固體物理金屬電子論一公開課一等獎(jiǎng)優(yōu)質(zhì)課大賽微課獲獎(jiǎng)?wù)n件VIP

第一章金屬電子論（1）第1頁(yè)第一節(jié)德魯特電子氣模型及復(fù)習(xí)第2頁(yè)德魯特電子氣模型金屬具有下列性質(zhì)電的良導(dǎo)體熱的良導(dǎo)體Question：Why？德魯特于1900年提出了關(guān)于金屬電子運(yùn)動(dòng)的典型模型。第3頁(yè)魯特認(rèn)為，金屬中的原子在形成金屬時(shí)，本來封閉的內(nèi)層電子（芯電子）仍然被束縛在一起與原子核形成原子實(shí)。原子實(shí)在金屬中形成長(zhǎng)程的周期性結(jié)構(gòu)。封閉殼層外的電子（價(jià)電子）受原子核束縛較弱，可以自由移動(dòng)，德魯特將其稱為自由電子氣系統(tǒng)。而金屬中的導(dǎo)電、導(dǎo)熱特性就由價(jià)電子擬定。電子氣的特性參量可作如下估算：1）價(jià)電子濃度。設(shè)金屬原子原子量為A，密度為,每個(gè)原子提供Z個(gè)傳導(dǎo)電子；則每立方厘米價(jià)電子數(shù)n為其中為每立方厘米原子摩爾數(shù)，是阿伏伽德羅常數(shù)。2)電子典型半徑由下式擬定：

第4頁(yè)將金屬中的電子當(dāng)作電子氣，德魯特假定：1）電子與電子、電子與原子實(shí)之間的互相作用很弱，可以2)電子與原子實(shí)的碰撞是瞬時(shí)事件。除此之外，電子運(yùn)動(dòng)不受內(nèi)部互相作用的影響，即價(jià)電子運(yùn)動(dòng)僅僅受外力的影響。3)平均自由時(shí)間（）與電子的位置和速度無關(guān)，即是常量。應(yīng)用典型力學(xué)和電子氣體服從典型的麥克斯韋-波爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，該模型可以對(duì)金屬中的電子行為進(jìn)行計(jì)算。并得到了關(guān)于金屬的直流電導(dǎo)、金屬電子的弛豫時(shí)間、平均自由程和金屬電子的熱容的計(jì)算結(jié)果。第5頁(yè)典型電子論的成就：揭示金屬的特性：電導(dǎo)、熱導(dǎo)、溫差電、電流磁輸運(yùn)等。典型電子論的困難：1)關(guān)于固體熱容量，按照典型統(tǒng)計(jì)法的能量均分定理，N個(gè)價(jià)電子構(gòu)成的電子有3N個(gè)自由度，電子對(duì)熱容量的奉獻(xiàn)為：.然而對(duì)大多數(shù)金屬，實(shí)驗(yàn)上測(cè)得的熱容量只有理論值的1%.2)例如對(duì)于電子自由程，測(cè)量值比德魯特模型的估計(jì)大的多。第6頁(yè)復(fù)習(xí)德魯特理論取得了巨大成功，也存在很大的局限和困難。為此，在現(xiàn)代固體理論中我們發(fā)展了另外的理論來克服它的不足。這套理論是建立在能帶論及費(fèi)米統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上的。為此，我們先復(fù)習(xí)一些基本概念。能帶結(jié)構(gòu)在固體物理學(xué)中，固體的能帶結(jié)構(gòu)（又稱電子能帶結(jié)構(gòu)）描述了嚴(yán)禁或允許電子所帶有的能量。即由于周期勢(shì)場(chǎng)的作用，電子在固體中的能譜變成了一系列被禁代隔開的能帶。材料的能帶結(jié)構(gòu)決定了材料的多種特性，特別是它的電子學(xué)和光學(xué)性質(zhì)。