五節(jié)函數(shù)極值與最值市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

第五節(jié)函數(shù)極值與最值第1頁第1頁一、函數(shù)極值1.定義假如存在一個去心鄰域,對于該去心鄰域內(nèi)任一點都有成立,則稱是函數(shù)極大值,稱為函數(shù)極大值點.(極小值)(極小值點)第2頁第2頁極小值點:極大值點:第3頁第3頁2.極值點必要條件定理1若在處取得極值,且在處可導(dǎo),則證不妨設(shè)是極大值.按定義,存在去心鄰域使得對于任意都有即：對于任意都有又由費馬引理得:第4頁第4頁定義若,則稱是函數(shù)駐點.注:由定理1得:若是函數(shù)極值點,則或不存在.反之不然.反例:但不是極值點.但不是極值點.第5頁第5頁3.極值判別法定理2(第一判別法)設(shè)在一個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且在處連續(xù).(1)若當(dāng)由小到大通過時,符號由正變負(fù)則是極大值.(2)若當(dāng)由小到大通過時,符號由負(fù)變正則是極小值.(3)若當(dāng)由小到大通過時,符號不改變則不是極值.第6頁第6頁()+-是極大值()-+是極小值第7頁第7頁()++不是極值()--不是極值第8頁第8頁例1求極值.解(1)定義域:(2)令解得時,不存在第9頁第9頁(3)討論單調(diào)性-不存在+0-不存在-極小值極大值非極值(4)極小值:極大值:第10頁第10頁闡明假如由表示式不易擬定它在駐點附近符號,那么,用極值第一判別法就不好求極值了.但是,這時若函數(shù)在駐點處二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零,則可用下面定理來求極值.定理3(第二判別法)設(shè)在處二階可導(dǎo),且則(1)當(dāng)時,是極大值(2)當(dāng)時,是極小值第11頁第11頁證(1)按定義由函數(shù)極限局部保號性得:就有.于是,從而從而(第一判別法)第12頁第12頁(2)類似可證.例2求函數(shù)極值.解是周期函數(shù)，只需考慮在區(qū)間上情況.令解得極大值極小值第13頁第13頁二、函數(shù)最大值和最小值在實際中，經(jīng)常碰到這樣問題：如何使產(chǎn)品用料最?。砍杀咀畹?？生產(chǎn)時間最短？如何使生產(chǎn)效益最高？利潤最大？這類問題稱為“最優(yōu)化問題”在數(shù)學(xué)上，這類問題可歸結(jié)為：求某個函數(shù)最大值或最小值問題（簡稱最值問題）這里，我們只研究一些較簡樸最值問題。第14頁第14頁1.設(shè)函數(shù)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù),且在內(nèi)只有有限個導(dǎo)數(shù)為0或不存在點.求在閉區(qū)間上最值.求法:(1)記為:(2)(3)第15頁第15頁例3求函數(shù)在上最大值和最小值。解記令解得計算第16頁第16頁2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點又是極值點，則當(dāng)是極大值時，就是區(qū)間上最大值。當(dāng)是極小值時，就是區(qū)間上最小值。（）（）第17頁第17頁3.在實際問題中,往往依據(jù)問題性質(zhì)就能夠斷定可導(dǎo)函數(shù)確有最大值(或最小值),并且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取到.這時,假如在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點,那么,能夠斷定就是最大值(或最小值).(不必討論是否為極值)例4設(shè)有一塊邊長為正方形鐵皮,從其各角截去同樣小正方形,作成一個無蓋方盒,問:截去多少才干使得作成盒子容積最大?第18頁第18頁解設(shè)截去小正方形邊長為則作成盒子容積()令解得第19頁第19頁在內(nèi)可導(dǎo),且只有一個駐點又由實際問題知:在內(nèi)必有最大值就是最大值點,最大值第20頁第20頁小結(jié)：極值定義極值鑒定法：第二鑒定法第一鑒定法最