高中數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量教案完整版

word格式完美整理/高中數(shù)學(xué)必修4第二章平面向量教案〔12課時>本章內(nèi)容介紹向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的,是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后,全等和平行〔平移、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加〔減法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算,從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景.在本章中,學(xué)生將了解向量豐富的實際背景,理解平面向量及其運算的意義,學(xué)習(xí)平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題.本節(jié)從物理上的力和位移出發(fā),抽象出向量的概念,并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別,然后介紹了向量的一些基本概念.〔讓學(xué)生對整章有個初步的、全面的了解.第1課時§2.1平面向量的實際背景及基本概念教學(xué)目標(biāo)：了解向量的實際背景,理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.通過對向量的學(xué)習(xí),使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.教學(xué)重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學(xué)難點：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.學(xué)法：本節(jié)是本章的入門課,概念較多,但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念,結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x,尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：一、情景設(shè)置：ABCD如圖,老鼠由AABCD結(jié)論：貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量.引言：請同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？二、新課學(xué)習(xí)：〔一向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量〔二請同學(xué)閱讀課本后回答：〔可制作成幻燈片1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？2、如何表示向量？3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關(guān)系？7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？〔三探究學(xué)習(xí)1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小,是一個代數(shù)量,可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向,大小,雙重性,不能比較大小.A<起點A<起點>B〔終點a①用有向線段表示；②用字母ａ、ｂ〔黑體,印刷用等表示；③用有向線段的起點與終點字母：；④向量的大小――長度稱為向量的模,記作||.3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段,三個要素：起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別：〔1向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關(guān),只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；〔2有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量,記作0.0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.②長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：〔1綜合①、②才是平行向量的完整定義；〔2向量ａ、ｂ、ｃ平行,記作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：〔1向量ａ與ｂ相等,記作ａ＝ｂ；〔2零向量與零向量相等；〔3任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關(guān).7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上〔與有向線段的起點無關(guān).說明：〔1平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；〔2共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.〔四理解和鞏固：例1書本86頁例1.例2判斷：〔1平行向量是否一定方向相同？〔不一定〔2不相等的向量是否一定不平行？〔不一定〔3與零向量相等的向量必定是什么向量？〔零向量〔4與任意向量都平行的向量是什么向量？〔零向量〔5若兩個向量在同一直線上,則這兩個向量一定是什么向量？〔平行向量〔6兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？〔長度相等且方向相同〔7共線向量一定在同一直線上嗎？〔不一定例3下列命題正確的是〔A.ａ與ｂ共線,ｂ與ｃ共線,則ａ與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量ａ與ｂ不共線,則ａ與ｂ都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點,所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關(guān),所以Ｄ不正確；對于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假若ａ與ｂ不都是非零向量,即ａ與ｂ至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有ａ與ｂ共線,不符合已知條件,所以有ａ與ｂ都是非零向量,所以應(yīng)選C.