平面解析幾何（選擇題填空題）1（解析版）

平面解析幾何1（選擇題、填空題）1．【2022年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【名師點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．【2022年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．【名師點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng)．解答時，利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程，從而解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，從而得到選D．3．【2022年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設(shè)F為雙曲線C：的右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點．若，則C的離心率為A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，∴，，又點在圓上，，即．，故選A．【名師點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．解答本題時，準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a的關(guān)系，可求雙曲線的離心率．4．【2022年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為A． B．C． D．【答案】A【解析】由，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則，，故選A．【名師點睛】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積．5．【2022年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2b D．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率，化簡得，故選B.【名師點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識?基本運(yùn)算能力的考查.由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.6．【2022年高考北京卷理數(shù)】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）．給出下列三個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號是A．① B．②C．①② D．①②③【答案】C【解析】由得，，，所以可取的整數(shù)有0，?1，1，從而曲線恰好經(jīng)過(0，1)，(0，?1)，(1，0)，(1，1)，(?1，0)，(?1，1)，共6個整點，結(jié)論①正確.由得，，解得，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示，易知，四邊形的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說法③錯誤.故選C.【名師點睛】本題考查曲線與方程?曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用，屬于難題，注重基礎(chǔ)知識?基本運(yùn)算能力及分析問題、解決問題的能力考查，滲透“美育思想”.將所給方程進(jìn)行等價變形確定x的范圍可得整點坐標(biāo)和個數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點到坐標(biāo)原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.7．【2022年高考天津卷理數(shù)】已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點和點，且（為原點），則雙曲線的離心率為A． B．C． D．【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有，∴，，，∴.故選D.【名師點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度.解答時，只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率.8．【2022年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選C.【名師點睛】本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進(jìn)一步可得離心率，屬于容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.理解概念，準(zhǔn)確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.9．【2022年高考北京卷理數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線的距離，當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】P為單位圓上一點，而直線過點A（2，0），所以d的最大值為OA+1=2+1=3,故選C.【名師點睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．10．【2022年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【解析】直線分別與軸，軸交于，兩點，,則.點P在圓上，圓心為（2，0），則圓心到直線的距離.故點P到直線的距離的范圍為，則.故答案為A.【名師點睛】本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題.先求出A，B兩點坐標(biāo)得到再計算圓心到直線的距離，得到點P到直線距離的范圍，由面積公式計算即可.11．【2022年高考浙江卷】橢圓的離心率是A． B．C． D．【答案】B【解析】橢圓的離心率，故選B．【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等．12．【2022年高考全國Ⅱ理數(shù)】已知，是橢圓的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B．C． D．【答案】D【解析】因為為等腰三角形，，所以，由的斜率為可得，所以，，由正弦定理得，所以，所以，，故選D．【名師點睛】解決橢圓的離心率的求值及范圍問題的關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，而建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.13．【2022年高考全國Ⅲ理數(shù)】已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．【答案】A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A．【名師點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見的有兩種方法：①求出a，c，代入公式e＝；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).14．【2022年高考浙江卷】雙曲線的焦點坐標(biāo)是A．(?，0)，(，0)B．(?2，0)，(2，0)C．(0，?)，(0，)D．(0，?2)，(0，2)【答案】B【解析】設(shè)的焦點坐標(biāo)為，因為，，所以焦點坐標(biāo)為，故選B．15．【2022年高考天津卷理數(shù)】已知雙曲線的左焦點為，離心率為．若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，故選B．【名師點睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程是高考的常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于的方程（組），解方程（組）求出的值．另外要注意巧設(shè)雙曲線方程的技巧：①雙曲線過兩點可設(shè)為，②與共漸近線的雙曲線可設(shè)為，③等軸雙曲線可設(shè)為．16．【2022年高考全國Ⅱ理數(shù)】雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，故選A．17．【2022年高考全國Ⅱ理數(shù)】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為A．2 B．C． D．【答案】A【解析】由幾何關(guān)系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線的距離為，則點到直線的距離為，即，整理可得，則雙曲線的離心率．故選A．【名師點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．18．【2022年高考全國III理數(shù)】已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則C的方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】雙曲線C：(a＞0，b＞0)的漸近線方程為，在橢圓中：，，故雙曲線C的焦點坐標(biāo)為，據(jù)此可得雙曲線中的方程組：，解得，則雙曲線的方程為．故選B．【名師點睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值.如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.19．【2022年高考全國III理數(shù)】設(shè)，是雙曲線的左、右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可知，，，在中，，在中，，，即，，故選C．20．【2022年高考全國I理數(shù)】設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則=A．5 B．6C．7