(完整word)高等代數(shù)第四章矩陣練習題參考答案

#第四章矩陣習題參考答案、判斷題.對于任意n階矩陣A,B，有|A+B|=圄+|B.錯..如果A2=0,則A=0.(1 1)，一錯.如A= A2=0,fiA豐0.L1-1J.如果A+A2=E，則A為可逆矩陣.正確.A+A2=EnA(E+A)=E,因此A可逆，且A-1=A+E..設A,B都是n階非零矩陣，且AB=0，則A,B的秩一個等于n，一個小于n.錯.由AB=0可得r(A)+r(B)<n.若一個秩等于n，則該矩陣可逆，另一個秩為零，與兩個都是非零矩陣矛盾.只可能兩個秩都小于n..A,B,C為n階方陣，若AB=AC,則B=C.錯汝口A=-1錯汝口A=-1-1\1 LJI-2-1JI-32\,有AB=AC,但B豐C.-2).A為mxn矩陣，若r(A)=s，則存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使PAQ=PAQ=0)0)正確.右邊為矩陣A的等價標準形，矩陣A等價于其標準形..n階矩陣A可逆，則A*也可逆.正確.由A可逆可得IAlw0,又AA*=A*A=1AIE.因此A*也可逆，且(A*)-1=

.設A,B為n階可逆矩陣，則(AB)*=B*A*.正確.(AB)(AB)*=1ABIE=1AIIBIE.又(AB)(B*A*)=A(BB*)A*=AIBIEA*=IBIAA*=IAIIBIE.因此(AB)(AB)*=(AB)(B*A*).由A,B為n階可逆矩陣可得AB可逆，兩邊同時左乘式AB的逆可得(AB)*=B*A*.二、選擇題.設A是n階對稱矩陣，B是n階反對稱矩陣(Bt=-B)，則下列矩陣中為反對稱矩陣的是(B).(A)AB-BA⑻AB+BA(C)(AB)2 (D)BAB(A)(D)為對稱矩陣，(B)為反對稱矩陣，(C)當A,B可交換時為對稱矩陣..設A是任意一個n階矩陣，那么(A)是對稱矩陣.(A)ATA (B)A-AT (C) A2 (D) AT-A.以下結論不正確的是(C).(A)如果A是上三角矩陣，則A2也是上三角矩陣；(B)如果A是對稱矩陣，則A2也是對稱矩陣；(C)如果A是反對稱矩陣，則A2也是反對稱矩陣；(D)如果A是對角陣，則A2也是對角陣.A是mxk矩陣，B是kxt矩陣，若B的第j列元素全為零，則下列結論正確的是(B)(A)AB的第j行元素全等于零；(B)AB的第j列元素全等于零；BA的第jBA的第j行元素全等于零;BA的第j列元素全等于零;.設A,B為n階方陣，E為n階單位陣，則以下命題中正確的是(D)(A)(A+B)2=A2+2AB+B2 (B)A2—B2=(A+B)(A—B)(AB(AB)2=A2B2A2—E2=(A+E)(A—E).下列命題正確的是(B).(A)若AB=AC，則B=C⑻若AB=AC，且IA|中0，則B=C(C)若AB=AC，且A豐0，則B=C(D)若AB=AC，且B中0,C中0，則B=C.A是mxn矩陣，B是nxm矩陣，則(B).(A)當m>n時，必有行列式IAB|豐0；(B)當m>n時，必有行列式IAB|=0(C)當n>m時，必有行列式IAB|中0；(D)當n>m時，必有行列式IAB|=0.AB為m階方陣，當m>n時，r(A)<n,r(B)<n,因此r(AB)<n<m，所以|AB|=0..以下結論正確的是(C)(A)如果矩陣A的行列式I川=0,則A=0；(B)如果矩陣A滿足A2=0，則A=0；(C)n階數(shù)量陣與任何一個n階矩陣都是可交換的；(D)對任意方陣A,B，有(A-B)(A+B)=A2-B29.設a,a,a,a是非零的四維列向量，A=(a,a,a,a),A*為A的伴隨矩陣，1234 1234(A)a,a,a.

123已知Ax=0的基礎解系為(1,0,2,0)t，則方程組A*x(A)a,a,a.

