考點(diǎn)06數(shù)列2022高考數(shù)學(xué)（文）?？伎记皬?fù)習(xí)指導(dǎo)與搶分集訓(xùn)

專題一核心考點(diǎn)速查練考點(diǎn)06數(shù)列核心考點(diǎn)呈現(xiàn)1.數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．2.理解等差、等比數(shù)列的概念；3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；4.等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)．5.熟練掌握常考的錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消以及分組求和這些基本方法，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和方法選擇的靈活性．6.能運(yùn)用數(shù)列的等差、等比關(guān)系解決實(shí)際問題.1．在數(shù)列中，若，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)為().A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴，∴．故選A．2．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31．5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85．5尺，則芒種日影長(zhǎng)為（）A．1．5尺 B．2．5尺 C．3．5尺 D．4．5尺【答案】B【解析】設(shè)這十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則，所以，由題知，所以，所以公差，所以，故選B.3．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，，因此，.故選：D.4．?dāng)?shù)列滿足,且，則（）A．95 B．190 C．380 D．150【答案】D【解析】，即為，故數(shù)列是等差數(shù)列，，故選：D.5．設(shè)等差數(shù)列滿足，且為其前n項(xiàng)和，則數(shù)列的最大項(xiàng)為()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，即，則等差數(shù)列單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，數(shù)列取得最大值故選6．在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和是，若，，則在中最大的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，

