（江蘇專用）2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)教師用書理蘇教版

PAGEPAGE13第四章三角函數(shù)、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)教師用書理蘇教版1.角的概念(1)任意角：①定義：角可以看做平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.(2)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.(3)象限角：使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.2.弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧長公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3.任意角的三角函數(shù)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時，sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).三個三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4.三角函數(shù)線如圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1，0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點(diǎn)T.三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線【知識拓展】1.三角函數(shù)值的符號規(guī)律三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊台暬颉啊哩?(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.(×)(2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).(√)(3)不相等的角終邊一定不相同.(×)(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(√)(5)假設(shè)α∈(0，eq\f(π,2))，那么tanα>α>sinα.(√)(6)假設(shè)α為第一象限角，那么sinα＋cosα>1.(√)1.(教材改編)在0°到360°之間與－120°終邊相同的角是________.答案240°解析與－120°終邊相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，由0°≤－120°＋k·360°＜360°，k∈Z，得eq\f(1,3)≤k<eq\f(4,3)，又k∈Z，所以k＝1，此時α＝－120°＋360°＝240°.2.(教材改編)圓心角為eq\f(π,3)弧度，半徑為6的扇形的面積為________.答案6π解析扇形的面積為eq\f(1,2)×62×eq\f(π,3)＝6π.3.(教材改編)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(eq\f(\r(5),5)，－eq\f(2\r(5),5))，那么sinα＋cosα＝________.答案－eq\f(\r(5),5)解析因?yàn)閟inα＝y(tǒng)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝x＝eq\f(\r(5),5)，所以sinα＋cosα＝－eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(5),5).4.設(shè)集合M＝{α|α＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，那么M∩N＝________.答案{－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)}解析分別取k＝－1，0，1，2，得α＝－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)，eq\f(2π,3).故M∩N＝{－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)}.5.函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域?yàn)開_______.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥eq\f(1,2).由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影局部所示).∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).題型一角及其表示例1(1)假設(shè)α＝k·180°＋45°(k∈Z)，那么α在第________象限.(2)角α的終邊在如下圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么角α用集合可表示為________________.答案(1)一或三(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)解析(1)當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α為第一象限角；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α為第三象限角.所以α為第一或第三象限角.(2)∵在[0，2π)內(nèi)，終邊落在陰影局部角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，∴所求角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z).思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.(2)利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成[0，2π)范圍內(nèi)的一個角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限.(1)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合是__________________.(2)(2022·蘇州模擬)假設(shè)角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，那么在[0，2π]內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角的個數(shù)為________.答案(1){α|α＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z}(2)3解析(1)在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角為eq\f(π,3)，∴終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為{α|α＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z}.(2)∵θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)，依題意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)≤2π，k∈Z，∴－eq\f(3,7)≤k≤eq\f(18,7)，∴k＝0，1，2，即在[0，2π]內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角為eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21)共三個.題型二弧度制例2(1)(2022·南京模擬)假設(shè)圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，那么其圓心角的弧度數(shù)是________.答案eq\r(2)解析設(shè)圓半徑為r，那么圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r，∴正方形邊長為eq\r(2)r，∴圓心角的弧度數(shù)是eq\f(\r(2)r,r)＝eq\r(2).(2)扇形的圓心角是α，半徑是r，弧長為l.①假設(shè)α＝100°，r＝2，求扇形的面積；②假設(shè)扇形的周長為20，求扇形面積的最大值，并求此時扇形圓心角的弧度數(shù).解①S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(5,9)π×4＝eq\f(10,9)π.②由題意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，當(dāng)r＝5時，S的最大值為25.當(dāng)r＝5時，l＝20－2×5＝10，α＝eq\f(l,r)＝2(rad).即扇形面積的最大值為25，此時扇形圓心角的弧度數(shù)為2.思維升華應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.(1)將表的分針撥快10分鐘，那么分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是________.(2)假設(shè)圓弧長度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，那么其圓心角的弧度數(shù)為________.答案(1)－eq\f(π,3)(2)eq\r(3)解析(1)將表的分針撥快應(yīng)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角，又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角為圓周的eq\f(1,6)，即為－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3).(2)如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，那么線段AB所對的圓心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l(xiāng)＝eq\r(3)r，由弧長公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).題型三三角函數(shù)的概念命題點(diǎn)1三角函數(shù)定義的應(yīng)用例3(1)(2022·徐州模擬)假設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，那么cosθ的值為________.