123(B)a+a,a+a,a+a.1 22 33 1(C)a,a,a, (D)a+a,a+a,a+a,a+a,234 1 22 33 44 1(1)0由Ax=0的基礎解系為(1,0,2,0)t可得(a,a,a,a) =0,a+2a=0.1 2 3 4 2 1 3<0/因此(A),(B)中向量組均為線性相關的，而(D)顯然為線性相關的，因此答案為(C).由A*A=A*(a,a,a,a)=(A*a,A*a,A*a,A*a)=O1234 1 2 3 4可得a,a,a,a均為A*x=0的解.1234設A是n階矩陣，A適合下列條件(C)時，I-A必是可逆矩陣nAn=A (B)A是可逆矩陣 (C)An=0A主對角線上的元素全為零n階矩陣A是可逆矩陣的充分必要條件是(D)(A)|A|二1(B)|A|=0(C)A二AT(D)AW0A,B,C均是n階矩陣，下列命題正確的是(A)(A)若A是可逆矩陣，則從AB=AC可推出BA二CA⑻若A是可逆矩陣，則必有AB=BA?若AW0，則從AB=AC可推出B二C(D)若BWC,則必有ABWACA,B,C均是n階矩陣，E為n階單位矩陣，若ABC=E,則有(C)(A)ACB=E (B)BAC=E (C)BCA=E(D)CBA=EA是n階方陣，A*是其伴隨矩陣，則下列結論錯誤的是(D)(A)若A是可逆矩陣，則A*也是可逆矩陣；(B)若A是不可逆矩陣，則A*也是不可逆矩陣；

A*(C)若中0,則A是可逆矩陣；(D)|AA*|=|A*(C)若|AA*|二||A|E|二|A|n.設A是5階方陣，且A豐0，則|A*|=(D)(A)A (B)|A|2 (C)Al3 (D)A4設A*是A=①)的伴隨陣，則A*A中位于(i,j)的元素為(B)ijn義n(A)ZaAjkkik=1(A)ZaAjkkik=1(B)Zna Akjkik=1(C)ZnaAjkikk=1(D)Zna Akikjk=1應為應為A的第i列元素的代數(shù)余子式與A的第j列元素對應乘積和.17.設A=a11aInA11A17.設A=a11aInA11AInan1annAn1Ann，其中A是a的代數(shù)余子式，則(C)ijijA是B的伴隨B是A的伴隨(C)B是A'的伴隨(D)以上結論都不對(D)以上結論都不對……4 「A0 _ / 、18.設A,B為方陣，分塊對角陣C=八D，則C*=(C)0B(A)C=(C)A*00B*|B|A(A)C=(C)A*00B*|B|A*

00|A|B*(B)C=(D)|A|A*

00|B|B*C=ABA*00|A||B|B*利用利用CC*=1CIE驗證.19.已知A=3546下列運算可行的是(19.已知A=3546下列運算可行的是(C)(A)A+B(B)A-B(C)AB(D)AB-BA20.設A,B是兩個mxn矩陣，C是n階矩陣，那么(D)C(A+B)=CA+CB(At+Bt)C=AtC+BtCCt(A+B)=CtA+CtB(A+B)C=AC+BC21.對任意一個n階矩陣A,若n階矩陣B能滿足AB=BA，那么B是一個(C)21.(A)對稱陣(A)對稱陣(B)對角陣 (C)數(shù)量矩陣(D)A的逆矩陣與任意一個n階矩陣均可交換的矩陣為數(shù)量矩陣.22.設A是一個上三角陣，且|A|=0，那么A的主對角線上的元素(22.24.(A)全為零(C)至少有一個為零貝UA-1=23.a1a2a3b1b2b324.(A)全為零(C)至少有一個為零貝UA-1=23.a1a2a3b1b2b3(A)(B)只有一個為零(D)可能有零，也可能沒有零c1c2c3」若AP=a1a2a3c1c2c32b2b122b3(B)(C)(D)-iaa…aaia…a25.設n(n>3)階矩陣A=aai…a,若矩陣A的秩為1,則a必為(A)laaa…1_(A)1 (B)-1(C)ii(D)--i-nn-1矩陣A的任意兩行成比例.26.設AB為兩個n階矩陣，現(xiàn)有四個命題：①若A,B為等價矩陣,則A,B的行向量組等價；②若A,B的行列式相等,即IAHBI,則A,B為等價矩陣；③若Ar=0與Bx=0均只有零解,則A,B為等價矩陣；④若A,B為相似矩陣,則Ax=0與Bx=0解空間的維數(shù)相同.以上命題中正確的是(D)(A)①，③. (B)②，④. (C)②，③. ⑻③，④.當B=P-1AP時，A,B為相似矩陣。相似矩陣的秩相等。齊次線性方程組基礎解系所含解的個數(shù)即為其解空間的維數(shù)。三、填空題1.設A為三階方陣，A*為A的伴隨矩陣，有|A|二2，則(1A)-1-2A*=A*=IAIA-i=2A-i,(1A)-i=3A-i,因此3(1A)-i-2A*=|3A-i-4A-i卜卜A-i卜(-1)3|A|-1=-13 11 2.設A,B為4階方陣，且圄=3，則卜(3A)-i卜1/27 ,^AA2B-i|二 9。.設A是一個mxn矩陣，B是一個nxs矩陣，那么是(AB)'一個sxm階矩陣，它的

