二項(xiàng)式定理.版塊五.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用2證明不等式.學(xué)生版

證明不等式知識(shí)內(nèi)容1．二項(xiàng)定理⑴二項(xiàng)式定理

0

a

1

a

ab

b

這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理．⑵二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的通項(xiàng)C

a

a

a

b

叫做式其中的系數(shù)r式數(shù)式的Crr叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)表示，r即通項(xiàng)為展開式的第r項(xiàng)：Tr

rabr．⑶二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)冪指數(shù)二項(xiàng)式數(shù)為n項(xiàng)各項(xiàng)的冪指狀況是①各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．②字母a的降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n項(xiàng)減到零，字母b升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直n．⑷幾點(diǎn)注意①通項(xiàng)r

rbr是第r項(xiàng)這里r1,2,．②二項(xiàng)式

的r項(xiàng)

的展開式的第r項(xiàng)Cr

r

是有區(qū)別的用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是能隨便交換的．③注意二項(xiàng)式系數(shù)（Cr）與展開式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可為負(fù)．

④通項(xiàng)公式是式下而言的，如式通公式是Tr

rn

a

r

（只須把看成b代二式定理這與Tr

r

b

r

是不同的在里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是相等的都是r

，但項(xiàng)的系數(shù)一個(gè)是n

，一個(gè)是r

，可看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念．⑤設(shè)，得公式：

x

x

r

x

r

．⑥通項(xiàng)是Tr

Cr

b

r

1,2,...,nr

,,r五元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素．⑦當(dāng)不很大，x比較小時(shí)可以用展開式的前幾項(xiàng)求()

的近似值．2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)⑴楊輝三角形：對(duì)于是小的正整數(shù)時(shí)可直接寫出各項(xiàng)系數(shù)而不去套用二項(xiàng)式定理項(xiàng)式系數(shù)也可以直接用楊輝三角計(jì)算．楊輝三角有如下規(guī)律邊行各數(shù)都是1余各數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)字的和⑵二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是：C

,C

,

,...,

，從函數(shù)的角度看Cr

可以看成是r為變量的函數(shù)f：2,3,當(dāng)n時(shí)f

的圖象為下圖：這樣我們利楊輝三角n6時(shí)f

的圖象的直觀來幫助我們研究二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．①對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式得．②增減性與最大值如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大．由于展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)順次是

n，1

n1

，．．．，

n1

，

n1

，．．．，C

．其中，后一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子是前一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子乘以逐次減小的數(shù)如n...）分是乘以逐次增大的數(shù)如23，?為，一個(gè)自然數(shù)乘以一個(gè)大于的數(shù)變大，而乘以一個(gè)小于的則變小，從而當(dāng)k依取1，，，?時(shí)，C

r

的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減了．又因?yàn)榕c首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的式系數(shù)相等，所以二項(xiàng)式系數(shù)增大到某一項(xiàng)時(shí)就逐漸減小，且二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n是奇數(shù)，展開式共有項(xiàng)所以展開式有中間一項(xiàng)，并且這一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大為．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，n是偶數(shù)，展開式共有項(xiàng)所以有中間兩項(xiàng)．這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，最大為

C

．③二項(xiàng)式系數(shù)的和為2

，即

r

．④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即．常見題型有：求展開式的某些特定項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)，二項(xiàng)式定理的逆用，賦值用，簡(jiǎn)單的組合數(shù)式問題．典例分析用2【例】已知：xyxR，求證：

y

≥

12

，(*)

【例】、ba≥N*，求證：

a

n

na()2

n【例】N且，求證：

3n

【例】求證：2≥

【例】求證：

≥

*

【例】≥0*，證：

a

n

nnn()n

n

．【例】求證：

≥

≥

1【例】對(duì)于nN*，(1))nn

．1【例】求證：≤(1)*n【例10】已知i,n是正整數(shù)，1⑴證明m

i

A

i

i

A

i

；⑵證明(

【例11】已知函數(shù)f()足ax()f()（02，并且使f(x)成的實(shí)數(shù)x有只有一個(gè)．⑴求f()的析式；⑵若數(shù)列{}的前n項(xiàng)為，滿足a

32

，當(dāng)