2020-2021人教版數(shù)學(xué)第二冊教師用書：第10章 章末綜合提升含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊教師用書：第10章章末綜合提升含解析［鞏固層·知識整合］［提升層·題型探究]隨機事件的關(guān)系與性質(zhì)【例1】(1）下列命題：①將一枚硬幣拋兩次,設(shè)事件M:“兩次出現(xiàn)正面”,事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對立事件；②若事件A與B互為對立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對立事件；④若事件A與B互為對立事件，則事件A∪B為必然事件，其中，真命題是(）A．①②④B．②④C．③④D．①②（2）某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B,C，求：①P（A），P(B），P（C）;②1張獎券的中獎概率；③1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．（1)B［對①，一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正｝，｛正，反}，｛反，正},｛反，反｝四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故①錯;對②，對立事件首先是互斥事件，故②正確；對③,互斥事件不一定是對立事件，如①中兩個事件，故③錯;對④，事件A，B為對立事件，則一次試驗中A,B一定有一個要發(fā)生，故④正確．故選B．](2）［解］①P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f（10，1000)＝eq\f(1，100)，P（C)＝eq\f(50，1000）＝eq\f（1，20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1，1000），eq\f（1,100),eq\f(1，20）。②1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C．∵A，B，C兩兩互斥，∴P（M）＝P(A∪B∪C)＝P（A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f（61,1000）.故1張獎券的中獎概率為eq\f（61，1000）.③設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎"為對立事件，∴P(N）＝1－P（A∪B）＝1－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f（1，100）)）＝eq\f（989，1000)。故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989，1000）。求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接法,先求該事件的對立事件的概率，再由PA＝1－Peq\x\to（A）求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法.eq\o（［跟進(jìn)訓(xùn)練］)1．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球,得到紅球的概率是eq\f(1,3）,得到黑球或黃球的概率是eq\f（5，12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5，12)，試求得到黑球、黃球和綠球的概率各是多少?[解]法一：從袋中選取一個球,記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A，B，C,D，則有P（A)＝eq\f(1,3），P（B∪C）＝P(B)＋P（C）＝eq\f（5,12），P（C∪D）＝P(C）＋P(D)＝eq\f(5，12)，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P（C）＋P（D)＝1－P（A）＝1－eq\f（1,3）＝eq\f（2,3）,解得P（B)＝eq\f(1,4），P(C)＝eq\f（1,6)，P（D)＝eq\f（1,4),因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是eq\f（1，4）,eq\f(1，6)，eq\f(1,4）。法二：設(shè)紅球有n個,則eq\f（n，12）＝eq\f(1,3)，所以n＝4，即紅球有4個．又得到黑球或黃球的概率是eq\f（5，12)，所以黑球和黃球共5個．又總球數(shù)是12,所以綠球有12－4－5＝3（個)．又得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5，12),所以黃球和綠球共5個，而綠球有3個,所以黃球有5－3＝2（個）．所以黑球有12－4－3－2＝3(個）．因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是eq\f(3，12)＝eq\f（1，4），eq\f(2,12)＝eq\f（1,6)，eq\f（3,12)＝eq\f（1,4）.古典概型【例2】袋中有形狀、大小都相同的4個小球，（1)若4個小球中有1只白球，1只紅球,2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，求這2只球顏色不同的概率;（2)若4個小球顏色相同，標(biāo)號分別為1，2，3,4，從中一次取兩球，求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率；(3)若4個小球中有1只白球，1只紅球，2只黃球，有放回地取球,取兩次，求兩次取得球的顏色相同的概率．[解］（1)設(shè)取出的2只球顏色不同為事件A．試驗的樣本空間Ω＝｛(白,紅)，（白，黃1），(白，黃2），(紅，黃1)，(紅，黃2)，（黃1，黃2）｝,共6個樣本點，事件A包含5個樣本點，故P(A）＝eq\f(5，6）.(2)試驗的樣本空間Ω＝｛（1,2)，(1,3)，（1，4）,（2，3），(2，4)，（3,4)｝，共6個樣本點，設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件B，則B包含的樣本點為(1,2）,（1,4)，(2，3),(3，4)，共4個，所以P(B)＝eq\f（4，6)＝eq\f（2，3).