例4如圖,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中與向量、、相等的向量.變式一：與向量長度相等的向量有多少個？〔11個變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？〔存在變式三：與向量共線的向量有哪些？〔課堂練習(xí)：1．判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.①向量與是共線向量,則A、B、C、D四點必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)＝⑤一個向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；⑥共線的向量,若起點不同,則終點一定不同.解：①不正確.共線向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求兩個向量、在同一直線上.②不正確.單位向量模均相等且為1,但方向并不確定.③不正確.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線,雖起點不同,但其終點卻相同.2．書本88頁練習(xí)三、小結(jié)：描述向量的兩個指標(biāo)：模和方向.平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比.向量的圖示,要標(biāo)上箭頭和始點、終點.四、課后作業(yè)：書本88頁習(xí)題2.1第3、5題第2課時§2.2.1向量的加法運算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)：掌握向量的加法運算,并理解其幾何意義；會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力；通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進(jìn)行類比,使學(xué)生掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律,并會用它們進(jìn)行向量計算,滲透類比的數(shù)學(xué)方法；教學(xué)重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.教學(xué)難點：理解向量加法的定義.學(xué)法：數(shù)能進(jìn)行運算,向量是否也能進(jìn)行運算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法,讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律.教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x,尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：一、設(shè)置情景：復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念強調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此,我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量,即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下,移到任何位置ABC情景設(shè)置：ABC〔1某人從A到B,再從B按原方向到C,CAB則兩次的位移和：CAB〔2若上題改為從A到B,再從B按反方向到C,ABC則兩次的位移和：ABC〔3某車從A到B,再從B改變方向到C,ABC則兩次的位移和：ABC〔4船速為,水速為,則兩速度和：二、探索研究：１、向量的加法：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.２、三角形法則〔"首尾相接,首尾連"如圖,已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點,作＝a,＝ｂ,則向量叫做a與ｂ的和,記作a＋ｂ,即a＋ｂ,規(guī)定：a+0-=0+aaaaaAABCa+ba+baabbaｂｂａ＋ｂa探究：〔1兩相向量的和仍是一個向量；〔2當(dāng)向量與不共線時,+的方向不同向,且|+|<||+||；OABaaabbb〔3當(dāng)與同向時,則+、、同向,且|+|=||+||,當(dāng)與反向時,若||>||,則+的方向與相同,且|+|=||-||；若||<||,則+的方向與相同,且|+b|=||-||.OABaaabbb〔4"向量平移"〔自由向量：使前一個向量的終點為后一個向量的起點,可以推廣到n個向量連加３．例一、已知向量、,求作向量+作法：在平面內(nèi)取一點,作,則.４．加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中+的結(jié)果與+是否相同？驗證結(jié)果相同從而得到：１向量加法的平行四邊形法則〔對于兩個向量共線不適應(yīng)２向量加法的交換律：+=+５．向量加法的結(jié)合律：<+>+=+<+>證：如圖：使,,則<+>+=,+<+>=∴<+>+=+<+>從而,多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.三、應(yīng)用舉例：例二〔P94—95略練習(xí)：P95四、小結(jié)1、向量加法的幾何意義；２、交換律和結(jié)合律；３、注意：|+|≤||+||,當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時取等號.五、課后作業(yè)：P103第２、３題六、板書設(shè)計〔略七、備用習(xí)題1、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛,船的實際航行的速度的大小為,求水流的速度.2、一艘船距對岸,以的速度向垂直于對岸的方向行駛,到達(dá)對岸時,船的實際航程為8km,求河水的流速.3、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時河水的流速為,船的實際航行的速度的大小為,方向與水流間的夾角是,求和.4、一艘船以5km/h的速度在行駛,同時河水的流速為2km/h,則船的實際航行速度大小最大是km/h,最小是km/h５、已知兩個力F1,F2的夾角是直角,且已知它們的合力F與F1的夾角是60,|F|=10N求F1和F2的大小.６、用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形第3課時§2.2.2向量的減法運算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)：了解相反向量的概念；掌握向量的減法,會作兩個向量的減向量,并理解其幾何意義；通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算,使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.