實(shí)驗(yàn) 定積分的近似計(jì)算

實(shí)驗(yàn)定積分的近似計(jì)算第一頁，共十頁，2022年，8月28日定積分的近似計(jì)算我們知道,定積分(設(shè)f(x)0不論在實(shí)際問題中的意義是什么,在數(shù)值上都等于曲線y=f(x),直線x=a,x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.因此,不管f(x)以什么形式給出,只要近似地算出相應(yīng)的曲邊梯形的面積,就得到了所給定積分的近似值.這是定積分近似計(jì)算方法的基本思想.我們介紹兩種常用而簡便的定積分的近似計(jì)算方法,所導(dǎo)出的公式對于f(x)在[a,b]上不是非負(fù)的情形也適用.第二頁，共十頁，2022年，8月28日定積分的近似計(jì)算梯形法梯形法就是把曲邊梯形分成若干個(gè)窄曲邊梯形,然后用窄梯形的面積近似代替窄曲邊梯形面積,把它們相加從而求得定積分的近似值.具體方法如下:用分點(diǎn)a=x0,x1,…將區(qū)間分為個(gè)長度相等的小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間的長度為.設(shè)函數(shù)對應(yīng)于各分點(diǎn)的函數(shù)值為即(i=0,1,…,n).如圖35所示,每一個(gè)窄梯形的面積為：第三頁，共十頁，2022年，8月28日定積分的近似計(jì)算從而有：公式(3)稱為梯形法公式.以下我們來估計(jì)梯形法的誤差.第i個(gè)窄曲邊梯形的面積為：第四頁，共十頁，2022年，8月28日定積分的近似計(jì)算令則，并且當(dāng)時(shí)，t=0,當(dāng)時(shí)，t=1,于是當(dāng)時(shí)，利用分布積分法可以證明：第五頁，共十頁，2022年，8月28日定積分的近似計(jì)算如果當(dāng)時(shí),,那么,第i個(gè)窄曲邊梯形與相應(yīng)的窄梯形面積之差的絕對值將有以下估計(jì):第六頁，共十頁，2022年，8月28日定積分的近似計(jì)算拋物線法梯形法是通過用許多直線段分別近似代替原來的各曲線段,即逐段地用線性函數(shù)近似代替被積函數(shù),從而算出定積分的近似值.為了提高精確度,可以考慮在小范圍內(nèi)用二次函數(shù)來近似代替被積函數(shù),即用對稱軸平行于y軸的拋物線上的一段弧來近似代替原來的曲線弧,從而算出定積分的近似值.這種方法稱為拋物線法,也稱為辛普森(Simpson)法.具體方法如下:第七頁，共十頁，2022年，8月28日定積分的近似計(jì)算用分點(diǎn)a=,將區(qū)間[a,b]分為n(偶數(shù))個(gè)長度相等的小區(qū)間,各分點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為.曲線y=f(x)也相應(yīng)地被分為n個(gè)小弧段,設(shè)曲線上的分點(diǎn)為我們知道,過三點(diǎn)可以確定一條拋物線.于是在每兩個(gè)相鄰的小區(qū)間上經(jīng)過曲線上的三個(gè)相應(yīng)的分點(diǎn)作一條拋物線,這樣可以得到一個(gè)曲邊梯形,把這些曲邊梯形的面積相加,就可以得到所求定積分的一個(gè)近似值.由于兩個(gè)相鄰區(qū)間決定一條拋物線,所以用這種方法時(shí),必須將區(qū)間[a,b]分成偶數(shù)個(gè)小區(qū)間.第八頁，共十頁，2022年，8月28日定積分的近似計(jì)算下面我們先來計(jì)算[-h,h]上以過點(diǎn)的拋物線為曲邊的曲邊梯形的面積.首先,拋物線方程中的p﹑q﹑r可由下列方程組確定:由此得到于是所求面積為：第九頁，共十頁，