新講與練高中數(shù)學4（A版選擇性必修第一冊）

第一章

空間向■與立體幾何

1.1空間向量及其運算

1.1.1空間向量及其線性運算

I課標解讀H.了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示和字母表示2掌握空間向量的加減運算及

其運算律3掌握空間向量的數(shù)乘運算的定義和運算律.

［素養(yǎng)目標］水平一：1.空間向量加減運算及其幾何意義.（數(shù)學運算）2.應用共線定理與共面定理解決共

線問題與共面問題.（數(shù)學抽象）

水平二：1.向量加減運算由平面向空間的推廣.（直觀想象）2.證明線面平行與面面平行.（數(shù)學建模）

?課前篇?自主預習?/

［知識梳理］

知識點一空間向■的有關概念

1.定義：在空間，把具有大小和方面的量叫做空間向量.

2.長度：空間向量的大小叫做空間向量的長度或模一

3.表示法

（1）幾何表示法：空間向量用有向線段表示.

（2）字母表示法：用字母表示，若向量。的起點是4終點是B,則向量。也可以記作A8,其模記為⑷

或依例.

4.幾類特殊向量

特殊向量定義表示法

零向量長度為的向量0

|。|=1或

單位向量模為L的向量

|AB|=1

與。長度相笠而方向相區(qū)的向量，稱為

相反向量—a

a的相反向量

a=b或

相等向量方向蛔且模相等的向量

AB=CD

知識點二空間向量的線性運算

1.空間向量的加減運算

加法

空間向量OB=OA+AB=a+b

的運算

減法

CA=OA-OC=a~b

加法（1）交換律：a+b=b+a：

運算律（2）結合律：（a+b）+c=a+S+c）.

2.空間向量的數(shù)乘運算

與平面向量一樣，實數(shù)2與空間向

定義量a的乘積瓶仍然是一個向量,稱

為向量的數(shù)乘運算

尢＞0〃與向量。的方向相同

幾何/.a的長度是a的長度

2Vo2a與向量。的方向相反

意義的四倍

A=0/.a=0,其方向是任意的

2m+力=

分配律

運算律ka+kb

結合律A(/za)=(2//)?

知識點三共線、共面定理

共線（平行）向量共面向量

定義如果表示若干空間向量的有向線段所平行于同一個平而的向量,叫做共面

在的直線互相平行或重:合,那么這些向量

向量叫做共線向量或平行向量

若兩個向量。，b不共線，則向量p與

充要對于空間任意兩個向量。，b（bWO）,a

向量。，8共面的充要條件是存在唯一

條件〃b的充要條件是存在實數(shù)人使四=勸

的有序實數(shù)對（x，y）,使p=xn+）辦

一,答一答

1.（知識點一）向量可以用有向線段表示，那么有向線段是向量嗎？

提示：不是.雖然有向線段既有大小又有方向，但它不是一個量.

2.（知識點一）你能說出平面向量與空間向量的區(qū)別與聯(lián)系嗎？

提示：（1）區(qū)別：平面向量研究的是二維平面的向量，空間向量研究的是三維空間的向量.

（2）聯(lián)系：空間向量的定義、表示方法及零向量、單位向量、相反向量和相等向量的概念都與平面向量

相同.

3.（知識點二）類比平面向量，空間向量的數(shù)乘運算滿足〃￡R）,對嗎？

提示：正確.類比平面向量的運算律可知.

二、練一練

1.如圖，在正方體ABCD-ABGDi中，給出下列各式：

①(A8+80+CG；

②(A4+AQ)+QQ；

③(A8+OO0+3G；

?(ADi+CB)+AC.

其中運算結果為向量AG的共有(D)

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：?.?①(A8+8C)+CG=AC+CG=AG:

②(44+AiOj)+/)iG=ADI+DICI=ACI：

③(A8+QDi)+BiG=(AB+BBi)+&G=A8i+B]G=ACi：

?(ADi+CBHAC=AD+DDi+DA+AC=AC+DDi=AC+CCi=ACt.

?,.以上4個算式運算的結果都是向量AG,故選D.