教學(xué)重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.教學(xué)難點：減法運算時方向的確定.學(xué)法：減法運算是加法運算的逆運算,學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量.教具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x,尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則ABDCABDC例：在四邊形中,.解：提出課題：向量的減法用"相反向量"定義向量的減法〔1"相反向量"的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作a〔2規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.<a>=a.任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+<a>=0如果a、b互為相反向量,則a=b,b=a,a+b=0〔3向量減法的定義：向量a加上的b相反向量,叫做a與b的差.即：ab=a+<b>求兩個向量差的運算叫做向量的減法.用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算：OabBabab若b+x=a,則xOabBabab求作差向量：已知向量a、b,求作向量∵<ab>+b=a+<b>+b=a+0=a作法：在平面內(nèi)取一點O,作=a,=b則=ab即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.注意：1表示ab.強調(diào)：差向量"箭頭"指向被減數(shù)OABaB’bbbBa+<OABaB’bbbBa+<b>ab顯然,此法作圖較繁,但最后作圖可統(tǒng)一.探究：如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量,那么所得向量是ba.aabAABBB’OabaabbOAOBababBAOb２若a∥b,如何作出ab？例題：例一、〔P９７例三已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd.解：在平面上取一點O,作=a,=b,=c,=d,ABCbadcDO作,,則=ab,ABCbadcDOABABDC例二、平行四邊形中,a,b,用a、b表示向量、.解：由平行四邊形法則得：=a+b,==ab變式一：當(dāng)a,b滿足什么條件時,a+b與ab垂直？〔|a|=|b|變式二：當(dāng)a,b滿足什么條件時,|a+b|=|ab|？〔a,b互相垂直變式三：a+b與ab可能是相當(dāng)向量嗎？〔不可能,∵對角線方向不同練習(xí)：Ｐ98小結(jié)：向量減法的定義、作圖法|作業(yè)：P103第4、５題板書設(shè)計〔略備用習(xí)題：1.在△ABC中,=a,=b,則等于<>A.a+bB.-a+<-b>C.a-bD.b-a2.O為平行四邊形ABCD平面上的點,設(shè)=a,=b,=c,=d,則A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0３.如圖,在四邊形ABCD中,根據(jù)圖示填空：a+b=,b+c=,c-d=,a+b+c-d=.４、如圖所示,O是四邊形ABCD內(nèi)任一點,試根據(jù)圖中給出的向量,確定a、b、c、d的方向〔用箭頭表示,使a+b=,c-d=,并畫出b-c和a+d.第３題第３題2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第4課時§2.3.1平面向量基本定理教學(xué)目的：〔1了解平面向量基本定理；〔2理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示,初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；〔3能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表達(dá).教學(xué)重點：平面向量基本定理.教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：復(fù)習(xí)引入：1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量,記作：λ〔1|λ|=|λ|||；〔2λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ=2．運算定律結(jié)合律：λ<μ>=<λμ>；分配律：<λ+μ>=λ+μ,λ<+>=λ+λ3.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ,使=λ.二、講解新課：平面向量基本定理：如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2.探究：<1>我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；<2>基底不惟一,關(guān)鍵是不共線；<3>由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；<4>基底給定時,分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一確定的數(shù)量三、講解范例：例1已知向量,求作向量2.5+3.例2如圖ABCD的兩條對角線交于點M,且=,=,用,表示,,和例3已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E,O是任意一點,求證：+++=4例4〔1如圖,,不共線,=t<tR>用,表示.〔2設(shè)不共線,點P在O、A、B所在的平面內(nèi),且.求證：A、B、P三點共線.例5已知a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共線,向量c=2e1-9e2,問是否存在這樣的實數(shù)與c共線.四、課堂練習(xí)：1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量,則有<>A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+μe2<λ、μ∈R>D.若e1、e2不共線,則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+ue2<λ、u∈R>2.已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共線,則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系A(chǔ).不共線B.共線C.相等D.無法確定3.