第7頁(yè)態(tài)密度第8頁(yè)于是,在固體物理中我們經(jīng)常有設(shè)在能量?jī)?nèi)電子數(shù)量為,則電子態(tài)密度定義為第9頁(yè)自由電子近似下的態(tài)密度此時(shí)，k空間等能量面為球面，設(shè)電子能量為.則在范圍內(nèi)態(tài)總數(shù)為其中因子2來源于電子的自旋。在范圍內(nèi)能量變化第10頁(yè)這是三維情況下的態(tài)密度。兩維情況下態(tài)密度可以類推。第11頁(yè)電子加速度、有效質(zhì)量、準(zhǔn)動(dòng)量變化第12頁(yè)第二節(jié)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)第13頁(yè)一費(fèi)米分布函數(shù)能帶理論是單電子近似，每個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)可以近似地認(rèn)為是獨(dú)立的，具有一系列擬定的本征態(tài)，由不同的波函數(shù)k標(biāo)志，（如果不限于導(dǎo)帶，則還要加上一個(gè)能帶標(biāo)號(hào)n）這樣一個(gè)單電子近似描述的宏觀狀態(tài)可以由電子在這些本征態(tài)間的統(tǒng)計(jì)分布描述。對(duì)于平衡態(tài)，該統(tǒng)計(jì)歸結(jié)于一個(gè)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)第14頁(yè)第15頁(yè)二化學(xué)勢(shì)的最低階近似第16頁(yè)第17頁(yè)三化學(xué)勢(shì)的高階修正第18頁(yè)第19頁(yè)第20頁(yè)第21頁(yè)一個(gè)兩維的例子先求態(tài)密度因而，對(duì)這樣的系統(tǒng)化學(xué)勢(shì)與溫度無關(guān)。第22頁(yè)第三節(jié)電子熱容量

在早期，德魯特電子模型階段，電子熱容量是一個(gè)令人困惑的問題。然而，實(shí)驗(yàn)上，比熱容僅僅為預(yù)期的1%左右，尤其在低溫下。利用電子服從費(fèi)米分布可以解決這個(gè)問題。第23頁(yè)電子熱容量的費(fèi)米分布解釋第24頁(yè)第25頁(yè)

在進(jìn)行相關(guān)計(jì)算前對(duì)于近自由電子系統(tǒng)估算一下費(fèi)米能。第26頁(yè)

為討論電子比熱容，我們引入函數(shù)按照與討論化學(xué)勢(shì)完全類似的辦法討論，我們有第27頁(yè)第28頁(yè)下面考察一種重要的情況，對(duì)近自由電子系統(tǒng)，從而我們可以計(jì)算出比熱容為第29頁(yè)第30頁(yè)但在低溫下，由于晶格振動(dòng)的熱容量以溫度的三次方趨于零而電子激發(fā)的熱容量以溫度的一次方趨于零，因此，這兩者的熱容量可以相比，如圖所示。第31頁(yè)第32頁(yè)研究金屬熱容量的意義一般情況下，低溫時(shí)，第285頁(yè)表6-1列出了若干金屬的比熱系數(shù)的實(shí)驗(yàn)值第33頁(yè)第34頁(yè)重費(fèi)米子系統(tǒng)第35頁(yè)第四節(jié)金屬電導(dǎo)率分布函數(shù)平衡時(shí)，第36頁(yè)下面考慮分布函數(shù)隨時(shí)間的演化。第37頁(yè)由此我們可以得到著名的波耳茲曼方程，第38頁(yè)第39頁(yè)碰撞項(xiàng)（散射項(xiàng)）下面考慮細(xì)致平衡原理對(duì)W的限制。第40頁(yè)第41頁(yè)假設(shè)電子碰撞為彈性碰撞，或散射為彈性散射。