2.下列關于空間向量的說法正確的是（D）

A.若向量m6平行，則如b所在直線平行

B.若向量°,力所在的直線是異面直線，則。，力不共面

C.若A,B,C,￡＞四點不共面，則向量A3,CO不共面

D.若A,B,C,。四點不共面，則向量AB,AC,AD不共面

解析：對于A,若向量出b平行,則跖b所在直線平行或重合，故A錯誤；對于B,若向量用b所

在的直線是異面直線，則a,6有可能共面，故B錯誤：對于C,若A,B,C,Q四點不共面，則向量AB,

。。有可能共面，故C錯誤；對于D,若向量A3,AC,A。共面，則A,B,C,及四點共面，故D正確，故

選D.

3.給出下列命題：

①將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓；

②若空間向量。，b滿足⑷=網，則。=力；

③若空間向量機，〃，p滿足n=p,則m=p：

④空間中任意兩個單位向量必相等；

⑤零向量沒有方向.

其中假命題的個數(shù)是（D）

A.1B.2

C.3D.4

解析：①將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個球面，故錯誤；②若空間

向量明力滿足悶=制，但兩個向量的方向是否一致不確定，故a=b不一定成立，故錯誤：③若空間向量m,

n,p滿足m=n,n=p,則m=p,正確；④空間中任意兩個單位向量模必相等，但方向是否一致不確定,

故錯誤：⑤零向量的方向是任意的，但不是沒有方向，故錯誤.綜上可得，錯誤的命題有4個.故選D.

類型一通欄空間向■的有關概念

［例1］下列說法中正確的是()

A.若⑷=|例，則a，6的長度相同，方向相同或相反

B.若向量。是向量b的相反向量，則同=步|

C.空間向量的減法滿足結合律

D.在四邊形A8c。中，?定有A8+AO=AC

［思路分析］利用空間向量的有關概念進行判斷.

［解析］|。|=步|,說明。與b模相等，但方向不確定；對于〃的相反向量》=一。，故|。|=步|,從而B正

確：只定義加法具有結合律，減法不具有結合律；一般的四邊形不具有AB+4O=4C,只有在平行四邊形中

才能成立.故選B.

I答案］B

|KZKinE>

理解空間向量相關概念的注意點

(1)單位向量、零向量都只規(guī)定了向量的模而沒有規(guī)定方向.需注意單位向量有無數(shù)個，它們的方向并不

確定，因此，它們不一定相等；零向量也有無數(shù)個，它們的方向是任意的，但規(guī)定所有的零向量都相等.

(2)和平面向量一樣，若兩個空間向量相等，則它們的方向相同，且模相等，但起點、終點未必相同.

(3)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.因此，關于兩個向量的比較，我們僅研究二者是否相

等.

［變式訓練1］(1)已知A,B,C,。為四個不同點，且A8+8C+a)+D4=0,則(D)

A.4,B,C,。四點必共面

B.A,B,C,及四點構成一個空間四邊形

C.A,B,C,。四點必共線

D.A,B,C,及四點的位置無法確定

(2)(多選題)卜一列命題中正確的是(ACD)

A.如果a,b是兩個單位向量，則⑷=例

B.兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同

C.若a,b,c為非零向量，且a〃兒b//c,則a〃c

D.空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內

解析：（1）?；AB+BC+CO+OA=0,

：.AB+BC+CD+DA=(AB+BC)+(CD+DA)=AC+CA=O,

???A,B,C,。四點的位置無法確定，故選D.

(2)對于A:由單位向量的定義即得|。|=|力|=1,故A正確：對于B：共線不一定同向，故B錯；對于C:

顯然正確；對于D:在空間任取一點，過此點引兩個與已知非零向量相等的向量，而這兩個向量所在的直

線相交于此點，兩條相交直線確定一個平面，所以兩個非零向量可以平移到同一平面內，所以D正確.故

選ACD.

類型二空間向量的線性運算

［例2］(1)如下圖，已知正方體48CQ-A'B'CD',點E是上底而A'B'C。’的中心，求下列

各式中x,y,z的值.