所以可得．

這樣，

而>0，，

所以在中最大的是．

故選C．7．等差數(shù)列的公差不為0，是其前項(xiàng)和，給出下列命題：①若，且，則和都是中的最大項(xiàng)；②給定，對(duì)一切，都有；③若，則中一定有最小項(xiàng)；④存在，使得和同號(hào).其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】對(duì)于①若，，可得，即，所以和都是中的最大項(xiàng)，①正確；②根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)可知，所以②是正確的；③根據(jù)等差數(shù)列求和公式可知，，當(dāng)時(shí)，是最小值；當(dāng)，或時(shí)取最大值；④和，因?yàn)?，所以和異?hào)，故④是錯(cuò)誤的.8．設(shè)各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，且S10＝0，則使不等式成立的正整數(shù)n的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】在等差數(shù)列{an}中，由S10＝0，得，則．又∵，可知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則．又．∴當(dāng)n＝10時(shí)，0，當(dāng)n＝11時(shí)，，∴使不等式成立的正整數(shù)n的最小值是11．故選：C．9．在等比數(shù)列中，，，且前項(xiàng)和，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：又和是方程的兩根，解方程得或若等比數(shù)列遞增，則，，解得，解得若等比數(shù)列遞減，則，，解得，解得則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)等于故選10．我國(guó)明代著名樂律學(xué)家、明宗室王子朱載堉在《律學(xué)新說》中提出的十二平均律，即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個(gè)八度音程從一個(gè)鍵到下一個(gè)鍵的8個(gè)白鍵與5個(gè)黑鍵（如圖）的音頻恰好構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列的原理，高音的頻率正好是中音的2倍．已知標(biāo)準(zhǔn)音的頻率為，那么頻率為的音名是（）A．d B．f C．e D．#d【答案】D【解析】從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的左邊一個(gè)單音的頻率的比．故從起，每一個(gè)單音的頻率與它右邊的一個(gè)單音的比為由，解得，頻率為的音名是，故選D.11．設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且A．a(chǎn)1008>C．?n∈N*,1<n<2017,a【答案】．C【解析】A項(xiàng),{an}是等差數(shù)列,a1=1，a2017=2017，所以數(shù)列單調(diào)遞增,錯(cuò)誤;因?yàn)榈炔顢?shù)列的圖象為一次函數(shù)上孤立的點(diǎn),而等比數(shù)列為指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn),且由題意兩個(gè)函數(shù)分別單調(diào)遞增,故畫出相對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象,一條直線與一條下凸的曲線,在自變量n取1和2022時(shí)有交點(diǎn),因此在1<n<201712．已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D解析∵x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y，cd=xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”，故選D13．設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前項(xiàng)的積為,并且滿足條件：；給出下列論:①；②；③值是中最大值；④使成立的最大自然數(shù)等于198.其中正確的結(jié)論是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】．B【解析】由可得又即由，即,結(jié)合，所以，，即，，即，即①正確；又，所以，即，即②錯(cuò)誤；因?yàn)?，即值是中最大值，即③錯(cuò)誤；由，即，即，又，即，即④正確，綜上可得正確的結(jié)論是①④，故選：B.14．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．或【答案】．B【解析】由，及，作差可得：，即，因?yàn)椋?，所以為等比?shù)列.若數(shù)列為遞增數(shù)列，則.解得.故選：B.15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列判斷一定正確是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】利用排除法：考查等比數(shù)列：，，，，滿足，但是，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；考查等比數(shù)列：，，，，滿足，但是，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；該數(shù)列滿足，但是，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；本題選擇D選項(xiàng).16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么下述結(jié)論正確的是（）A．為任意實(shí)數(shù)時(shí)，是等比數(shù)列B．=－1時(shí)，是等比數(shù)列C．=0時(shí)，是等比數(shù)列D．不可能是等比數(shù)列【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若是等比數(shù)列，則若=－1，則是等比數(shù)列.因此選B.17．關(guān)于數(shù)列,給出下列命題：①數(shù)列滿足,則數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列；②“,的等比中項(xiàng)為”是“”的充分不必要條件：③數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則其前項(xiàng)和；④等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則，，成等比數(shù)列,其中假命題的序號(hào)是（）A．② B．②④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解析】命題①：當(dāng)數(shù)列各項(xiàng)是零時(shí),顯然滿足,顯然數(shù)列不是等比數(shù)列；命題②：根據(jù)等比中項(xiàng)的定義一定由,的等比中項(xiàng)為可以推出,但由不一定能推出,的等比中項(xiàng)為,因?yàn)槿绻?顯然成立,但是,沒有等比中項(xiàng);命題③：沒有考慮公比為1這一情況,這個(gè)公式只能用于公比不為1的情況；命題④：沒有考慮公比為1這一情況,當(dāng)公比為1時(shí),，，這三個(gè)數(shù)為零,不能構(gòu)成等比數(shù)列.故選：D18．已知數(shù)列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一項(xiàng)是，第二項(xiàng)是1，接著兩項(xiàng)為，，接著下一項(xiàng)是2，接著三項(xiàng)是，，，接著下一項(xiàng)是3，依此類推.記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小的正整數(shù)的值為（）A．65 B．67 C．75 D．77【答案】C【解析】由題將數(shù)列分成如下的組（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，則第t組的和為，數(shù)列共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，,隨增大而增大，時(shí)，，，時(shí)，，，第65項(xiàng)后的項(xiàng)依次為，，，…，，11，，，…，又，，，，，∴滿足條件的最小的值為.故選：C19．我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家），設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則使不等式成立的最大正整數(shù)的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】,,而,,即,即,故選A20．若，且，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，則______.【答案】【解析】設(shè)數(shù)列，，，的公差為，數(shù)列，，，，的公差為，則，，∴。故答案為：。21．已知函數(shù),且)，若數(shù)列滿足,且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】．【解析】依題意（）.注意到的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.由于數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即，解得.所以的取值范圍是.故答案為：22．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.若是中的最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，也滿足上式；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，；因?yàn)槭侵械淖畲笾?，所以有且，解?故答案為23．記首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】由，得.因?yàn)?，所以?所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，由得.因?yàn)?，所?（2）當(dāng)時(shí)，由得.因?yàn)?，所?綜上所述，的取值范圍是.24．已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且滿足，若對(duì)，恒成立，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，令時(shí)，，和已知兩式相減得①，即②，①-②得，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)從第三項(xiàng)起是等差數(shù)列，，，若對(duì)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，解得：，所以的取值范圍是.25．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則_________.【答案】20.【解析】由題意知：∵數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，∴，∴是等差數(shù)列，又∵，∴，又∵，∴，故答案為．26．已知等差數(shù)列中公差，若成等比數(shù)列，且成等比數(shù)列，若對(duì)任意，恒有，則_________．【答案】1或2【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，即：，結(jié)合整理可得：，由可得：，數(shù)列的通項(xiàng)公式：，則：，即數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，則：，據(jù)此可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得或.27．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，有下列四個(gè)命題：①；②；③;④數(shù)列中的最大項(xiàng)為.其中正確命題的序號(hào)是__________．【答案】①②【解析】∵{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S6＞S7＞S5，∴a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0；∴d=a7﹣a6＜0，故①正確；S11===11a6＞0，故②正確；同理可得，S12=6（a6+a7）＞0，故③錯(cuò)誤；由以上分析可知，公差d＜0，a6＞0，a7＜0，故數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S6，非S11，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的命題是①②．故答案為：①②．28．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,數(shù)列滿足，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.∵時(shí)，滿足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.29．已知數(shù)列和中，數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．設(shè)數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求數(shù)列的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由已知得：，∵當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即為最大，故最大值為.30．已知是由正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和與之間滿足：．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）兩式相減有,化簡(jiǎn)有，（2）31．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出關(guān)于的表達(dá)式；（Ⅱ）若數(shù)列前項(xiàng)和為，問滿足的最小正整數(shù)是多少?【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）滿足的最小正整數(shù)為12.【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，得.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.……5分所以……6分（Ⅱ）……………10分由，得，滿足的最小正整數(shù)為12.…12分32．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，又，也成立，∴是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴.（Ⅱ），∴對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，故，即的取值范圍為.33．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．求的通項(xiàng)公式；若，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)．(2)．【解析】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，解得．當(dāng)時(shí)得，所以常數(shù)，故．由于，所以，所以．34．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若，且對(duì)所有的正整數(shù)都有成立，求的取值范圍.【答案】（1）,；（2）；（3）.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，，，即，，解得，.；（2）由（1）可得，，可得，上式下式，得，因此，；（3），，，，即，則有.所以，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列的最大項(xiàng)為.由題意可知，關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，.由基本不等式可得，當(dāng)且