已知向量e1、e2不共線,實數(shù)x、y滿足<3x-4y>e1+<2x-3y>e2=6e1+3e2,則x-y的值等于<>A.3B.-3C.0D.24.已知a、b不共線,且c=λ1a+λ2b<λ1,λ2∈R>,若c與b共線,則λ1=.5.已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一組基底,且a=λ1e1+λ2e2,則a與e1_____,a與e2_________<填共線或不共線>.五、小結(jié)〔略六、課后作業(yè)〔略：七、板書設(shè)計〔略八、課后記：第5課時§—§2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運算教學(xué)目的：〔1理解平面向量的坐標(biāo)的概念；〔2掌握平面向量的坐標(biāo)運算；〔3會根據(jù)向量的坐標(biāo),判斷向量是否共線.教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性.授課類型：新授課教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．平面向量基本定理：如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ2<1>我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；<2>基底不惟一,關(guān)鍵是不共線；<3>由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；<4>基底給定時,分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一確定的數(shù)量二、講解新課：1．平面向量的坐標(biāo)表示如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù)、,使得…………eq\o\ac<○,1>我們把叫做向量的〔直角坐標(biāo),記作…………eq\o\ac<○,2>其中叫做在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo),eq\o\ac<○,2>式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.特別地,,,.如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以原點O為起點作,則點的位置由唯一確定.設(shè),則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來,點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.2．平面向量的坐標(biāo)運算〔1若,,則,兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.設(shè)基底為、,則即,同理可得〔2若,,則一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).==<x2,y2><x1,y1>=<x2x1,y2y1>〔3若和實數(shù),則.實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為、,則,即三、講解范例：例1已知A<x1,y1>,B<x2,y2>,求的坐標(biāo).例2已知=<2,1>,=<-3,4>,求+,-,3+4的坐標(biāo).例3已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A<2,1>,B<1,3>,C<3,4>,求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時,由得D1=<2,2>當(dāng)平行四邊形為ACDB時,得D2=<4,6>,當(dāng)平行四邊形為DACB時,得D3=<6,0>例4已知三個力<3,4>,<2,5>,<x,y>的合力++=,求的坐標(biāo).解：由題設(shè)++=得：<3,4>+<2,5>+<x,y>=<0,0>即：∴∴<5,1>四、課堂練習(xí)：1．若M<3,-2>N<-5,-1>且,求P點的坐標(biāo)2．若A<0,1>,B<1,2>,C<3,4>,則2=.3．已知：四點A<5,1>,B<3,4>,C<1,3>,D<5,-3>,求證：四邊形ABCD是梯形.五、小結(jié)〔略六、課后作業(yè)〔略七、板書設(shè)計〔略八、課后記：第6課時§2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目的：〔1理解平面向量的坐標(biāo)的概念；〔2掌握平面向量的坐標(biāo)運算；〔3會根據(jù)向量的坐標(biāo),判斷向量是否共線.教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性授課類型：新授課教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．平面向量的坐標(biāo)表示分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù)、,使得把叫做向量的〔直角坐標(biāo),記作其中叫做在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo),特別地,,,.2．平面向量的坐標(biāo)運算若,,則,,.若,,則二、講解新課：∥<>的充要條件是x1y2-x2y1=0設(shè)=<x1,y1>,=<x2,y2>其中.由=λ得,<x1,y1>=λ<x2,y2>消去λ,x1y2-x2y1=0探究：〔1消去λ時不能兩式相除,∵y1,y2有可能為0,∵∴x2,y2中至少有一個不為0〔2充要條件不能寫成∵x1,x2有可能為0<3>從而向量共線的充要條件有兩種形式：∥<>三、講解范例：例1已知=<4,2>,=<6,y>,且∥,求y.例2已知A<-1,-1>,B<1,3>,C<2,5>,試判斷A,B,C三點之間的位置關(guān)系.例3設(shè)點P是線段P1P2上的一點,P1、P2的坐標(biāo)分別是<x1,y1>,<x2,y2>.當(dāng)點P是線段P1P2的中點時,求點P的坐標(biāo)；<2>當(dāng)點P是線段P1P2的一個三等分點時,求點P的坐標(biāo).例4若向量=<-1,x>與=<-x,2>共線且方向相同,求x解：∵=<-1,x>與=<-x,2>共線∴<-1>×2-x?<-x>=0∴x=±∵與方向相同∴x=例5已知A<-1,-1>,B<1,3>,C<1,5>,D<2,7>,向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？解：∵=<1-<-1>,3-<-1>>=<2,4>,=<2-1,7-5>=<1,2>又∵2×2-4×1=0∴∥又∵=<1-<-1>,5-<-1>>=<2,6>,=<2,4>,2×4-2×60∴與不平行∴A,B,C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD四、課堂練習(xí)：1.