【同步習(xí)題】3．兩條直線平行與垂直的判定

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列說(shuō)法中正確的是()A．平行的兩條直線的斜率一定存在且相等B．平行的兩條直線的傾斜角一定相等C．垂直的兩直線的斜率之積為－1D．只有斜率相等的兩條直線才一定平行答案：B2．直線l過(guò)(m，n)、(n，m)兩點(diǎn)，其中m≠n，mn≠0，則()A．l與x軸垂直B．l與y軸垂直C．l過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限D(zhuǎn)．l的傾斜角為135°解析：選D.直線的斜率k＝eq\f(m－n,n－m)＝－1，所以直線l的傾斜角為135°.3．若過(guò)點(diǎn)A(2，－2)，B(5，0)的直線與過(guò)點(diǎn)P(2m，1)，Q(－1，－m)的直線平行，則m的值為()A．－1 B．1C．2 D．eq\f(1,2)解析：選B.由eq\f(0－（－2）,5－2)＝eq\f(－m－1,－1－2m)，得m＝1.故選B.4．已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，－1)和點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,a)，1))，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，1)和點(diǎn)N(0，－2)，若l1與l2沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為()\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．6 D．－6解析：選D.由題意得l1∥l2，則eq\f(1＋1,－\f(4,a)－0)＝eq\f(－2－1,0－1)，解得a＝－6.5．設(shè)點(diǎn)P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，則下面四個(gè)結(jié)論：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④RP⊥QS.正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.因?yàn)閗PQ＝eq\f(－4－2,6＋4)＝－eq\f(3,5)，kSR＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kPS＝eq\f(12－2,2＋4)＝eq\f(5,3)，kQS＝eq\f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝eq\f(6－2,12＋4)＝eq\f(1,4).又P、Q、S、R四點(diǎn)不共線，所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.故①②④正確．6．已知定點(diǎn)A(1，3)，B(4，－2)，在y軸上求一點(diǎn)C，使得AC⊥BC，那么C點(diǎn)坐標(biāo)是________．答案：(0，2)或(0，－1)7．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，點(diǎn)D(m，1)在邊BC的高所在的直線上，則實(shí)數(shù)m＝________．解析：設(shè)直線AD，BC的斜率分別為kAD，kBC，由AD⊥BC得kAD·kBC＝－1，所以eq\f(1－2,m－2)×eq\f(3－1,4－0)＝－1?m＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)8．已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_________．解析：設(shè)D(m，n)，由題意得AB∥DC，AD∥BC，則有kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－1,1－0)＝\f(3－n,4－m)，,\f(n－1,m－0)＝\f(3－0,4－1)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝4，))所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，4)．答案：(3，4)9．當(dāng)m為何值時(shí)，過(guò)兩點(diǎn)A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直線：(1)傾斜角為135°；(2)與過(guò)兩點(diǎn)(3，2)，(0，－7)的直線垂直；(3)與過(guò)兩點(diǎn)(2，－3)，(－4，9)的直線平行．解：(1)由kAB＝eq\f(m－3,2m2)＝－1，得2m2＋m－3＝0，解得m＝－eq\f(3,2)或1.(2)由eq\f(－7－2,0－3)＝3及垂直關(guān)系，得eq\f(m－3,2m2)＝－eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(3,2)或－3.(3)由eq\f(m－3,2m2)＝eq\f(9＋3,－4－2)＝－2，解得m＝eq\f(3,4)或－1.10．直線l的傾斜角為30°，點(diǎn)P(2，1)在直線l上，直線l繞點(diǎn)P(2，1)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后到達(dá)直線l1的位置，直線l2與l1平行，且l2是線段AB的垂直平分線，A(1，m－1)，B(m，2)，試求m的值．解：如圖，因?yàn)橹本€l1的傾斜角為30°＋30°＝60°，所以l1的斜率k1＝tan60°＝eq\r(3).由題意知直線AB的斜率為eq\f(m－1－2,1－m)＝eq\f(m－3,1－m)，所以線段AB的垂直平分線l2的斜率為k2＝－eq\f(1－m,m－3)＝eq\f(m－1,m－3).因?yàn)閘1與l2平行，所以k1＝k2，即eq\r(3)＝eq\f(m－1,m－3)，解得m＝4＋eq\r(3).[B能力提升]1．已知直線l1經(jīng)過(guò)A(－3，4)，B(－8，－1)兩點(diǎn)，直線l2傾斜角為135°，那么l1與l2()A．垂直 B．平行C．重合 D．相交但不垂直解析：選A.因?yàn)橹本€l1經(jīng)過(guò)A(－3，4)，B(－8，－1)兩點(diǎn)，所以直線l1的斜率k1＝eq\f(4－（－1）,－3－（－8）)＝1；因?yàn)橹本€l2傾斜角為135°，所以直線l2的斜率為k2＝tan135°＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2，故選A.2．已知點(diǎn)A(0，1)，O(0，0)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)滿足x＋y＝0.若AB⊥OB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))C．(－1，1) D．(1，－1)解析：選A.設(shè)B的坐標(biāo)為(x，－x)，因?yàn)锳B⊥OB，所以eq\f(－x－1,x)×eq\f(－x,x)＝－1且x≠0，所以x＝－eq\f(1,2)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).3．已知l1的斜率是2，l2過(guò)點(diǎn)A(－1，－2)，B(x，6)且l1∥l2，則logeq\s\do9(\f(1,9))x＝__________．解析：因?yàn)閘1∥l2，所以eq\f(6＋2,x＋1)＝2，所以x＝3.故logeq\s\do9(\f(1,9))3＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．(選做題)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQR的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次是O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t∈(0，＋∞)，試判斷四邊形OPQR的形狀，并給出證明．解：四邊形OPQR是矩形．OP邊所在直線的斜率kOP＝t，QR邊所在直線的斜率kQR＝eq\f(（t＋2）－2,（1－2t）－（－2t）)＝t，OR邊所在直線的斜率kOR＝－eq\f(1,t)，PQ邊所在直線的斜率kPQ＝eq\f(（2＋t）－t,（1－2t）－1)＝－eq\f(1,t).所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，所以O(shè)P∥QR，OR∥PQ，所以四邊形OPQR是平行四邊形．又kQR·kOR＝t×eq\b\lc\