?BDf=xAD+yAB+zAA,；

<^)AE=xADA-yAB+zAA,.

(2)在正方體A8CD-A山iGDi中，化簡OA-DB+BC-BIB+ABI-AIA

I思路分析］(1)利用空間向量的線性運算法則進行運算，用AD,AB,AA'分別表示BD',AE即可確

定x,y,z的值.

(2)空間向量的線性運算規(guī)則與平面向量的線性運算相同.

［解］⑴①=BD+DD'=BA+BC+。。'=-AB+AD-^AA,,

又8。'=xAD+yAB+zAA',/.x=l,y=~l,z=1.

?^AE=AA,+A‘E=AA'+%C=

AA'+；(A，B'+A，D')=AA'+%，B'+%D'=

11

^AD-^-^AB+AA1,

(2)如圖所示，OA-OB+8C-BB+A/i-A山=(OA—O5)+(8iC-8山)+(48—AiB)=8A+3C+8Bi

=BD+BB尸BDi.

^H2EEUE)?,

解決空間向量線性運算問題的方法及技巧

進行向量的線性運算，實質上是在正確運用數(shù)乘運算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運

用平行四邊形法則或三角形法則求和.運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中.

［變式訓練2］(1)如圖，在三棱錐O-ABC中，。是3C的中點，若OA=a,OB=b,OC=c,則AD等

于(C)

A.-a+b+c

B.-a+b-c

C.-a+/+%

CL1

D.-a-jb-zc

(2)在平行六面體A5CO-A山iCQi中，Z?C+DD|-AF=(A)

N.BDiB.DiB

C.DBiDBD

—?.—?-*—*—?-*—*—?—?—?］—?

解析：⑴因為。為8c的中點，所以AD斗A8+AC),5LAB=0B-0A,AC=OC-OA,所以AO=京。B

一OA)+(0C-O4)］=-OA+go8+；OC=-a+)+；c.

故選C.

(2)在平行六面體A8CQ-48ICQI中，8C+OQ-AB=A。-=8。+/)。=8出.故選A.

類型三空間向量的共線問題

［例3］如圖所示，在正方體ABCQ-A］8iCQi中，E在4G上，且AiE=2E。，戶在對角線4C上，且

f2f

AiF/FC.

求證：E,F,8三點共線.

［思路分析］欲證E,F,B三點共線，只需證明存在實數(shù)I,使得EF=IEB即可.

［證明I設A8=a,AD=b,AAi=c.

f-f2f

VAiE=2EDi,AiF=^FC,

f2ff2f

??A\E='^A\D\,A］F=^A\C.

f22f2ff

.,.A］E=^AD=yb,AiF=^(AC—AAi)=

2f222

5(A8+A。-AAi)=鏟+可一5c.

：.EF=AiF-AiE=

?422/2

方一缶一手力量

ffff22

又￡B=￡4I+AM+A5=-予一c+a=a—c,

???￡尸=|E①所以E,F,8三點共線..

判斷向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)九使成立，同時要充分運用空間向量的運算法則，

結合空間圖形，化簡得出。=勸，從而得出。〃從

［變式訓練3J已知P為空間中任意一點，A,B,C,。四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且

f2ff1f

PA=-jPB-xPC^BD,則實數(shù)x的值為(B)

Alb-4

解析：TP為空間中任意一點，A、B、C、。四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，

f2ffL

且布=§P3-xPC+渣O,

二用=刎一血+必一￡)=

ff1f

■^PB-xPC+^PD,

.,.1—x+j=l,解得實數(shù).r=—

類型四空間向■的共面問題

［例4］已知A,B,C三點不共線，點。是平面48c外的任意一點，若點尸分別滿足下列關系：

(1)OA+2O3=6OP—3OC；

(2)OP+OC=4OA-OB.

試判斷點P是否與點A，B,C共面.

［思路分析］先將條件式變形，用共面向量定理進行判斷：也可以化成OP=xOA+yOB+zOC的形式,

再判斷是否共面.

