湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2020-2021學(xué)年高一年級下冊學(xué)期6月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2021年春季高一大聯(lián)考

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.設(shè)集合"=｛州"｝,B=｝則“xeZ”是“xeB”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

2.函數(shù)"x）=bg3X+x-3的零點所在的一個區(qū)間是（）

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

,3吟V3

sin0-----=——

3.已知I2J3,則2sin2(9=()

24273473

A.3B.3C.3D.2

4.已知平面直角坐標(biāo)系xQy中，原點為。，點3）,8（-1,0）,。3，°）,則向量或在向量8C方

向上的投影向量為（）

-BC直就--BC

--------nC

A.4B.4C.4D.4

5.已知"Si,6=1叫5,。=噫2,則()

Ab>a>cB.c>b>aQb>c>aD.a>b>c

6.已知直三棱柱'8C—44G的6個頂點都在球。的球面上，若AB=3,AC=4tAB1AC,

'4=12,則球。的表面積為（）

A.153兀B.160兀C.1697rD.360兀

7.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦

圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若

BC—a,BA=b,BE=3EF,則BF-（）

A

C

12-916-12

—Q+——7b—Q+—b7

A.2525B.2525

-a+h匕

C.55D.55

/⑷+/9）+2<0,則（）

8.已知函數(shù)2，+1,且〃

A.a+b<0B.〃+b〉0

Qci—b+1>0Da+b+2<0

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.若復(fù)數(shù)z滿足G+2）I=3+4I&為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（）

B.比作

A.z的虛部為一3i

C.z的共軌復(fù)數(shù)為2+3iD.z是第三象限的點

10.設(shè)平面向量a,t>,。均為非零向量，則下列命題中正確的是（）

A.若。*=4七，則B=c

B.若?III'I,則。與b共線

卜+對=|"對一?7

C.若IIII,則

_-f_5+81

D.已知”=°'2）,"=04）且%與￡+4石的夾角為銳角，則實數(shù)幾的取值范圍是I3，>

11.在△NBC中，角/、B、C的對邊分別為人b、c,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.在AZ8C中，若A>B,則sinZ>sin8

B.若sin24=sin28,則A48C是等腰三角形

C.若acosB-bcos4=c,則是直角三角形

D.若/+/-。2>0,則ANBC是銳角三角形

12.意大利畫家列奧納多?達(dá)?芬奇（1452.4—1519.5）的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色

珍珠項鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達(dá)?芬奇提出固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自

然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：

xe"+e~x

/（x）=acosh—coshx=-------

a,其中。為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其表達(dá)式為2,相應(yīng)

八x-X

sinhx=-------

地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為2.則下列關(guān)于雙曲正、余弦函數(shù)結(jié)論中正確的是（

)

A.cosh2x-sinh2x=1

Bcosh（x+y）=coshxcoshy-sinhxsinhy

Csinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy

D.V=c°shx為偶函數(shù)，且存在最小值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數(shù)/（*）=sm（2x+。）為偶函數(shù)，則。的一個值為.（寫出一個即可）

14.已知向量“（，），（，,）,若。。,則tan20=.

15.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式e"=cosx+isinx,這

個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，則/+1=；

fl5丫

22

'J.（第一空2分，第二空3分）

16.在中，乙4cB為鈍角，AC=BC=l,CO=xC4+yC8且x+y=1,函數(shù)

73

的最小值為2,則的最小值為

四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）如圖，在平行四邊形/8CD中，點E、F、G分別在邊/8、AD、8C上，且滿足

112

AE=-ABAF=-ADBG=-BC-.--._

3,3,3，設(shè)=AD=b

（1）用。，5表示而，EG-,

⑵若EFLEG,ABEG^lab,求角4的值.

