初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念

高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程——一元微積分學大學數(shù)學（一）第二講初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!一、基本初等函數(shù)大家在中學就已熟悉它們了！初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!以下六種簡單函數(shù)稱為基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)

y=C

(C

為常數(shù)

)2.冪函數(shù)y=x

(

R為常數(shù)

)3.指數(shù)函數(shù)y=ax

(a>0,a1)

初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!二、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合運算而成的函數(shù),稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!一般說來,分段函數(shù)不是初等函數(shù).但有個別分段函數(shù)例外，例如因為它可以改寫為初等函數(shù)的形式.初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!六、雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)學習雙曲函數(shù)時,注意與中學學習過的三角函數(shù)進行比較,找出它們之間有關定義及計算公式的相同處和不同處。初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!雙曲正弦、雙曲余弦的圖形懸鏈線初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!雙曲余弦函數(shù)的定義域為(,)雙曲余弦函數(shù)在(,0)內(nèi)單調(diào)減少在[0,)內(nèi)單調(diào)增加雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!雙曲正切函數(shù)定義域為(,)雙曲正切函數(shù)是單調(diào)增加的且有界|thx|1雙曲正切函數(shù)是奇函數(shù)初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!(1)反雙曲正弦函數(shù)習慣上寫成x

(,)。雙曲正弦函數(shù)y=shx是(,)到(,)的一一對應,故它的反函數(shù)存在,通過初等的代數(shù)運算可得3.反雙曲函數(shù)初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!y[1,)通常取y[1,)。習慣上記為x[1,)。并稱該支反函數(shù)為反雙曲余弦的主支。通常所說的反雙曲余弦函數(shù)即指此主支。的反函數(shù),記為初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!第二章極限本章學習要求：初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!稱為一個數(shù)列,

記為{xn}.1.定義數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的一項xn=f(n)

稱為數(shù)列的通項或一般項一、數(shù)列數(shù)列也稱為序列初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!…xnx2x1x0x3…??????????初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!3.數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性有界性初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!單調(diào)減少不增加的初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!(2)數(shù)列的有界性回想一下前面講過的函數(shù)的有界性的情形我學過嗎？初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!數(shù)列的有界性的定義如何定義數(shù)列無界？有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標系中的圖形會是什么樣子？想想：初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!例2觀察例1中的幾個數(shù)列：…xnx2x1x0x3…??????????初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!x1M3x1xx4x2??????????0初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!xn0242nx1x2……x???????????????……有些數(shù)列雖然無界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!一個數(shù)列有界(有上界,有下界),則必有無窮多個界(上界,下界).初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!例3證分析初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!極限描述的是變量的變化趨勢.討論數(shù)列當無限增大時的變化趨勢.容易看出:當無限增大時,x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*??????????????????????????初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!的圖上看,從數(shù)列x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*??????????????????????????一般化表示：n時,xna.初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!由

N存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在.

n>N描述

n.通過目標不等式來尋找N

>0,N=N().不等式稱為目標不等式.初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!例4001初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!例5證故取則n>N時,由極限的定義,得初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!例7證通常說成：常數(shù)的極限等于其自身.初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!例9證逆命題成立嗎？初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!4.對數(shù)函數(shù)y=logax

(a>0,a1)5.三角函數(shù)

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函數(shù)y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

y=arcsecx

y=arccscx詳情見書初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!例如都是初等函數(shù).初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!冪指函數(shù)是否為初等函數(shù)？它是由與構(gòu)成的復合函數(shù),故該冪指函數(shù)是一個初等函數(shù).例解初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!1.雙曲函數(shù)的定義及性質(zhì)雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切雙曲余切雙曲正割雙曲余割初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!雙曲正弦函數(shù)的定義域為(,)雙曲正弦函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增加的雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!雙曲正切、雙曲余切的圖形y=cthxy=thx初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!2.部分公式與三角函數(shù)的公式進行比較初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!(2)反雙曲余弦函數(shù)y

[1,)。雙曲余弦函數(shù)是到上的映射,但不是一一對應。由解得雙曲余弦的反函數(shù)。這里有兩支,單獨來看,這兩支分別都可作為初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!類似于上面的作法,可以得到arthx,arcthx,arsechx,arcschx

的表達式.初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列二、數(shù)列極限的定義三、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列的收斂準則初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!介紹幾個數(shù)列xn0242nx1x2……x???????????????……例1初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!01–1x所有的奇數(shù)項所有的偶數(shù)項初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!1xnx3x2x1x0………??????????…初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!(1)數(shù)列的單調(diào)性單調(diào)增加不減少的數(shù)列單調(diào)減少的情形怎么定義？初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!嚴格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N從數(shù)軸上看,有界數(shù)數(shù)列{xn}

的全部點都落在某區(qū)間

(－M*,M*)中.()x0M*－M*??????????初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!01–1x初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!1xnx3x2x1x0………??????????…初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!若xnM,MR,

則稱

{

xn}有上界.若xnm,mR，

則稱

{

xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!現(xiàn)在來討論如何定義數(shù)列的無界性：首先看有界性定義的關鍵所在對所有的初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!二、數(shù)列的極限001初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!“n無限增大”

記為

n.此時稱數(shù)列當n時以零為極限,記為：這就是該數(shù)列的變化趨勢初等函數(shù)及數(shù)列極限的概念共62頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!預先任意給定一個正數(shù)>0,不論它的值多么小,當n無限增大時,

數(shù)列

{xn