——?—*—?—?-*—*—?—?-*—?—*—?

|解|方法-：(1)?；30尸一3OC=OA+2O8—30?=(OA-OP)+(2O8-20P),，3cp=B4+2P8,即

=-2PB~3PC.

故布,PB,PC共面,

又附，PB,PC過同一點、P,從而產與點4,B,C共面.

(2)談OP=OA+xAB+yAC(x,yGR),

則OA+.MB+yAC+OC=4OA-OB,

/.OA+M08—OA)+y(OC-OA)+OC=4OA-OB,

—4)OA+(l+x)O3+(l+y)OC=0,

由題意知OA,OB,OC不共面，所以招y滿足：

I-x-y-4=0,

，l+x=0,顯然此方程組無解，

.l+y=0,

故點尸與點A,B,C不共面.

方法二：(1)由題意知，

f1f1f1f

。。=5。4+衿+］。。，

V^+|+1=1,故點P與點A,B,C共面.

(2)VOP=4OA-OB-OC,而4一1-1=2/1,

故點P與點A,B,C不共面.

1.證明向量共面，可以利用共面向量的充要條件，也可直接利用定義，通過線面平行或直線在平面內

進行證明.

2.共面向量所在的直線不一定共面，只有這些向量都過同一點時向量所在的直線才共面(向量的起點、

終點共面).

［變式訓練4］(1)在四面體OABC中，空間的一點M滿足0知=3”+t08+20。，若MA,MB,MC共

面，則2=(B)

(2)如圖所示，空間四面體A8CO中，E,〃分別是AB,A力的中點，F(xiàn),G分別在邊。8,CD上,且?！?/p>

=jCB,CG=jCD,求證：四邊形為梯形.

解析：⑴由M4,MB,MC共面知：；+上+2=1,解得/.=；,故選B.

(2)證明：,:EH=AH-AE,BD=AD~ABt

又AH$D,AE=^ABf:?EH=，D,①

*：FG=CG-CF,BD=CD-CB,

f2-*—2f

又CG=§CO,CF=QCB,

f2ff2f

???〃G=3(CO-C8)=?8。.②

f3fffff

由①(D得，EH/FG,：.EH//FG,且|E〃|#|FG|,

???點尸不在直線E”上，:,EH〃FG且EH手FG,

；?四邊形EFG”為梯形.

1.在△ABC中，。是線段A8上靠近8的三等分點，E是線段AC的中點，BE與CD交于F點,若4”

=aAB+hAC,則。，〃的值分別為(A)

11「11-11QI

AA.,BR2%，5D.,3

解析：取AO的中點為G,連接GE由已知得GE〃CO,所以。F〃EG,又因為。是G8的中點，所以

F是BE的中點、,所以/4/=；043+人￡）=348+%0]=）8+%。.?'.。=；,.故選A.

2.如圖，在三棱柱43C-A/Q中，M為A￡的中點，若A8=a,A4尸c,BC=b,則創(chuàng)/可表示為（A）

A.—5+%+c

B.；a+3+c

C.-%—1+c

口.%-1+c

解析：BM=34+A4+4M=-AB+A4+yC=

—一1ff1f1f

一AB+A4I+5（BC-34）=一灑3+/C+A4i=

故選A*

3.（多選題）卜列條件中，點尸與A,B,C三點一定共面的是（AB）

12

--

33

11i

B.OP=§OA+gO8+§OC

C.OP=OA+O3+OC

D.OP+OA+OB+OC=Q

解析：對于A：VOC-OP=^OA-OP）+l（OB-OP）,

ff1-*12f2f

:.OC-OP=T，OA-^OP+^OB-^OP,

2f1-f]f2ff

：.^OP+^OP-OP=^OA+^OB-OC=0,

一

一

一

—2

故

"-帆+-A

33OBB,C共線，故P,A,B,C共面;

或由PC=：%+|P8得：PA,PB,PC為共面向量，故尸，A,B,C共面：對于B:|+|+|=1,故產，

A,B,C共面；對于C,D,顯然不滿足，故C,D錯誤.故選AB.

4.已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O,有OM=xOA+go8+/c,則x的值為;.

