∠ACE=EQ\F(1,n)∠ACB，就一定有BD=CE成立．[生]也可以更直接地說(shuō)：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．[師]這兩位同學(xué)都由特殊結(jié)論猜想出了一般結(jié)論．請(qǐng)同學(xué)們把一般結(jié)論的證明過(guò)程完整地書(shū)寫(xiě)出來(lái)．(教師可巡視指導(dǎo))下面我們來(lái)討論第(2)問(wèn)，請(qǐng)小組代表發(fā)言．[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=EQ\F(1,2)AC，AE=EQ\F(1,2)AB，那么BD=CE；如果AD=EQ\F(1,3)AC，AE=EQ\F(1,3)AB，那么BD=CE．由此我們得到了一個(gè)更一般的結(jié)論：在△ABC中，AB=AC，AD=EQ\F(1,n)AC，AE=EQ\F(1,n)AB，那么BD=CE．證明如下：∵AB=AC．又∵AD=EQ\F(1,n)AC，AE=EQ\F(1,n)AB，∴AD=AE．在△ADB和△AEC中，AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADB≌△AEC(SAS)．∴BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．[生]一般結(jié)論也可更簡(jiǎn)潔地?cái)⑹鰹椋涸凇鰽BC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．[師]這里的兩個(gè)問(wèn)題都是由特殊結(jié)論得出更一般的結(jié)論，這是我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的一種思想方法，它會(huì)使我們得到意想不到的效果．例如通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中，相等的線(xiàn)段有無(wú)數(shù)組．這和等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形這個(gè)性質(zhì)是密不可分的．第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)活動(dòng)內(nèi)容：提請(qǐng)學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.已知：如圖，ΔABC中，AB=BC=AC．求證：∠A=∠B=∠C=60°.證明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代換）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)及時(shí)鞏固活動(dòng)內(nèi)容：在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨(dú)立完成以下練習(xí).如圖,已知△ABC和△BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD第六環(huán)節(jié)：探討收獲課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們通過(guò)觀(guān)察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線(xiàn)段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，教學(xué)反思本節(jié)課關(guān)注了問(wèn)題的變式與拓廣，實(shí)際上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了提