（電子與聲子碰撞即電子與振蕩的原子碰撞，由于M>>me,這種碰撞不改變電子的能量。而電子-電子碰撞由于泡利不相容原理，幾率很?。┑?2頁(yè)現(xiàn)在引入馳豫時(shí)間近似，第43頁(yè)電導(dǎo)率假設(shè)僅有外加電場(chǎng)E，且金屬是均勻的，電場(chǎng)不依賴于位置。則系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，各個(gè)物理量與時(shí)間無關(guān)，與空間位置無關(guān)。第44頁(yè)處于平衡狀態(tài)的金屬不加外電場(chǎng)時(shí)無電流，我們知道第45頁(yè)從而得到電導(dǎo)率張量為電導(dǎo)率張量是二階對(duì)稱張量。第46頁(yè)兩點(diǎn)闡明：1）第47頁(yè)第48頁(yè)2）第49頁(yè)從而我們得到電導(dǎo)率的典型公式：第50頁(yè)例子對(duì)于兩維系統(tǒng)，石墨烯，求其電導(dǎo)率。我們先求費(fèi)米面的態(tài)密度cond-mat/0604113第51頁(yè)第五節(jié)各向同性彈性散射和馳豫時(shí)間上一節(jié)為討論金屬的電導(dǎo)率我們采用了馳豫時(shí)間近似，引入了馳豫時(shí)間的概念。然而，馳豫時(shí)間具有非常復(fù)雜的行為。馳豫時(shí)間由什么擬定以及如何計(jì)算是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，它依賴于具體的材料。本節(jié)對(duì)于一個(gè)非常重要的特例，討論馳豫時(shí)間的性質(zhì)。也就是對(duì)晶格完全各向同性并且電子是彈性散射的情況計(jì)算馳豫時(shí)間。第52頁(yè)兩個(gè)假定：首先，我們采用的是近自由電子模型，電子能量?jī)H是波矢大小的函數(shù),另一方面，散射是彈性的。第53頁(yè)第54頁(yè)但是在我們的假定下，可以簡(jiǎn)化。由于W僅僅依賴于散射前波矢與散射后波矢的夾角，由上面的假定我們可以猜想馳豫時(shí)間僅僅依賴于波矢的大小而與方向無關(guān)。第55頁(yè)顯然這些分析與具體的原子結(jié)構(gòu)無關(guān)！第56頁(yè)第57頁(yè)第58頁(yè)第六節(jié)散射和電導(dǎo)電子散射(碰撞)是非相對(duì)論情況下一切輸運(yùn)問題的一個(gè)主線環(huán)節(jié)。對(duì)于直流電導(dǎo)，在外場(chǎng)作用下，電子的受外場(chǎng)作用，使得其分布偏離平衡分布，而散射使得電子分布趨于平衡分布。兩者互相競(jìng)爭(zhēng)使最后的分布達(dá)到平衡，就形成了直流電導(dǎo)。在抱負(fù)的完全規(guī)則排列的原子周期場(chǎng)中，電子將不受到散射，因而就不存在電阻。顯然，如果我們可以理解電子的散射機(jī)制并算出了散射幾率，我們就可以計(jì)算弛豫時(shí)間以及電導(dǎo)率。從物理上看，由于熱運(yùn)動(dòng)，原子不會(huì)靜止在格點(diǎn)上而是不斷的做熱運(yùn)動(dòng)。由于熱運(yùn)動(dòng)的存在，原子偏離格點(diǎn)，而這種偏離會(huì)散射電子，從而影響電子的輸運(yùn)特性。同時(shí)，金屬一般情況下不也許是純凈的，必然有雜質(zhì)存在，這種雜質(zhì)的存在也會(huì)破壞晶格的周期性排列，從而引起電子散射。下面我們分別討論這兩種散射。第59頁(yè)晶格散射我們用聲子模型來描述晶格振動(dòng)對(duì)電子的散射。