第，?行第j列元素為X。b.jkkik=1.n階矩陣A可逆04非退化今IA|W0今A與單位矩陣等價0A可以表示為一系列初等矩陣的乘積.a00] 「bcb0，則A的伴隨矩陣A*= 000ac00ab一123一5.設A=0231，則(A*)-1=-A.0034.三階對角矩陣A=000c(A*)-i6.設a1豐0,i=1,2,..!?n,矩陣-00???0ana10???000a2???00… 0… 0??????…dn-1...0的逆矩陣為一0 0 …0a-1na-1 0 0 010 a-1 …0 0 0 0 …0-1 0L 77-17.設A,B都是可逆矩陣，.矩陣C=一0BA一0的逆矩陣為一0_A-1B-10.一12一「13「「31[，則|B(2A-C)|=(8.設A=_34_，B=_24_,c=_24_9.A既是對稱矩陣，又是反對稱矩陣，則A為零矩陣.|A+B=bxcby11111bxc,B=by22222bxcby3333310.設方陣A=c1c2c3」且|A|=—2，B=3則行列式bxcbyc2bx+y2cbx+yc11111111111111bxc+byc=2bx+y2c=4bx+yc22222222222222bxcbyc2bx+y2cbx+yc333333」333333334IA+B1=bxcbyc111111bxc+4byc222222bxcbyc333333=4=4x(—2)+4x3=4.11.設A為m階方陣，B為n階方陣，已知|A|=a,|B|=b,則行列式=(—1)mnab.將A的各列依次與B的各列交換，共需要交換mn次，化為12.設A為n階方陣，且|A|豐0，則在A等價關系下的標準形為—n_階單位矩陣.(1213.設A=2-1、31(a為某常數(shù))，B為4x3的非零矩陣，且BA=0,則矩陣B的秩為1 .由BA=0可得A的各列為齊次線性方程組Bx=0的解，A的前兩列線性無關，因此Bx=0的基礎解系至少有兩個解，因此r(B)<1.又B為非零矩陣，因此r(B)>1.即r(B)=1.四、解答下列各題1.求解矩陣方程(1)(4、2—6、1?(2)—1)01>(T(4)解：(1)(2)X(3)X=(TT)-4-11(121213(4)X=(02.設A=-25Y1(4-5)(4(2-23、I-1(2-1、-1-1(-21-8/3-2/3)4、-1(3、（-1-4-21(2-4、(3-1)1T)2UU/4-1-4-2-10￥1-1、-2(2AB=A+2B解：(A-2E)B=A.-4,求B(0311(—213—1I-123JA—2E=2，因此A—2E可逆.(03..設P-3..設P-1AP=A，其中P=(—1—43—100\2,,求A11.解：A=PAP-1,A”=PA11PA”=PA11P―1=(—1—4V—1211J31—1—1,I-22114—213—4—211并求其逆.4.設3級方陣A,B滿足2A-1B=B—4E，