18?（本題滿分12分）如圖，四棱臺"8—44G。，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形,

且為8=50cm,481=40cm,AA}=10cm

⑴求四棱臺"co-44GA,的側(cè)面積；

（2）求四棱合/'8-44GA,的體積.（臺體體積公式憶一式S"S小Jss）〃）

入.B+C

19.(本題滿分12分)在條件①(j)(sin"+sin8)=c(sinC-sin8)；②百丁=asi*③

cos2A-cos28=2sinC(sin5-sinC)

中任選一個，補充以下問題并解答:

H

A

如圖所示，AZBC中內(nèi)角/、B、C的對邊分別為4、b、c,,且3C=3,。在/c上,

AB=AD.

(1)若BD=2,求sin/"C8；

(2)若BD=2CD,求/c的長.

f(x)=4sinxcos

20.（本題滿分12分）己知函數(shù)

（1）求/（“）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在中，角X、B、C的對邊分別為a、b、c.若,。=2,求面積的最大值.

21.（本題滿分12分）今年，我國某一企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃在2021年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款

新手機.通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬元，每生產(chǎn)x（干部）手機，需另投入成

10x2+100x,0<x<40,

A（x）=[10000

.-701x+-^^-9450,x>40.

本"J萬元，且Ix由市場調(diào)研知，海部手機售價0.7萬元，且全年內(nèi)

生產(chǎn)的手機當(dāng)年能全部銷售完.

（1）求出2021年的利潤“（X）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）；

（2）2021年產(chǎn)量為多少（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？

/（x）=lg[2+a]

22.（本題滿分12分）已如函數(shù)1%一1）,aeR.

（1）若函數(shù)/（x）是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；

（2）在（1）的條件下，判斷函數(shù)V=/（x）與函數(shù)丁=愴2'的圖象公共點個數(shù)，并說明理由;

（3）當(dāng)時，函數(shù)V=/（2,）的圖象始終在函數(shù)V=1g（4一2'）的圖象上方，求實數(shù)。的取值范圍.

名校聯(lián)考聯(lián)合體2021年春季高一大聯(lián)考

數(shù)學(xué)答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

題號12345678

答案CBBAACBA

1.c"={H|X|，1}={X|-1W1},'={X|-1"X<1},則"冬",即"€小，是“xe8”的必要

不充分條件.

2.B函數(shù)/（“）=噫》+丫-3在（0,+8）上單調(diào)遞增且連續(xù)，目/（2）=log32+2-3=噫2-1<0,

./（3）=log33+3-3=l>0；故函數(shù)/（x）=l0g3x+x—3的零點所在的一個區(qū)間是⑵3）.

sin(6-型］=—^CGS0=^~2sin2=2(1-cos22x^1--^=—

由I2J3,得3,則I3J3

3.B

4.A或=（1,G）,脛=（4，°））,向量0在向量更方向上的投影向量為8°=（L°）=K

5.A?.?l=3.2°<a=3.2°」<3.2°5<4°5=2,b=log25〉log24=2,2=1<)S3^<C

log2<log3=1

33，?.?h>a>c

6.c由題意，三棱柱'BC-44G為直三棱柱"'C-44G,底面/8c為直角三角形，把直三棱柱

44a補成回棱柱，則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，所以外接球半徑為

J-^2+42+122=—,

22,則三棱柱/BC—MAG外接球的表面積是4兀&2=169兀.

7.B法一：過F作EGL6C于G,不坊設(shè)8E=3,EF=1,則8b=4,FC=BE=3,所以8C=5,

1216一16一一-12一—一一16—12—■

FG=—BG=—BG=—BCGF=—BABF=BG+GF=—BC+—BA

5,5,所以25,25,所以2525

BF^BC+CF=BC+-EA=JC+-(EB+BA}=BC+-\--BF+BA\

法二：4J4(4J,即

BF^BC+1[_1BF+BA\BF=^BC+^BABF=-a+-b

414人解得2525,即2525.

法三：建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)解決.

22,-1

8.A令g(')=/a"=/一二+1+對，則g(r)*g(x),g(x)是奇函數(shù)，且易知

/㈤在R上遞增，則8⑶在R上遞增，又/⑷+/0)+2=/(a)+l+")+l=g(a)+g(b)<O,

故g,)<—g(b)=g(-b),故〃<一6,a+b<0.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

題號9101112

答案BCBCACACD

_3+4i_(3+4i)(-i)__

9.BC?.?(Z+2)I=3+4I,「i-i2i,虛部為-3,忖=回，共軌復(fù)

數(shù)為2+3i,z是第四象限的點.