-*-1f]f

解析：???點M在平面A8C內，并且對空間任意一點O,有0A/=x04+w05+）0C,

.■?x+：+；=l,解得*=；.

5.如圖，已知三棱錐A-8CZ）中，向量A8=MAC=b,AD=c,若M為BC的中點，G為△BCO的重

心，試用a,b,c表示下列向量：

（\）DM；（2）AG.

解：（1）：M為BC的中點，

f1f1-1ff1ff

???OM=/3+/C=5（A8-A￡＞）+Z（AC-A￡＞）=

一f一

2AB+^C-AD,

:向量48=%AC=b,AD=c,.,.OM=%+；力

2

(2)YG為△BCD的重心，［DG=^DM,

~*~*~*~*2~211

.??AG=4￡)+Z)G=AO+wDM=c+y(^a+^b—c)

=；a+*+；c=g(a+/>+c),

故AG=；(a+8+c).

'/自我檢測：請完成課時作業(yè)I

?展視野?思維升華?/

易錯易混辨析一平面向?與空間向量混淆、向量與直線關系混淆

易錯點一平面向量的共線與空間的共面的判定的混淆

［典例I］已知非零向量右,?2不共線,如果A8=ei+e2,AC=2ei+8?2,A￡>=3ei—3ez?那么下列結論

正確的是（）

A.A,B,C,。四點共線B.A,B,C,。四點共面

C.A,B,C,。四點不共而D.無法確定

［錯解］:A8=ei+e2,AC+AO=5ei+5C2=5A3,

??.A,B,C,。四點共線.故選A.

fIfIffff

［正解|由錯解知A8=0C+gA力，則A8,AC,AO共面.從而A,B,C,。四點共面.

I答案IB

【易錯辨析］在平面向量中，若四=助（6/0）,則。與方共線；在空間向量中，若。=助+”力與。不共

線），則a,b,c共面.

易錯點二向量與直線關系混淆

I典例2］下列命題是真命題的是_______（填序號）.

①若A,B,C,。在一條直線上，則A3與8是共線向量；

②若A,B,C,。不在一條直線上，則AB與8不是共線向量；

③向量A8與8是共線向量，則A,B,C,。四點必在一條直線上；

④向量AB與4c是共線向量，則A,B,C三點必在一條直線上.

［錯解I①②③④

［正解I①為真命題，A,B,C,。在一條直線上，向量AB,CO的方向相同或相反，因此AB與CD是共

線向量：②為假命題，A,B,C,D不在一條直線上，則A8,。。的方向不確定，不能判斷A8與。是否為

共線向量；③為假命題，因為AB,CD兩個向量所在的直線可能沒有公共點，所以四點不一定在一條直線上；

④為真命題，因為AB,AC兩個向量所在的直線有公共點A,且A8與AC是共線向量，所以三點共線.

I答案］①④

［易錯探因］本題易混淆向量與直線這兩個概念，從而認為②③也是真命題.

［易錯辨析］注意辨析平行直線與平行向量：平行向量所在的直線既可以平行也可以重合：平行直線一

定不重合.因此，兩條平行宜線的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直線若不重合，則一

定是平行直線.

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算

I課標解讀J1.掌握空間向量夾角的概念及表示方法，掌握兩個向量的數(shù)量積概念、性質和計算方法及運

算規(guī)律.2.會用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中一些簡單的問題.

［素養(yǎng)目標］水平一：空間向量的數(shù)量積運算.（數(shù)學運算）

水平二：利用空間向量解決夾角、距離等問題.(數(shù)學運算)(數(shù)學建模)

?課前篇?自主預習?/

［知識梳理］

知識點一空間向量的夾角

1.定義：

(1)條件：°,方是空間的兩個非零向量.

(2)作法：在空間任取一點O,作OA=a,OB=b.

(3)結論：N403叫做向量m〃的夾角，記作Q,力〉.

2.范圍：

Q,b)e(0,n］,其中，

(1)當(a,b)=0時，。與b的方向相同.

(2)當{a,b)="時,?與力的方向相反.

(3)當Q,b>=.時,a與b互相垂直,記作a_Lb.