第60頁(yè)現(xiàn)在僅考慮簡(jiǎn)樸格子而不考慮復(fù)雜格子，則此時(shí)只有聲學(xué)波而沒有光學(xué)波。第61頁(yè)第62頁(yè)第63頁(yè)下面計(jì)算躍遷矩陣。在近自由電子情況下，不考慮自旋，電子的布洛赫波函數(shù)為，在每個(gè)原胞體積內(nèi)有歸一化公式第64頁(yè)第65頁(yè)對(duì)于發(fā)射和吸取聲子的過程，由于聲子速度遠(yuǎn)小于電子的運(yùn)動(dòng)速度，聲子的特性能量遠(yuǎn)小于電子的特性能量，因而在發(fā)射吸取聲子的過程中電子能量是守恒的。然而該過程中電子動(dòng)量不守恒，守恒的是電子加聲子的總動(dòng)量（對(duì)于N過程）。第66頁(yè)第67頁(yè)現(xiàn)在我們估算A的值。第68頁(yè)第69頁(yè)第70頁(yè)第71頁(yè)雜質(zhì)散射雜質(zhì)散射的討論比較簡(jiǎn)樸，諸多教材有較好的簡(jiǎn)介。我們這里僅舉例討論一下雜質(zhì)散射，其思想可以推廣到一般的情況。第72頁(yè)設(shè)雜質(zhì)濃度為ns。一般地，雜質(zhì)的濃度是很小的，因而電子受雜質(zhì)散射時(shí)，可以合理的假定每次只和一個(gè)雜質(zhì)原子發(fā)生互相作用，也就是說電子受雜質(zhì)的散射是獨(dú)立的。我們同時(shí)假設(shè)雜質(zhì)原子是固定的原子，因而電子每次散射時(shí)能量守恒。同時(shí)，雜質(zhì)可以由一個(gè)靜態(tài)勢(shì)U(r)描寫。第73頁(yè)第74頁(yè)第75頁(yè)第76頁(yè)第77頁(yè)從該公式中我們發(fā)現(xiàn)雜質(zhì)散射與晶格散射最大的不同是，雜質(zhì)散射的弛豫時(shí)間與溫度無關(guān)。即使溫度為零，雜質(zhì)散射以及由雜質(zhì)散射引起的電阻仍然存在。第78頁(yè)第七節(jié)金屬的熱導(dǎo)率和熱電勢(shì)本節(jié)將討論金屬的導(dǎo)熱能力。我們知道，材料的導(dǎo)熱性有兩個(gè)方面的奉獻(xiàn)，一是由于晶格振動(dòng)引起的聲子傳熱，二是材料中的自由電子導(dǎo)熱。由于絕緣體的導(dǎo)熱能力比金屬差諸多，我們可以預(yù)期金屬較強(qiáng)的導(dǎo)熱能力是由傳導(dǎo)電子引起的。因而本節(jié)主要考慮金屬中電子的熱導(dǎo)率。第79頁(yè)金屬中電子熱傳導(dǎo):當(dāng)金屬中存在溫度梯度時(shí)，導(dǎo)電電子由溫度高的區(qū)域向溫度低的區(qū)域擴(kuò)散。電子的擴(kuò)散，引起電荷密度的不均勻。電荷密度的不均勻又產(chǎn)生一個(gè)反向的擴(kuò)散。在均勻金屬中，無論在何種情況下，電子流都會(huì)擴(kuò)散，不妨假定一個(gè)一維的情況，電子存在正向和反向擴(kuò)散。當(dāng)不存在溫度梯度時(shí)，平衡時(shí)（細(xì)致平衡原理）正向擴(kuò)散的電子流等于反向擴(kuò)散的電子流。當(dāng)金屬中存在溫度梯度時(shí)，正向擴(kuò)散的電子流(延溫度梯度的方向)不小于反向擴(kuò)散的電子流，熱能由溫度高的區(qū)域向溫度低的區(qū)域的輸運(yùn)。此時(shí)溫度高的區(qū)域電子數(shù)目減少，呈現(xiàn)正電性，溫度低的區(qū)域電子數(shù)目增長(zhǎng)，呈現(xiàn)負(fù)電性，即金屬中出現(xiàn)溫差電場(chǎng)．此電場(chǎng)的方向與凈余擴(kuò)散電子流的方向相同．