北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)專訓(xùn)2 巧作平行線構(gòu)造相似三角形

專2巧平線造似角名師點(diǎn)金解題時(shí)往往會(huì)遇到證的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況添加輔助線構(gòu)造似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法作的輔助線有以下幾種：由比例式作平行線(2)中點(diǎn)時(shí)，作中位線(3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形．巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形1如圖，在△中EF是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE，AF于點(diǎn)P，Q求(第1題過頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形2如圖，在△AC＝BCF為邊上點(diǎn)，連接AD并長交BC于，求的．EC

＝，的點(diǎn)D，(第2題數(shù)學(xué)精品資料設(shè)計(jì)

過一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似角形3如圖，在△中，AB＞AC，在邊上取一點(diǎn)D在AC上一點(diǎn)，使＝，BPBD直線DE和BC的延長線交于點(diǎn)求：＝(第3題過一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形4如圖，在△，點(diǎn)MAC邊中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上點(diǎn)，且AE＝，連接EM并延長交BC的長線于點(diǎn)D.證BC(第)答1解：圖，連接DF，∵EF是BC上兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴BE＝＝數(shù)學(xué)精品資料設(shè)計(jì)

∵是AC的點(diǎn)，∴＝CD.∴DF是△ACE的中位線．∴DF∥AE，且＝∴DF∥∴∠＝∠BFD.又∵∠為共角，BP∴△∽△BFD.∴＝.BFBD∵＝，BD2BP.BP＝∴＝∵DF∥AE，∴∠APQ∠，PAQ＝∠∴△APQ△FDQ.∴＝QDDF設(shè)PE，則＝2aAP＝3a.∴

＝

＝∴

＝(第1題(第)2．如，過點(diǎn)C作CGAE的延長線于點(diǎn)G.∵∥AB，∴DAF＝∠G.又∵為中點(diǎn)，∴CDDF.DAF＝∠G，在△和GDC中，ADF＝∠，

＝，∴△ADF≌△．∴AF＝CG.∵＝，＝∵AB∥CG，∴CGE＝∠，∠BCE＝∠ABE.ABE∽△AB5∴＝＝＝EC2數(shù)學(xué)精品資料設(shè)計(jì)

(第3題3證明如圖，過點(diǎn)作∥交于F，＝∠PDB，＝∠PBD.BPPCFPBD.∴＝.∵ADCF∴∠＝∠EFC.∵ADAE，∴∠ADE＝∠AED.AED∠，EFC＝∠CEP.∴＝BPBD∴＝.(第①)4證明：(方法一如圖①，過點(diǎn)C作∥AB，交DE于點(diǎn)，∴∠FCD又∵∠D為共角，CDF∽△BDE.CD∴＝.BD∵點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，∴AM＝CM.∵CF∥AB∴∠A＝∠MCF.又∵∠，∴△AME≌△∴AE＝CF.∵AE＝AB，BE＝－，AE1∴BE＝3AE.＝3CD∵＝，BDAE∴＝＝，BD＝BD又∵BD＝＋，數(shù)學(xué)精品資料設(shè)計(jì)

∴BC(第②)(方法二)如圖②，過點(diǎn)C∥，交AB于，AEAM∴＝.AFAC又∵點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AM.∴＝AF.∴AE＝AEBF又∵＝，＝EFBFBC又∵CF∥DE∴＝＝2.FECD∴BC(第③)(方法三)如圖③，過點(diǎn)E作EF∥，交AC于F，∴∠AEF∠又∵∠A為共角，∴△AEF∽△ABC.EFAEAF∴＝＝BCAC由AE，EFAEAF1＝＝＝，BCAC∴EF＝，AFAC.由∥CD，易證得△EFM△DCMEF∴＝.又∵AM＝，∴MF＝MC∴EF＝∴BC數(shù)學(xué)精品資料設(shè)計(jì)

(第④)(方法四)如圖④，過點(diǎn)A作AF∥BD，交DE的長線于點(diǎn)，∴∠F∠D，∠FAE＝∠∴△AEF∽△BED.AE∴＝.BD∵AE＝AB1∴AE＝∴AF＝BD.由AF∥，