若a=<2,3>,b=<4,-1+y>,且a∥b,則y=〔A.6B.5C.7D.82.若A<x,-1>,B<1,3>,C<2,5>三點共線,則x的值為〔A.-3B.-1C.1D.33.若=i+2j,=<3-x>i+<4-y>j<其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量>.與共線,則x、y的值可能分別為〔A.1,2B.2,2C.3,2D.2,44.已知a=<4,2>,b=<6,y>,且a∥b,則y=.5.已知a=<1,2>,b=<x,1>,若a+2b與2a-b平行,則x的值為.6.已知□ABCD四個頂點的坐標(biāo)為A<5,7>,B<3,x>,C<2,3>,D<4,x>,則x=.五、小結(jié)〔略六、課后作業(yè)〔略七、板書設(shè)計〔略八、課后記：§2.4平面向量的數(shù)量積第7課時一、平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：

本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義,理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運算律,然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ,使=λ.2．平面向量基本定理：如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使=λ1+λ23．平面向量的坐標(biāo)表示分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù)、,使得把叫做向量的〔直角坐標(biāo),記作4．平面向量的坐標(biāo)運算若,,則,,.若,,則5．∥<>的充要條件是x1y2-x2y1=06．線段的定比分點及λP1,P2是直線l上的兩點,P是l上不同于P1,P2的任一點,存在實數(shù)λ,使=λ,λ叫做點P分所成的比,有三種情況：λ>0<內(nèi)分><外分>λ<0<λ<-1><外分>λ<0<-1<λ<0>7.定比分點坐標(biāo)公式：若點P１<x1,y1>,Ｐ２<x2,y2>,λ為實數(shù),且＝λ,則點P的坐標(biāo)為〔,我們稱λ為點P分所成的比.8.點P的位置與λ的范圍的關(guān)系：①當(dāng)λ＞０時,與同向共線,這時稱點P為的內(nèi)分點.②當(dāng)λ＜０<>時,與反向共線,這時稱點P為的外分點.9.線段定比分點坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點O,設(shè)＝ａ,＝ｂ,可得=.10．力做的功：W=|F||s|cos,是F與s的夾角.二、講解新課：1．兩個非零向量夾角的概念已知非零向量ａ與ｂ,作＝ａ,＝ｂ,則∠ＡＯＢ＝θ〔０≤θ≤π叫ａ與ｂ的夾角.說明：〔1當(dāng)θ＝０時,ａ與ｂ同向；〔2當(dāng)θ＝π時,ａ與ｂ反向；〔3當(dāng)θ＝時,ａ與ｂ垂直,記ａ⊥ｂ；〔4注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點的.范圍0≤≤180CC2．平面向量數(shù)量積〔內(nèi)積的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ,它們的夾角是θ,則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積,記作ab,即有ab=|a||b|cos,〔０≤θ≤π.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別〔1兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,符號由cos的符號所決定.〔2兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b,而ab是兩個向量的數(shù)量的積,書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號"·"在向量運算中不是乘號,既不能省略,也不能用"×"代替.〔3在實數(shù)中,若a0,且ab=0,則b=0；但是在數(shù)量積中,若a0,且ab=0,不能推出b=0.因為其中cos有可能為0.〔4已知實數(shù)a、b、c<b0>,則ab=bca=c.但是ab=bca=c如右圖：ab=|a||b|cos=|b||OA|,bc=|b||c|cos=|b||OA|ab=bc但ac<5>在實數(shù)中,有<ab>c=a<bc>,但是<ab>ca<bc>顯然,這是因為左端是與c共線的向量,而右端是與a共線的向量,而一般a與c不共線.3．"投影"的概念：作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量,不是向量；當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時投影為0；當(dāng)=0時投影為|b|；當(dāng)=180時投影為|b|.4．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.1ea=ae=|a|cos2abab=03當(dāng)a與b同向時,ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時,ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或4cos=5|ab|≤|a||b|三、講解范例：例1已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角θ=120o,求a·b.例2已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60o求<a+2b>·<a-3b>.例3已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線,k為何值時,向量a+kb與a-kb互相垂直.例4判斷正誤,并簡要說明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0,則對任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０,則ａ與ｂ中至少有一個為0；⑦對任意向量ａ,ｂ,с都有〔ａ·ｂс＝ａ〔ｂ·с；⑧ａ與ｂ是兩個單位向量,則ａ２＝ｂ２.解：上述8個命題中只有③⑧正確；對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),應(yīng)有0·ａ＝０；對于②：應(yīng)有０·ａ＝0；對于④：由數(shù)量積定義有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜,這里θ是ａ與ｂ的夾角,只有θ＝０或θ＝π時,才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；對于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直,有ａ·ｂ＝０；對于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；對于⑦：若ａ與с共線,記ａ＝λс.