導(dǎo)電電子在電場(chǎng)力的作用下又產(chǎn)生一個(gè)與電場(chǎng)方向相反的漂移電子流，即此電場(chǎng)對(duì)凈余擴(kuò)散起到一個(gè)阻滯作用．當(dāng)凈余擴(kuò)散電子流與漂移電子流的和為零，即凈正向擴(kuò)散和凈反向擴(kuò)散相等時(shí)，導(dǎo)電電子達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定分布。第80頁(yè)第81頁(yè)平衡分布函數(shù)為代入得漂移項(xiàng)為第82頁(yè)該方程同時(shí)還表明，當(dāng)僅有溫度梯度時(shí)，金屬中會(huì)產(chǎn)生電流，這效應(yīng)稱為熱電效應(yīng)。第83頁(yè)假定溫度梯度方向(因而電場(chǎng)方向)都在X軸上。該式分為兩部分，一部分與電場(chǎng)無關(guān)，為熱電效應(yīng)部分。另一部分是由電場(chǎng)引起的電流密度，顯然，對(duì)于近自由電子系統(tǒng)，這部分?jǐn)?shù)值為第84頁(yè)考慮熱電效應(yīng)部分，它是高階效應(yīng)。第85頁(yè)當(dāng)不存在外電場(chǎng)僅存在溫度梯度時(shí)，先有電荷流動(dòng)，電荷流動(dòng)引起電荷積累。該電荷積累引起電場(chǎng)分布從而阻礙電荷流動(dòng)，最后電場(chǎng)分布形成的阻礙力與溫度梯度引起的電荷流動(dòng)達(dá)到平衡，凈的電荷流動(dòng)消失。這時(shí)每一層都沒有電荷的凈流入和凈流出，達(dá)到靜態(tài)平衡。這時(shí)，假設(shè)溫度梯度方向是由右指向左的（左邊溫度高，右邊溫度低），左邊流得快而右邊流動(dòng)較慢，平衡時(shí)左邊電子密度將略小于右邊電子密度。第86頁(yè)第87頁(yè)從而熱導(dǎo)率表達(dá)式為第88頁(yè)第89頁(yè)第90頁(yè)對(duì)于先前討論的近自由電子系統(tǒng)，故，對(duì)于金屬，不存在雜質(zhì)時(shí)，馳豫時(shí)間反比于溫度，導(dǎo)熱性對(duì)溫度的依賴不明顯。第91頁(yè)是個(gè)與材料無關(guān)的常數(shù)！該式表明，金屬的熱導(dǎo)率與電導(dǎo)率的比值在固定溫度下是個(gè)常數(shù)，與金屬的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。這一定律被稱為“維德曼-費(fèi)蘭茲定律”。注意，該定律是建立在自由電子模型基礎(chǔ)上的，對(duì)于自由電子模型不合用的系統(tǒng)，該定律不合用。洛倫茲常數(shù)第92頁(yè)第93頁(yè)本章簡(jiǎn)介德魯特電子氣模型及復(fù)習(xí)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布及化學(xué)勢(shì)金屬中電子熱容量金屬的電導(dǎo)率弛豫時(shí)間散射和電導(dǎo)金屬的熱導(dǎo)率第94頁(yè)本部分內(nèi)容的合用范圍在第一章我們討論了用波爾茲曼方程處理電導(dǎo)問題以及電子輸運(yùn)問題。在這種用波爾茲曼方程的處理中我們將電子當(dāng)作點(diǎn)粒子。從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看，電子具有波粒二象性，因而我們事實(shí)上應(yīng)當(dāng)把電子當(dāng)作一個(gè)波包。該理論