知識點二空間向■的數(shù)?積

1.空間向量的數(shù)量積

⑴定義：

已知兩個非零向量a，b,則⑷步|cos(a,b}叫做a,方的數(shù)量積，記作aZ>.即。山=|a||b|cos(a,b).

(2)運算律:

①結合律：(⑷力癡3”)；

②交換律：ab=bat

③分配律：a［b~\-c)=ab-\-ac.

2.空間向量數(shù)量積的性質

序號性質

(1)a-e=|a|cos〈a,e〉(其中e為單位向量)

(2)若a,b為非零向量，則0_1_力<~>08=0

(3)aa=\af或悶

(4)若a，分為非零向量，則cos(a,b}

(5)|eb|W|a||b|(當且僅當a,b共線時等號成立)

知識點三利用數(shù)?積解決立體幾何問題

空間向量數(shù)量積的性質可以看作其定義的引申和拓展，空間向量數(shù)量積與向量的模和夾角有關，可以

以它為工具，解決立體幾何中與夾角和距離有關的問題.

常有以下應用：

(1)求空間兩點間的距離或線段長度轉化為求相應向量的模：

(2)求空間兩條直線的夾角轉化為求兩條直線方向向量的夾角，但要注意空間兩條直線的夾角與方向向

量的夾角的范圍限制：

(3)和垂直相關的問題可轉化為向量的數(shù)量積為零的相關問題.

［問題初探］

一、答一答

1.(知識點一)若mb是空間的兩個非零向量，則(一小b)=<a,-b)=(a,b),對嗎？

提示：不對...?一0與a,一。與b分別互為相反向量，

/.(-a,b)=(a,—b)=n-(a,b〉.對空間任意兩個向量a,b,有：

①〈a,b)=(b,a)=<—a,—b)=<—b,—a>:

②〈〃，-b)=<—a,b>=n~(a,b}\

③〈AB,AC}={BA,CA)=n~〈AB,CA>.

2.(知識點二)類比平面向量，你能說出ab的幾何意義嗎？

提示：數(shù)量積。力等于。的長度⑷與b在a的方向上的投影步|?cos。的乘積.

3.(知識點二)對于向量a,b,c,由能得到8=c嗎？

提示：不能，若。，b,c是非零向量，則。心=。<得到°?(力一c)=0,即可能有。c)成立.

4.(知識點二)為什么(ab)c=a(bc)不一定成立？

提示：由定義得(a?6)c=(|a||同cos〈a,b})c,即(a?b)c=2］C：fl(ftc)=a(|d||c|cos(b,c〉),即a(b?c)=%2。,

因此，(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(b-c)表示一個與a共線的向量，而。與c不一定共線，所以3心)c

=a("c)不一定成立.

二、練一練

1.已知。=3p—2q,6=〃+g,p和q是相互垂直的單位向量，貝ija?b=(A)

A.1B.2

C.3D.4

解析：'?'p-Lg且|pl=lql=1,?'.a?Z>=(3p—2q)?(p+g)=3p2+p.q—2爐=3+0—2=1.故選A.

2.若向量。與b滿足⑷=1,步|=2且。與b的夾角為小則“6=1.

3.已知|a|=3,|b|=2,ab=-3,則a,h=~y.

?課堂篇?互動學習?/

類型一空間向量數(shù)■積的計算問題

M1］已知長方體ABCCMiBCDi中,AB=AA}=2,4)=4,￡為側面AA出山的中心,F為4。的

中點.求下列向量的數(shù)量積：

(l)fiCEDi：(2)8FA8i：(3)EFFCi.

［思路分析］用AB,AD,AAi表示相關向量，由AB,AD,AAi間的垂直關系及其模計和數(shù)量積.

|解|如圖所示，連接AAi,設A3=a,AD=b,AA\=c,則⑷=|c|=2,網=4,ab=bc=ca=0.

(I=BC(E4+AQi)=

a)+b=|d|2=42=16.

(2)8月AS=(84]+4FX48+A4)=

(^c-a4-^Z>!-(a+c)=k|2—|a|2=22—22=0.

