二次函數(shù)圖像與性質(zhì)總結(jié)含答案

-.z.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)的根本形式1.二次函數(shù)根本形式：的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上*=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下*=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．4.的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上*=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下*=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．二、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的根底上"值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移〞．概括成八個(gè)字"左加右減，上加下減〞．方法二：⑴沿軸平移:向上〔下〕平移個(gè)單位，變成〔或〕⑵沿軸平移：向左〔右〕平移個(gè)單位，變成〔或〕三、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．四、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，〔假設(shè)與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)〕.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).五、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值．2.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，有最大值．六、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：〔，，為常數(shù)，〕；2.頂點(diǎn)式：〔，，為常數(shù)，〕；3.兩根式：〔，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)〕.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然．⑴當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大?。?.一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在的前提下，當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)．⑵在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)．總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是"左同右異〞總結(jié)：3.常數(shù)項(xiàng)⑴當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．總之，只要都確定，則這條拋物線就是唯一確定的．二次函數(shù)解析式確實(shí)定：根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便．一般來說，有如下幾種情況：1.拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2.拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大〔小〕值，一般選用頂點(diǎn)式；3.拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.拋物線上縱坐標(biāo)一樣的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．八、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；2.關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱〔即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°〕關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是．5.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線〔或表達(dá)式的拋物線〕的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．二次函數(shù)圖像參考：十一、【例題精講】一、一元二次函數(shù)的圖象的畫法【例1】求作函數(shù)的圖象【解】以為中間值，取的一些值，列表如下：…-7-6-5-4-3-2-1……0-20…【例2】求作函數(shù)的圖象。【解】先畫出圖角在對(duì)稱軸的右邊局部，列表-2-101276543【點(diǎn)評(píng)】畫二次函數(shù)圖象步驟：(1)配方；(2)列表；(3)描點(diǎn)成圖；也可利用圖象的對(duì)稱性，先畫出函數(shù)的左〔右〕邊局部圖象，再利用對(duì)稱性描出右〔左〕局部就可。二、一元二次函數(shù)性質(zhì)【例3】求函數(shù)的最小值及圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求它的單調(diào)區(qū)間。【解】由配方結(jié)果可知：頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為；∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)?！纠?】求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值。，∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)。【點(diǎn)評(píng)】要研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí)，方法有兩個(gè)：配方法；如例3公式法：適用于不容易配方題目(二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù))如例4，可防止出錯(cuò)。任何一個(gè)函數(shù)都可配方成如下形式：【二次函數(shù)題型總結(jié)】1.關(guān)于二次函數(shù)的概念例1如果函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值為。例2拋物線的開口方向是；對(duì)稱軸是；頂點(diǎn)為。-1-1O*=1Y*2.關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象例3函數(shù)的圖象如下列圖，則a、b、c，，，的符號(hào)為，例4a－b＋c=09a＋3b＋c=0,則二次函數(shù)y=a*2＋b*＋c的圖像的頂點(diǎn)可能在〔〕第一或第二象限〔B〕第三或第四象限〔C〕第一或第四象限〔D〕第二或第三象限3o3o-13y*例5：函數(shù)的圖象如圖：則函數(shù)解析式為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4.一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像綜合考察例6一次函數(shù)y=a*+c二次函數(shù)y=a*2+b*+c(a≠0),它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的大致圖象是().例7如圖：△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AB在*軸上，點(diǎn)C在第一象限，AC與Y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔-1，0〕〔1〕求B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕拋物線經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，求它的解析式；【練習(xí)題】一、選擇題1.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2,－11)B.〔－2，7〕C.〔2，11〕D.〔2，－3〕2.把拋物線向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是〔〕A.B.C.D.3.函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()4.二次函數(shù)的圖象如下列圖,則以下結(jié)論:①a,b同號(hào);②當(dāng)和時(shí),函數(shù)值相等;③④當(dāng)時(shí),的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)5.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)〔-1，-3.2〕及局部圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別是〔〕Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.二次函數(shù)的圖象如下列圖，則點(diǎn)在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7.方程的正根的個(gè)數(shù)為〔〕A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè).3個(gè)8.拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),與軸交于點(diǎn)C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A.B.C.或D.或二、填空題9．二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，則_______。10．拋物線y=-2〔*+3〕2+5，如果y隨*的增大而減小，則*的取值范圍是_______.11．一個(gè)函數(shù)具有以下性質(zhì)：①圖象過點(diǎn)〔－1，2〕，②當(dāng)＜0時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是〔只寫一個(gè)即可〕。12．拋物線的頂點(diǎn)為C，直線過點(diǎn)C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。13.二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到的,則b=,c=。14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14).三、解答題：第15題圖15.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是,圖象經(jīng)過(1,-6),且與軸的交點(diǎn)為(0,).第15題圖(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)*為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0"(3)當(dāng)*在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值隨*的增大而增大"16.*種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h〔米〕和時(shí)間t〔秒〕符合關(guān)系式〔0<t≤2〕，其中重力加速度g以10米/秒2計(jì)算．這種爆竹點(diǎn)燃后以v0=20米/秒的初速度上升，〔1〕這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地15米？〔2〕在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線頂點(diǎn)為D.〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使：5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)。一，選擇題、1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空題、9．10．＜-311．如等〔答案不唯一〕12．113．-8714．15三、解答題15．(1)設(shè)拋物線的解析式為,由題意可得解得所以(2)或-5(