（3)試驗的樣本空間Ω＝{（白，白）,（白，紅)，(白，黃1),（白，黃2),(紅，紅）,（紅，白),(紅，黃1）,(紅，黃2)，(黃1，黃1),(黃1，白),(黃1，紅),(黃1，黃2），(黃2，黃2），(黃2，白),(黃2,紅),（黃2，黃1)}，共16個樣本點，其中顏色相同的有6個，故所求概率為P＝eq\f（6，16）＝eq\f（3，8)。求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的樣本點的總數(shù)和事件A包含的樣本點的個數(shù)，這就需要正確求出試驗的樣本空間，樣本空間的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇。eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝（m,n)，b＝（1，－3）．(1)求使得事件“a⊥b"發(fā)生的概率;(2)求使得事件“|a｜≤|b｜”發(fā)生的概率．[解］(1）由題意知，m∈{1,2，3，4，5，6｝,n∈{1，2，3，4,5,6｝，故(m,n)所有可能的取法共36種．a(chǎn)⊥b，即m－3n＝0,即m＝3n,共有2種：(3，1),(6,2)，所以事件a⊥b的概率為eq\f(2,36）＝eq\f（1,18)。（2)｜a|≤|b｜，即m2＋n2≤10，共有6種：(1,1)，（1,2)，（1,3)，(2，1)，（2，2),（3，1),其概率為eq\f(6，36)＝eq\f(1，6）。相互獨立事件的概率【例3】在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1到5號）登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中選3名歌手．(1）求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；（2）X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求“X≥2"的事件概率．[解］（1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手"，觀眾甲選出3名歌手的樣本空間Ω＝｛(1,3，4)，（1，3，5），（1，4,5）}，事件A包含2個樣本點，則P（A)＝eq\f(2，3），設(shè)B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”,觀眾乙選出3名歌手的樣本空間Ω＝{(1,2,3），（1，2,4），(1,2，5），(1,3,4)，(1,3,5）,(1,4，5）,（2，3，4)，(2，3，5)，（2,4,5)，（3，4,5)｝，事件B包含6個樣本點，則P(B)＝eq\f（6,10）＝eq\f（3,5).∵事件A與B相互獨立，A與eq\x\to(B）相互獨立，則Aeq\x\to(B)表示事件“甲選中3號歌手,且乙沒選中3號歌手”．∴P（Aeq\x\to（B))＝P（A）·P（eq\x\to（B）)＝P(A)·[1－P(B）］＝eq\f(2，3)×eq\f（2，5)＝eq\f(4,15)。即觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率是eq\f(4,15）.（2）設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手"，則P(C）＝P（B)＝eq\f（3,5），依題意,A，B，C相互獨立，eq\x\to(A），eq\x\to（B），eq\x\to(C）相互獨立,且ABeq\x\to（C），Aeq\x\to（B）C，eq\x\to(A)BC，ABC彼此互斥．又P（X＝2)＝P（ABeq\x\to（C））＋P(Aeq\x\to（B）C）＋P（eq\x\to（A)BC）＝eq\f（2，3）×eq\f(3,5)×eq\f(2，5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2，5)×eq\f（3,5）＋eq\f(1，3）×eq\f（3，5)×eq\f（3，5)＝eq\f(33，75）,P（X＝3）＝P（ABC）＝eq\f（2,3)×eq\f（3，5)×eq\f（3,5)＝eq\f(18，75),∴P(X≥2)＝P(X＝2）＋P(X＝3）＝eq\f（33，75)＋eq\f(18,75）＝eq\f(17,25)。相互獨立事件中求復(fù)雜事件概率的解題思路（1）將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的簡單事件的和．(2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個已知（易求）概率的相互獨立事件的積事件．(3)代入概率的積、和公式求解．eq\o（［跟進(jìn)訓(xùn)練］)3．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上"為事件A，“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)"為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是（）A．eq\f（5,12)B．eq\f（1，2)C．eq\f（7,12)D．eq\f(3,4)D［P(A）＝eq\f（1,2),P（B)＝eq\f（1,2)，P(eq\x\to（A））＝eq\f(1，2），P(eq\x\to(B））＝eq\f（1,2).A，B中至少有一件發(fā)生的概率為1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B）)＝1－eq\f（1,2）×eq\f(1,2）＝eq\f(3，4），故選D．］概率統(tǒng)計的綜合應(yīng)用【例4】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50），[50,60)，…，[80，90)，［90,100]．（1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；（3)從評分在[40，60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人的評分都在[40,50）的概率．[解]（1）因為（0。004＋a＋0。018＋0。022×2＋0。028）×10＝1，所以a＝0。006。(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0。