則ａ·ｂ＝〔λс·ｂ＝λ〔с·ｂ＝λ〔ｂ·с,∴〔ａ·ｂ·с＝λ〔ｂ·сс＝〔ｂ·сλс＝〔ｂ·сａ若ａ與с不共線,則<ａ·ｂ>с≠〔ｂ·сａ.評述：這一類型題,要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律.例6已知｜ａ｜＝３,｜ｂ｜＝６,當(dāng)①ａ∥ｂ,②ａ⊥ｂ,③ａ與ｂ的夾角是60°時,分別求ａ·ｂ.解：①當(dāng)ａ∥ｂ時,若ａ與ｂ同向,則它們的夾角θ＝０°,∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ與ｂ反向,則它們的夾角θ＝180°,∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×〔-1＝－18；②當(dāng)ａ⊥ｂ時,它們的夾角θ＝90°,∴ａ·ｂ＝０；③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60°時,有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān),其范圍是［0°,180°］,因此,當(dāng)ａ∥ｂ時,有0°或180°兩種可能.四、課堂練習(xí)：1.已知|a|=1,|b|=,且<a-b>與a垂直,則a與b的夾角是〔A.60°B.30°C.135°D.４５°2.已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為,那么向量m=a-4b的模為〔A.2B.2C.6D.123.已知a、b是非零向量,則|a|=|b|是<a+b>與<a-b>垂直的〔A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知向量a、b的夾角為,|a|=2,|b|=1,則|a+b|·|a-b|=.5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量,那么a·b=.6.已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則<a+2b-c>２＝______.7.已知|a|=1,|b|=,<1>若a∥b,求a·b；<2>若a、b的夾角為６０°,求|a+b|；<3>若a-b與a垂直,求a與b的夾角.8.設(shè)m、n是兩個單位向量,其夾角為６０°,求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.9.對于兩個非零向量a、b,求使|a+tb|最小時的t值,并求此時b與a+tb的夾角.五、小結(jié)〔略六、課后作業(yè)〔略七、教學(xué)后記：第8課時二、平面向量數(shù)量積的運算律教學(xué)目的：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷,會證明兩向量垂直,以及能解決一些簡單問題.教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：

啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上,逐步把握數(shù)量積的運算律,引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點,以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．兩個非零向量夾角的概念已知非零向量ａ與ｂ,作＝ａ,＝ｂ,則∠ＡＯＢ＝θ〔０≤θ≤π叫ａ與ｂ的夾角.2．平面向量數(shù)量積〔內(nèi)積的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ,它們的夾角是θ,則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積,記作ab,即有ab=|a||b|cos,〔０≤θ≤π.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.3．"投影"的概念：作圖CC定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量,不是向量；當(dāng)為銳角時投影為正值；當(dāng)為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時投影為0；當(dāng)=0時投影為|b|；當(dāng)=180時投影為|b|.4．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.5．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=03當(dāng)a與b同向時,ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時,ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或4cos=；5|ab|≤|a||b|二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運算律1．交換律：ab=ba證：設(shè)a,b夾角為,則ab=|a||b|cos,ba=|b||a|cos∴ab=ba2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：<a>b=<ab>=a<b>證：若>0,<a>b=|a||b|cos,<ab>=|a||b|cos,a<b>=|a||b|cos,若<0,<a>b=|a||b|cos<>=|a||b|<cos>=|a||b|cos,<ab>=|a||b|cos,a<b>=|a||b|cos<>=|a||b|<cos>=|a||b|cos.3．分配律：<a+b>c=ac+bc在平面內(nèi)取一點O,作=a,=b,=c,∵a+b〔即在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2,∴c<a+b>=ca+cb即：<a+b>c=ac+bc說明：〔1一般地,<ａ·ｂ>с≠ａ〔ｂ·с〔2ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ〔3有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２,〔ａ＋ｂ〔с＋ｄ＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ<ａ＋ｂ>２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、講解范例：例1已知a、b都是非零向量,且a+3b與7a5b垂直,a4b與7a2b垂直,求a與b的夾角.