(3)EF尸G=(E4+42?(FG+GG)=

法。-㈤+料出+小

/-a+b+c)每+a|=_；|aF+，F(xiàn)=

-^X22+|X42=2.

|HEEIXSE>?—-

在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已知模和夾角的

向量的組合形式；其次利用向量的運算律將數(shù)量枳展開，轉化為己知模和夾角的向量的數(shù)量枳；最后利用

數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關系或者特殊角.

［變式訓練1］在四而體。ABC中，棱。A,OB,OC兩兩垂直，且04=1,03=2,0C=3,G為4

f——f14

48c的重心，則。G(QA+08+0O="y.

&…「--------------------「0A+08+0C

解析：由已知O4OB=OAOC=O8OC=0,且0G=-------------------，

故OG(OA+O8+OC)=；(O4+OB+OC)2=

|(|OA|2+|OB|2+|OC|2)=|(l+44-9)=y.

類型二利用數(shù)量積求夾角

［例2］如圖，在直三棱柱A5GAi囪G中，NA3C=90。，AB=BC=\,AAx=\［2,求異面直線34與

AC所成角的余弦值.

［思路分析］求異面直線BAi與AC所成的角，可轉化為求向量BAi與AC所成的角，因此可先求BArAC,

再求|BA1|,|AC|,最后用夾角公式求得，但要注意兩直線夾角與兩向量夾角的區(qū)別.

|解|因為BAi=BA+A4=5A+8S,

AC=BC-BA,且囪ZM=83r8C=0,

—?—>■—*—*—?――*—*—?-?-*—*—?

所以84AC=(BA+83)(3C-BA)=3A8C-3A2+88r8C-88r8A=-L

又|AQ=啦，|^I|=VT+2=V3.

“，/二二、BA\AC-1A/6

所以cos(BA\,AC)=——Z7"=礪=—V，

IBAiHAQ

則異面直線BA］與AC所成角的余弦值為卓.

0

U!■,,?

利用向量數(shù)量積求夾角問題的思路

(1)求兩個向量的夾角有兩種方法：①結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意

向量夾角的范圍；②先求再利用公式cos(a,b)=\i(ab

同步I)求cos(a,b)f最后確定(。，b).

(2)我們也可以用這種方法求兩條異面直線所成的角，步驟如下：

①根據題設條件在所求的兩條異面直線上分別取兩個向量(即直線的方向向量)：

②異而直線所成角的問題轉化為向量夾角問題：

③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大?。?/p>

④異面直線所成的角為銳角或直角，將求得的向量夾角的余弦值加上絕對值，進而求出異面直線所成

的角的余弦值和角的大小.

I變式訓練2］如圖，在正方體中，求與AC夾角的大小.

解：不妨設正方體的棱長為1,

則BCvAC=(8C+CG)(48+80)=(AO+A4)(48+A。)

212

=ADAB+AD+AAVAB-^AAVAD=O+AI>+()+O=AD=1,

又???逐。||=也，1Aq=啦,

?…BGAC]1

??cos〈AG,AC)=__=/點於，

\BCA\AC\

V<BG,AC>e[0,7t],

<BCi,AC)=1.

即3G與AC夾角的大小為全

類型三利用數(shù)量積求距離

［例3］如圖，三楂錐。-A8C各楂的校長都是1,點。是極"的中點，點￡在棱。C上，且。E=20C,

記0A=。，OB=b,OC=c.

⑴用向量。，。，c表示向量OE；

⑵求DE的最小值.

［思路分析I(1)根據空間向量加法，減法以及數(shù)乘的幾何意義可解.

(2)利用向量的模等于向量平方的算術平均數(shù)，最終轉化為二次函數(shù)求最值.

|解|⑴根據題意，連接創(chuàng)>CD,如圖，點。是枝A8的中點，

點￡在棱。C上，且OE=2OC,

記。4=4,OB=b,OC=c.

:.DE=OE-OD=kOC-^OA+OB)=Xc-ja-^b.