022＋0。018)×10＝0。4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4。(3)受訪職工中評分在［50,60）的有：50×0。006×10＝3（人),記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在［40,50）的有：50×0.004×10＝2（人)，記為B1，B2。從這5名受訪職工中隨機抽取2人，試驗的樣本空間Ω＝｛（A1，A2），（A1，A3)，（A1,B1），(A1，B2），（A2，A3)，(A2，B1),(A2，B2),（A3，B1)，（A3，B2），（B1，B2）｝,共10個樣本點．又因為所抽取2人的評分都在［40,50）的結(jié)果有1種，即(B1，B2）,故所求的概率為eq\f（1,10）。破解概率與統(tǒng)計圖表綜合問題的三個步驟第一步:會讀圖，能讀懂已知統(tǒng)計圖表所隱含的信息，并會進(jìn)行信息提?。诙剑簳D(zhuǎn)化,對文字語言較多的題目,需要根據(jù)題目信息耐心閱讀，步步實現(xiàn)文字語言與符號語言間的轉(zhuǎn)化．第三步:會運算，對統(tǒng)計圖表所反饋的信息進(jìn)行提取后，結(jié)合古典概型的概率公式進(jìn)行運算．eq\o(［跟進(jìn)訓(xùn)練］）4．海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位:件）如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測．地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1）求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量;（2）若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．[解]（1）因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f（1，50)，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50×eq\f（1，50）＝1，150×eq\f（1,50)＝3,100×eq\f（1，50)＝2。所以A，B,C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1，3，2.（2)設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1,C2。則從6件樣品中抽取2件商品，試驗的樣本空間Ω＝{（A，B1)，(A，B2),(A，B3），(A，C1），（A，C2）,(B1，B2)，(B1，B3），(B1,C1)，（B1，C2)，（B2，B3)，(B2，C1)，（B2，C2）,（B3，C1），(B3,C2）,(C1，C2），共15個樣本點．每個樣品被抽到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的樣本點有：（B1，B2),(B1，B3），（B2，B3)，(C1，C2)，共4個．所以P(D)＝eq\f（4，15），即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f（4,15)。［培優(yōu)層·素養(yǎng)升華］【典例】隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品．為了調(diào)查廣大市民理財產(chǎn)品的選擇情況，隨機抽取1100名使用理財產(chǎn)品的市民,按照使用理財產(chǎn)品的情況統(tǒng)計得到如下頻數(shù)分布表:分組頻數(shù)（單位：名)A類xB類yC類40其他理財產(chǎn)品60合計1100已知這1100名市民中，使用A類理財產(chǎn)品的人比使用B類理財產(chǎn)品的人多200名．(1）求頻數(shù)分布表中x,y的值；（2）已知2019年A類理財產(chǎn)品的平均年化收益率為2。8％,B類理財產(chǎn)品的平均年化收益率為4。2％,C類理財產(chǎn)品的平均年化收益率為4。82%，有3名市民,每個人理財?shù)馁Y金都有10000元，且分別存入A，B，C三類理財產(chǎn)品，求這3名市民2019年理財?shù)钠骄昊找媛剩?3）若在使用A類理財產(chǎn)品和使用B類理財產(chǎn)品的市民中按分層隨機抽樣的方法共抽取5人，然后從這5人中隨機選取2人，求這2人都使用B類理財產(chǎn)品的概率．注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利率，理財產(chǎn)品“平均年化收益率為3%",即將100元錢存入某理財產(chǎn)品,一年可以獲得3元利息．［解]（1）根據(jù)題意,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y＝200,，x＋y＋40＋60＝1100，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝600,，y＝400.））（2）將10000元存入A類理財產(chǎn)品的利息為10000×2.8％＝280（元）；將10000元存入B類理財產(chǎn)品的利息為10000×4.2%＝420(元);將10000元存入C類理財產(chǎn)品的利息為10000×4。82%＝482（元）．所以這3名市民2019年理財?shù)钠骄昊找媛剩絜q\f(280＋420＋482，30000)×100％＝3。94%.(3)由600∶400＝3∶2，得共抽取的這5人中使用A類理財產(chǎn)品的有3人，使用B類理財產(chǎn)品的有2人．設(shè)這5人中，使用A類理財產(chǎn)品的分別為A1,A2，A3，使用B類理財產(chǎn)品的分別為B1，B2，則從5人中隨機選取2人的樣本空間Ω＝｛(A1，A2），（A1，A3)，(A2,A3）,(B1，B2)，（A1，B1），(A1，B2),(A2，B1)，(A2，B2),(A3，B1）,（A3，B2)｝，共有10個樣本點，其中2人都使用B類理財產(chǎn)品的樣本點為（B1，B2），只有1個樣本點,所以這2人都使用B類理財產(chǎn)品的概率P＝eq\f（1,10)。本題主要考查頻數(shù)分布表與古典概型的概率相交匯，意在考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)