10.BC當(dāng)b,C在a方向上的投影相同時，顯然b=c不一定成立，A錯誤；若IIIuI,則向量夾角

8=0或兀，。與b同向或反向，共線，B正確；若IIII,兩邊平方得，a+=Q,即c正

--,,7a-（a+Ab）=32+5>0i-八

確；若°與a+Xb的夾角為銳角，則<）,且4H0,所以D不正確.

11.AC在AZBC中，若根據(jù)大邊對大角，所以利用正弦定理，所以2Rsin4>2Rsin8,

則sin/>sin8,故選項A正確；對于選項B,?.?sin24=sin28,.?.2/=28或24+28=兀，，叩

A+B^~

/=5或2,ANBC為等腰或直角三角形，即選項B錯誤；對于選項C,由余弦定理知,

a-c

2ac2bc,化簡整理得/=〃+/,.?.△/BC為直角三角形，即選項c正確,

（也可以化邊為角）;對于選項D,/+〃-。2>°只能說明。為銳角，而角4和8不確定，即選項D錯

誤.

AJQT、2?、22x-2x_2x_-2x

e+eeJ-ee+e+2e+2e

cosh2x-sinh2x=-----------------------------=1

F4,故

12.ACD對于A.7

ex+eev+e-be》—尸

coshxcoshy-sinhxsinhy

22-

A正確；對于B.22

y+e-r+e'f+ee+e--e-ee+e.、

---------------------------=---------=cosh(zx-y)

442,故B錯誤；對于C,

v-xQ?-一，-X.-xq-yAx+?yv

e-ee-+e-e+ee--ee—e'

sinhxcoshy+coshxsinh”——-——---------1---------sinh(x+y)

2222,故C

,z\e'+eA入xtt1、c

cosh(-x)=------=coshxe+e=e+—>2

正確；對于D.2,故函數(shù)為偶函數(shù)，由于ev,故

coshx=^l>l

2（當(dāng)且僅當(dāng)》=°時，等號成立），故D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

兀e左兀+兀e兀

13.2（答案不唯一）?.?函數(shù)丁=0皿2"+。）為偶函數(shù)，...5,kwZ,故可取2

14.3因為向量Q=(1'3),B=(sinasing-cos。)，且a〃g,所以sing_cos，_3sing=0,即

tan20=

sin。

tan6=

cos^2,所以

1百.兀..兀守

..—+——1=cos—+isin—=U

5.o；—1e"+1=cos7i+isin兀+1=-1+1=0,2233因此，

ri3丫?丫..,

一+——i=e3=cos兀+ism兀=-1

\22)\).

16>2兀

-f(\—/ACB=—

16.2法一：由向量減法模的幾何意義和函數(shù)‘ni的最小值為2知3,且。點在直線

上，當(dāng)CO,月8時，最小，為3.

V3

法二：在AN8C中，NZC6為鈍角，AC=BC=\,函數(shù)/（'"）的最小值為2.

/（加）=甲-用函=7^+nrCB—2mCACB-J1+加之-2mcos/ACB>

工函數(shù)2

化為4〃?2-8加cosZ.ACB+1之0恒成立

ZM=8COSN/CB.os4c8cosZACB=--ZACB=—

當(dāng)且僅當(dāng)8時等號成立，代入得到2,二3.

2

CO|2=X2C42+/C52+2AJC4-C5=X2+y~+2xyxcos—=+(1-x)~-x(l-x)=3X-1

1

+—

4,

當(dāng)且僅當(dāng)x-5，時，取得最小值a,

I可I

1的最小值為2.

四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

,?.1------1.1—1—?