(2)三棱錐枝長都為1,故。2=62=。2=/,。協(xié)=a?c="c=；,|￡>￡p=［一：“一；力+屁｝=；+(+/12+56—

癡.c一協(xié)c=￥—*=1.-3+3，則當2時，|阻取得最小值宏則|?！陓的最小值為乎，即OE的最小

值為坐

產*W41、?'》

求兩點間的距離或線段長的方法

(1)將相應線段用向量表示，通過向量運算來求對應向量的模.

(2)因為a?a=MF，所以團=屈，這是利用向量解決距離問題的基本公式.另外，該公式還可以推廣為

\a±b\=yj(a±b)2=y［a^2a-b^rb^.

(3)可用|a?e|=|a||cos"(e為單位向量，。為a,e的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投影向

量的模.

［變式訓練3)如圖所示，在中，AD=4,CO=3,ZADC=60°,%平面A8CO,左=6,

求線段PC的長.

解：VPC=B4+4D+DC,

A\PCf=(PA+AI)+DC)2=\PAf+\ADf-{-\DCf+2PAAI)-}-2ADDC+2I)(>PA=62+42+32+2\AD\\l)C\cos

1200=61—12=49.A|PC|=7,即PC=7.

類型四利用數(shù)量積證明垂直問題

［例4］如圖，正方體A8CD-48GA中，P為ODi的中點，O是底面ABC。的中心.

求證：AQ_L平面加C.

［思路分析］本題考查利用a^b^ab=0求證線面垂直，關鍵是在平面PAC中找出兩相交向量與向量

BQ垂直.

［證明］不妨設正方體的棱長為I,AB=a,AD=b,AA\=c,

則|a|=|b|=|c|=l,ab=bc=ac=0.

由題圖得：PA=PD+DA=——AD=~b一；c,

fff1ff1

PC=PO+OC=—卻?+48=a一步

,以心^二［^一5)a+；b-c)

Jab—/+》七+%<-

PCB0=(a_$，(一％+Jb-c|

=—52+；a.b-Q,c+gac-；8.c+gc1

且⑷=|6|=|c|=l,ab=ac=bc=O,

.80=0,PCBiO=0.

???以JL81。，PC±B}O.：.R\±BiO,PC±B\O.

又???以npc=p,.??80_L平面B4C.

1i

用向量法證明線面垂直，離不開線面垂直的判定定理，需將線面垂直轉化為線線垂直，然后利用向量

法證明線線垂直即可，其一般步驟為：

(1)把幾何問題轉化為向量問題：

(2)用已知向量表示所證向量：

(3)結合數(shù)量積公式和運算律證明數(shù)量積：

(4)將向量問題回歸到幾何問題.

[變式訓練4J如圖所示，在正方體A8CQ-48IGQI中，。為AC與8。的交點，G為CG的中點，求

證：4aL平面GBD.

證明：設45i=a,A\D\=b,A\A=c,則〃6=0,bc=O,ac=O,|a|=|Z?|=|c|.

111

,.,AiO=A]A+AO=AiA+2(A8+AD)=c+wa+56,

BD=AD—AB=b—a,

OG=OC+CG=T(AB+AO)+gcG=]a+)—；c..,.A080=(c+；〃+；/>:

Ab—a)—

c-b-ca-}-^ab-^a2-i^b2-^ba=

如一a2)=昴F_MF)=0.

于是A0JL80,即4C3D.同理可證AQJLOG,即AjOJLOG.于是有401?平面G8D.

?檢測篇?達標小練?,

1.已知向量。，，是平面a內兩個不相等的非零向量，非零向量c在直線/上，則ca=0,且cb=0

是/_1。的(B)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：若/J■平面a,則c_L%ca=0,c±b,cb=0;反之，若a〃b,則c_La,c±b,并不能保證■/

?L平面a.故選B.

2.已知ei,e?是夾角為60。的兩個單位向量，則。=ei+e2與b=ei-2e2的夾角是(B)

A.60°B.120°C.30°D.90°

解析：a-b=(e\-\-eij'(e\—2e2)=e\—e\'ei-2e\=1-1X1X^—2=—

|a|=yja^=—(