（上海專用）2023版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題13推理與證明、新定義分項(xiàng)練習(xí)（含解析）

PAGE1-第十三章推理與證明、新定義一．根底題組1.【2022上海,理14】點(diǎn)O(0,0)、Q0(0,1)和點(diǎn)R0(3,1)，記Q0R0的中點(diǎn)為P1，取Q0P1和P1R0中的一條，記其端點(diǎn)為Q1、R1，使之滿足(|OQ1|－2)(|OR1|－2)＜0，記Q1R1的中點(diǎn)為P2，取Q1P2和P2R1中的一條，記其端點(diǎn)為Q2、R2，使之滿足(|OQ2|－2)(|OR2|－2)＜0，依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，那么______.【答案】【解析】2.(2022上海,理13)某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)格狀,相鄰街距都為1.兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn).假設(shè)以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系,現(xiàn)有下述格點(diǎn)(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)為報(bào)刊零售點(diǎn).請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)(除零售點(diǎn)外)___________為發(fā)行站,使6個(gè)零售點(diǎn)沿街道到發(fā)行站之間路程的和最短.【答案】〔3，3〕【解析】設(shè)確定的格點(diǎn)為〔x,y)，由題意知確定的格點(diǎn)到的6個(gè)格點(diǎn)路程的和最短，即為x,y分別到6個(gè)格點(diǎn)的橫.縱坐標(biāo)距離和最小，6個(gè)格點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大排列為-2,-2,3,3,4,6，所以x=3時(shí)到這6個(gè)數(shù)的距離和最小.同理y=3時(shí)，y到6個(gè)格點(diǎn)縱坐標(biāo)距離之和最小.故所求的格點(diǎn)為(3,3).3.【2022上海,文15】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成的區(qū)域〔含邊界〕，A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)．假設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)滿足且，那么稱P優(yōu)于．如果中的點(diǎn)滿足：不存在中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧〔〕Ａ．B．C．D．【答案】4.【2022上海,理9】假設(shè)為非零實(shí)數(shù)，那么以下四個(gè)命題都成立：①②③假設(shè)，那么④假設(shè)，那么。那么對(duì)于任意非零復(fù)數(shù)，上述命題仍然成立的序號(hào)是。5.【2022上海,理10】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)〞．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)〞的個(gè)數(shù)是．【答案】36【解析】如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)〞．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)〞，分情況討論：①對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)〞，這樣的“正交線面對(duì)〞有2×12=24個(gè)；②對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)〞，這樣的“正交線面對(duì)〞有12個(gè)；所以正方體中“正交線面對(duì)〞共有36個(gè)．6.【2022上海,文12】如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)，對(duì)于平面上任意一點(diǎn),假設(shè)分別是到直線和的距離，那么稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)的“距離坐標(biāo)〞，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)〞是〔1，2〕的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是____________.【答案】47.【2022上海,文16】用個(gè)不同的實(shí)數(shù)可得到個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫成一個(gè)行的數(shù)陣.對(duì)第行，記，.例如：用1，2，3可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，等于〔〕A．—3600B．1800C．—1080D．—720【答案】－1080【解析】在用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，每一列各數(shù)之和都是360，二．能力題組8.【2022上海,理22】〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值3分，第2小題總分值5分，第3小題總分值10分.假設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，那么稱比遠(yuǎn)離.〔1〕假設(shè)比遠(yuǎn)離，求的取值范圍；〔2〕對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：比遠(yuǎn)離；〔3〕函數(shù)的定義域.任取，等于和中遠(yuǎn)離的那個(gè)值.寫出函數(shù)的解析式，并指出它的根本性質(zhì)〔結(jié)論不要求證明〕.【答案】〔1〕〔2〕〔3〕(3)，

性質(zhì)：1f(x)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，2f(x)是周期函數(shù)，最小正周期，

