（浙江專用）2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理、概率第6講離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案

PAGE1-第6講離散型隨機(jī)變量及其分布列最新考綱1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用.知識(shí)梳理1.離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，假設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，那么表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝13.常見離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布：假設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率.(2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，那么P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))診斷自測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)離散型隨機(jī)變量的概率分布列中，各個(gè)概率之和可以小于1.()(2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.()(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7那么它服從兩點(diǎn)分布.()(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.()解析對(duì)于(1)，離散型隨機(jī)變量所有取值的并事件是必然事件，故各個(gè)概率之和等于1，故(1)不正確；對(duì)于(3)，X的取值不是0，1，故不是兩點(diǎn)分布，所以(3)不正確.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A.至少取到1個(gè)白球 B.至多取到1個(gè)白球C.取到白球的個(gè)數(shù) D.取到的球的個(gè)數(shù)解析選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件，選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0，1，2.答案C3.(選修2－3P49A4改編)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p那么p為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,12)解析由分布列的性質(zhì)，eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，∴p＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).答案C4.設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______.解析由于隨機(jī)變量X等可能取1，2，3，…，n.所以取到每個(gè)數(shù)的概率均為eq\f(1,n).∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.答案105.袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，假設(shè)取得黑球那么另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?假設(shè)抽取的次數(shù)為ξ，那么表示“放回5個(gè)紅球〞事件的是()A.ξ＝4 B.ξ＝5C.ξ＝6 D.ξ≤5解析“放回五個(gè)紅球〞表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6.答案C6.從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，那么隨機(jī)變量X＝1的概率為________.解析P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.解由分布列的性質(zhì)知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579|X－1|10123從而由上表得兩個(gè)分布列為(1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列為|X－1|0123P0.10.30.30.3規(guī)律方法(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證兩個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù).(2)假設(shè)X是隨機(jī)變量，那么η＝|X－1|等仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求對(duì)應(yīng)的事件概率，進(jìn)而寫出分布列.【訓(xùn)練1】(2022·麗水月考)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表，那么P(|X－2|＝1)＝()X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,4)meq\f(1,3)A.eq\f(7,12) B.eq\f(1,2) C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,6)解析由|X－2|＝1得X＝1或3，m＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋\f(1,4)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,4)，∴P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).答案C考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列【例2】(2022·天津卷節(jié)選)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng).參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列.解(1)由，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以，隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.提醒求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所有取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí).【訓(xùn)練2】某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，假設(shè)發(fā)現(xiàn)存量少于2件，那么當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否那么不進(jìn)貨，將頻率視為概率.(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.解(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的分布列為X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)考點(diǎn)三超幾何分布【例3】(2022·嘉興模擬)某外語學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語；2人只會(huì)英語，3人既會(huì)法語又會(huì)英語，現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問.(1)在選派的3人中恰有2人會(huì)法語的概率；(2)在選派的3人中既會(huì)法語又會(huì)英語的人數(shù)X的分布列.解(1)設(shè)事件A：選派的三人中恰有2人會(huì)法語，那么P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(4,7).(2)依題意知X的取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，∴X的分布列為X0123Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)規(guī)律方法超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對(duì)象分兩類；(2)各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3)從中抽取假設(shè)干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.【訓(xùn)練3】(2022·昆明調(diào)研)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2022，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2022年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25，35](35，45](45，55](55，65](65，75](75，85]頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量到達(dá)一級(jí)的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列.解(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量到達(dá)一級(jí)〞為事件A，那么P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(21,40).(2)依據(jù)條件，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,3)·Ceq\o\al(3－k,7),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3).∴P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(0,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,120).因此X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)[思想方法]1.對(duì)于隨機(jī)變量X的研究，需要了解隨機(jī)變量取哪些值以及取這些值或取某一個(gè)集合內(nèi)的值的概率，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，它的分布正是指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取這些值的概率.2.求離散型隨機(jī)變量的分布列，首