解：由<a+3b><7a5b>=07a2+16ab15b2=0①<a4b><7a2b>=07a230ab+8b2=0②兩式相減：2ab=b2代入①或②得：a2=b2設(shè)a、b的夾角為,則cos=∴=60例2求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.解：如圖：平行四邊形ABCD中,,,=∴||2=而=,∴||2=∴||2+||2=2=例3四邊形ABCD中,＝ａ,＝ｂ,＝с,＝ｄ,且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ,試問四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.解：四邊形ABCD是矩形,這是因為：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0,∴ａ＋ｂ＝－〔с＋ｄ,∴<ａ＋ｂ>２＝〔с＋ｄ２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ,∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜,且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.∴四邊形ABCD是平行四邊形另一方面,由ａ·ｂ＝ｂ·с,有ｂ〔ａ－с＝０,而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с,代入上式得ｂ·<2ａ>＝０,即ａ·ｂ＝０,∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.綜上所述,四邊形ABCD是矩形.評述：<1>在四邊形中,,,,是順次首尾相接向量,則其和向量是零向量,即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；<2>由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.四、課堂練習(xí)：1.下列敘述不正確的是〔A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律D.a·b是一個實數(shù)2.已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為６０°,則<a+2b>·<a-3b>等于〔A.72B.-72C.36D.-363.|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關(guān)系為〔A.平行B.垂直C.夾角為D.不平行也不垂直4.已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150°,則<a+b>２＝.5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,則|a+b|=______,|a-b|=.6.設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+λb與a－λb垂直,則λ＝.五、小結(jié)〔略六、課后作業(yè)〔略七、板書設(shè)計〔略八、課后記：第9課時三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角教學(xué)目的：⑴要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示⑵掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件,及平面內(nèi)兩點間的距離公式.⑶能用所學(xué)知識解決有關(guān)綜合問題.教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運用授課類型：新授課教具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1．兩個非零向量夾角的概念已知非零向量ａ與ｂ,作＝ａ,＝ｂ,則∠ＡＯＢ＝θ〔０≤θ≤π叫ａ與ｂ的夾角.C2．平面向量數(shù)量積〔內(nèi)積的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ,它們的夾角是θ,則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積,記作ab,即有ab=|a||b|cos,C〔０≤θ≤π.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.3．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積.4．兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=03當(dāng)a與b同向時,ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時,ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或4cos=；5|ab|≤|a||b|5．平面向量數(shù)量積的運算律交換律：ab=ba數(shù)乘結(jié)合律：<a>b=<ab>=a<b>分配律：<a+b>c=ac+bc二、講解新課：⒈平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量,,試用和的坐標(biāo)表示.設(shè)是軸上的單位向量,是軸上的單位向量,那么,所以又,,,所以這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即2.平面內(nèi)兩點間的距離公式設(shè),則或.〔2如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、,那么<平面內(nèi)兩點間的距離公式>向量垂直的判定設(shè),,則兩向量夾角的余弦〔cos=講解范例：設(shè)a=<5,7>,b=<6,4>,求a·b及a、b間的夾角θ<精確到1o>例2已知A<1,2>,B<2,3>,C<2,5>,試判斷△ABC的形狀,并給出證明.例3已知a=<3,1>,b=<1,2>,求滿足xa=9與xb=4的向量x.解：設(shè)x=<t,s>,由∴x=<2,3>例4已知a＝〔１,,b＝〔＋１,－１,則a與b的夾角是多少?分析：為求a與b夾角,需先求a·b及｜a｜·｜b｜,再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值.解：由a＝〔１,,b＝〔＋１,－１有a·b＝＋１＋〔－１＝４,｜a｜＝２,｜b｜＝２．記a與b的夾角為θ,則ｃｏｓθ＝又∵０≤θ≤π,∴θ＝評述：已知三角形函數(shù)值求角時,應(yīng)注重角的范圍的確定.例5如圖,以原點和A<5,2>為頂點作等腰直角△OAB,使B=90,求點B和向量的坐標(biāo).解：設(shè)B點坐標(biāo)<x,y>,則=<x,y>,=<x5,y2>∵∴x<x5>+y<y2>=