(2)點(diǎn)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運(yùn)動eq\f(2π,3)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)為____________.答案(1)－eq\f(\r(6),4)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))解析(1)由題意知r＝eq\r(3＋m2)，∴sinθ＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2),4)m，∵m≠0，∴m＝±eq\r(5)，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，∴cosθ＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝eq\f(－\r(6),4).(2)由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)).命題點(diǎn)2三角函數(shù)線例4函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定義域?yàn)開_________________.答案[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(5π,6))(k∈Z)解析要使原函數(shù)有意義，必須有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1>0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2)，))如圖，在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)閇2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(5π,6))(k∈Z).思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫出角的范圍.(1)角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0.那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.(2)滿足cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合為________.答案(1)(－2，3](2){α|2kπ＋eq\f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z}解析(1)∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3.(2)作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC、OD，那么OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影局部)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z}.6.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用典例(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0，1)，此時圓上一點(diǎn)P的位置在(0，0)，圓在x軸上沿正向滾動.當(dāng)圓滾動到圓心位于C(2，1)時，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________.(2)(2022·鹽城模擬)函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域?yàn)開_______.思想方法指導(dǎo)在坐標(biāo)系中研究角就是一種數(shù)形結(jié)合思想，利用三角函數(shù)線可直觀得到有關(guān)三角函數(shù)不等式的解集.解析(1)如下圖，過圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過P作x軸的垂線與過C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動的距離為2，所以劣?。?，即圓心角∠PCA＝2，那么∠PCB＝2－eq\f(π,2)，所以PB＝sin(2－eq\f(π,2))＝－cos2，CB＝cos(2－eq\f(π,2))＝sin2，所以xP＝2－CB＝2－sin2，yP＝1＋PB＝1－cos2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2－sin2，1－cos2).(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)＜sinx＜eq\f(\r(3),2).利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影局部所示)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).答案(1)(2－sin2，1－cos2)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)1.以下與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的選項(xiàng)是________.①2kπ＋45°(k∈Z) ②k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)③k·360°－315°(k∈Z) ④kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案③解析與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有③正確.2.假設(shè)α是第三象限角，那么以下各式中不成立的是________.①sinα＋cosα＜0 ②tanα－sinα＜0③cosα－tanα＜0 ④tanαsinα＜0答案②解析α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，那么可排除①、③、④.3.(2022·鎮(zhèn)江一模)α是第二象限的角，其終邊上的一點(diǎn)為P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，那么tanα＝________.答案－eq\f(\r(15),3)解析∵P(x，eq\r(5))，∴y＝eq\r(5).又cosα＝eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(x,r)，∴r＝2eq\r(2)，∴x2＋(eq\r(5))2＝(2eq\r(2))2，解得x＝±eq\r(3).由α是第二象限的角，得x＝－eq\r(3)，∴tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3).4.點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，那么角α的終邊在第________象限.答案二解析∵點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，cosα＜0，∴角α的終邊在第二象限.5.給出以下各函數(shù)值：①sin(－1000°)； ②cos(－2200°)；③tan(－10)； ④eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17π,9)).其中符號為負(fù)的是________.答案③解析sin(－1000°)＝sin80°>0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17,9)π)＝eq\f(－sin\f(7π,10),tan\f(17π,9))>0.6.角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，假設(shè)角θ與角α的終邊相同，那么y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為________.答案－1解析由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.7.在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(eq\r(3)，1)，將點(diǎn)A繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn)，那么B點(diǎn)坐標(biāo)為__________.答案(－1，eq\r(3))解析依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3)).8.扇形的圓心角為eq\f(π,6)，面積為eq\f(π,3)，那么扇形的弧長等于________.答案eq\f(π,3)解析設(shè)扇形半徑為r，弧長為l，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))9.設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，那么eq\f(θ,2)是第________象限角.答案二解析由θ是第三象限角，知eq\f(θ,2)為第二或第四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)≤0，綜上知eq\f(θ,2)為第二象限角.10.在(0，2π)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為________.答案(eq\f(π,4)，eq\f(5π,4))解析如下圖，找出在(0，2π)內(nèi)，使sinx＝cosx的x值，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(5π,4)＝coseq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足題中條件的角x∈(eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)).11.假設(shè)－eq\f(3π,4)<α<－eq\f(π,2)，那么sinα，cosα，tanα的大小關(guān)系是______________.答案sinα＜cosα＜tanα解析如圖，在單位圓中，作出－eq\f(3π,4)＜α＜－eq\f(π,2)內(nèi)的一個角及其正弦線，余弦線，正切線.由圖知，OM＜MP＜AT，考慮方向可得MP＜OM＜AT，即sinα＜cosα＜tanα.12.角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ.解∵θ的終邊過點(diǎn)(x，－1)(x≠0)，∴tanθ＝－eq\f(1,x)，又tanθ＝－x，∴x2＝1，即x＝±1.當(dāng)x＝1時，sinθ＝－eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因此sinθ＋cosθ＝0；當(dāng)x＝－