EF=AF-AE=-AD--AB=-b--a

17.(1)3333,

EG=EB+BG=-AB+-AD=±b+與

3333.4分

(2)若EF1EG,則￡E-￡G=°,

即泊聯(lián)+,同明,6分

AB.EG=a.-a+b^^a+^a-b=2a-b

又133,

：.a2=2a-b,8分

.同2=2同BJcosZ即cos/=g

3.10分

18.(1)...側(cè)面是全等的等腰梯形，/8=50cm,N￡=40cm,AAX=10cm；

、而巨f=5版m

??.斜高為'I2J

3分

ARTn4x—(40+50)x573=900百cm?

則四棱臺""〃一442的側(cè)面積為26分

(2)...側(cè)面是全等的等腰梯形，Z6=50cm,44=40cm,〃4=10cm

J1O2-(5V2^=5及cm

四棱臺的高為'V7,9分

2223

K=-(40+V40X50+5()2\5&="加底Cm

四棱臺的體積為3、)3.12分

19選①一b)(sin力+sin8)=c(sinC-sinS)

由正弦定理得，(j)g+6)=c(。一叱

,,,cos”J2-八

整理得，b+c--a-=bc,由余弦定理得：2hc2

,兀

A.——

由/為三角形內(nèi)角得，3；3分

bsinB=asin6

選②2

sinBsin\-——|=sinJsinB

由8+C=TT—4得，I2J

sin]—--|=sin/cos—=sin/=2sin—cos—cos—>0

因為sm6〉0,所以I2J，即222,由于2

2sin—=1sin—=—A=—

所以2，即22,故3.

選③cos24-cos28=2sinC(sin8-sinC)

所以1—2sin-/_]+2sirr8=2sinC(sinB_sinC),整理得,sin25+sin2C-sin2J=sin5sinC,

,b2+C1-a11

)2-)cosA=-----------=—

由正弦定理得，"+C一片=bc,由余弦定理得，2hc2,

,兀

A=-

由/為三角形內(nèi)角得，3；

(1)因為3,BD=2,且4B=4D,

所以A/BD為等邊三角形，

所以/8￡>C=120°,BD=2,BC=3,

BC_BD

△8OC中，由正弦定理得，sinZBDCsinZBCD,

32

即sin120°sin/BCD,

h

sinZACB=sin/BCD=——

所以3,6分

(2)設(shè)℃==1，則“0=48=80=2x,AC—3x9

4/+9--9

cos60°=

中，由余弦定理得,2?2x?3x2,

x匹AC小

故7,7.12分

rvii

/(x)=4sinxcos4sinx——COSX+一sinx

22

20.(1)函數(shù)/

TTTTTTTTTT

2kn—<2x——<2E+—ku——<x<bi+—

令262,求得63,左eZ,

,71.71

kit----,kuH—

可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為63AeZ.6分

2sin[z-[)+l=lsin14一看

（2）在"BC中，若°公

1,.Abe

—bc-smA=—

/.“BC面積為24

a=2,根據(jù)余弦定理可得02=4-b2+c2-2hc-cosA=b~+c2-#>bc>2hc—6bc

從《舟=4（2+右）

_—Z>c-sin=—<2+>/3

,”BC面積為24

故"BC面積的最大值為2+G.

21.(i)當(dāng)0<x<40時，〃(x)=70°x-(1°、2+10°、)_250=-10/+600》_250分

”，1000010000

%(x)=700x-701x+-----------9450-250=-x+---+---9-2--00

x

當(dāng)x?40時，X,4分

—10x~+600x—250,0<x<40,

(V(x)=-10000、

--+--9-2-0-0,x>40.

X7

5分

⑵若0<x<40,力(x)=-10(x-30)+8750

當(dāng)x=3°時,%CO1rax=8750萬元,7分

10000

?。▁）x-\----------+9200<9200-2V10000=9000

x

若"40,，9分

10000

當(dāng)且僅當(dāng)"x時，即xTOO時，“Ox=9000萬元，1I分

.??2021年產(chǎn)量為100（干部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.12分

2

/(x)=1g-----+a

22.(1)函數(shù)x-\為奇函數(shù),

告+a]+lg■A

所以對于定義域內(nèi)任意X,都有/（x）+/（-x）=°,BP8