3函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，kZ，

4函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋军c(diǎn)評(píng)】此題給人耳目一新的感覺，問題的表述比擬陌生，提問方式新穎，考生需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)理解和化歸能力，對(duì)考生的綜合數(shù)學(xué)能力要求較高．但認(rèn)真分析一下就會(huì)有“他鄉(xiāng)遇故知〞的感覺——函數(shù)與不等式的綜合.9.【2022上海,理16】如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，假設(shè)、分別是M到直線和的距離，那么稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)〔，〕是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)〞．常數(shù)≥0，≥0，給出以下命題：①假設(shè)＝＝0，那么“距離坐標(biāo)〞為〔0，0〕的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；②假設(shè)＝0，且＋≠0，那么“距離坐標(biāo)〞為〔，〕的點(diǎn)有且僅有2個(gè)；③假設(shè)≠0，那么“距離坐標(biāo)〞為〔，〕的點(diǎn)有且僅有4個(gè)．上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是〔〕〔A〕0；〔B〕1；〔C〕2；〔D〕3．【答案】D②假設(shè)＝0，且＋≠0，那么p與q中有一個(gè)為0，另一個(gè)不為0，“距離坐標(biāo)〞為〔，〕的點(diǎn)可以在直線l1或直線l2上，例如〔p，q〕=(0，1)，那么點(diǎn)M在直線l2上，且到O點(diǎn)距離為1，這樣的點(diǎn)有2個(gè)，命題②正確；③假設(shè)≠0，那么p≠0，q≠0，“距離坐標(biāo)〞為〔，〕的點(diǎn)在兩條直線相交而成的四個(gè)區(qū)域內(nèi)，這樣的點(diǎn)有且僅有4個(gè)．正確上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)，選D.10.【2022上海,理22】〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值8分，第3小題總分值6分．在直角坐標(biāo)平面中，點(diǎn)，，，…，，其中是正整數(shù)．對(duì)平面上任一點(diǎn)，記為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，……，為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．求向量的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求以曲線為圖象的函數(shù)在的解析式；〔3〕對(duì)任意偶數(shù)，用表示向量的坐標(biāo)【答案】〔1〕〔2，4〕；〔2〕；〔3〕因此，基線C是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)設(shè)假設(shè)當(dāng)當(dāng)時(shí)，?！?〕由于，.三．拔高題組11.【2022高考上海理數(shù)】〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值8分.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，假設(shè)存在正常數(shù)，使得是以為周期的函數(shù)，那么稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期.是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)?設(shè)單調(diào)遞增，，.〔1〕驗(yàn)證是以為周期的余弦周期函數(shù)；〔2〕設(shè)．證明對(duì)任意，存在，使得；〔3〕證明：“為方程在上得解〞的充要條件是“為方程在上有解〞，并證明對(duì)任意都有.【答案】〔1〕詳見解析〔2〕詳見解析〔3〕詳見解析〔2〕由于的值域?yàn)?，所以?duì)任意，都是一個(gè)函數(shù)值，即有，使得.假設(shè)，那么由單調(diào)遞增得到，與矛盾，所以.同理可證.故存在使得.〔3〕假設(shè)為在上的解，那么，且，，即為方程在上的解.同理，假設(shè)為方程在上的解，那么為該方程在上的解.以下證明最后一局部結(jié)論.由〔2〕所證知存在，使得，，，，，.而是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，，，，.與之前類似地可以證明：是在上的解當(dāng)且僅當(dāng)是在上的解.從而在與上的解的個(gè)數(shù)相同.故，，，，，.對(duì)于，，，而，故.類似地，當(dāng)，，，時(shí)，有.結(jié)論成立.【考點(diǎn)定位】新定義問題【名師點(diǎn)睛】新定義問題一般先考察對(duì)定義的理解，這時(shí)只需一一驗(yàn)證定義中各個(gè)條件即可.二是考查滿足新定義的函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊〞性質(zhì)，此時(shí)需結(jié)合新函數(shù)的新性質(zhì)，探究“舊〞性質(zhì).三是考查綜合分析能力，主要將新性質(zhì)有機(jī)應(yīng)用在“舊〞性質(zhì)，創(chuàng)造性證明更新的性質(zhì).12.【2022上海,理22】〔此題總分值16分〕此題共3個(gè)小題，第1小題總分值3分，第2小題總分值5分，第3小題總分值8分.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線：和點(diǎn)記假設(shè)<0，那么稱點(diǎn)被直線分隔.假設(shè)曲線C與直線沒有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)被直線分隔，那么稱直線為曲線C的一條分隔線.⑴求證：點(diǎn)被直線分隔；⑵假設(shè)直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；⑶動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，求證：通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線.【答案】(1)證明見解析；〔2〕；〔3〕證明見解析.【解析】二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0分類，然后在曲線上找到兩點(diǎn)位于直線的兩側(cè)．那么可得到所求范圍；〔3〕首先求出軌跡的方程，化簡(jiǎn)為，過原點(diǎn)的直線中，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)其方程為，然后解方程組，變形為，這個(gè)方程有無實(shí)數(shù)解，直接判斷不方便，可轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)與的圖象有無交點(diǎn)，而這可利用函數(shù)圖象直接判斷．是開口方向向上的二次函數(shù)，是冪函數(shù)，其圖象一定有交點(diǎn)，因此直線不是的分隔線，過原點(diǎn)的直線還有一條就是，它顯然與曲線無交點(diǎn)，又曲線上兩點(diǎn)一定在直線兩側(cè)，故它是分隔線，結(jié)論得證．試題解析：〔1〕由題得，，∴被直線分隔.又對(duì)任意的，點(diǎn)和在曲線上，滿足，被直線分隔，所以所求的范圍是．〔3〕由題得，設(shè)，∴，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡方程為①當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為.聯(lián)立方程，.令，因?yàn)?，所以方程有?shí)解，直線與曲線有交點(diǎn)．直線不是曲線的分隔線．②當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，其方程為.顯然與曲線沒有交點(diǎn)，又曲線上的兩點(diǎn)對(duì)于直線滿足，即點(diǎn)被直線分隔．所以直線是分隔線．綜上所述，僅存在一條直線是的分割線.【考點(diǎn)】新定義，直線與曲線的公共點(diǎn)問題.13.【2022上海,理23】平面上的線段l及點(diǎn)P.任取l上一點(diǎn)Q，線段PQ長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到線段l的距離，記作d(P，l)．(1)求點(diǎn)P(1,1)到線段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距離d(P，l)；(2)設(shè)l是長(zhǎng)為2的線段，求點(diǎn)的集合D＝{P|d(P，l)≤1}所表示的圖形面積；(3)寫出到兩條線段l1，l2距離相等的點(diǎn)的集合Ω＝{P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中l(wèi)1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是以下三組點(diǎn)中的一組．對(duì)于以下三種情形，只需選做一種，總分值分別是①2分，②6分，③8分；假設(shè)選擇了多于一種的情形，那么按照序號(hào)較小的解答計(jì)分．①A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1,0)②A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1，－2)③A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)【答案】(1);(2)4＋π;(3)參考解析(2)不妨設(shè)A(－1,0)、B(1,0)為l的兩個(gè)端點(diǎn)，那么D為線段l1：y＝1(|x|≤1)、線段l2：y＝－1(|x|≤1)、半圓C1：(x＋1)2＋y2＝1(x≤－1)、半圓C2：(x－1)2＋y2＝1(x≥1)所圍成的