山東省威海中考數(shù)學(xué)試題解析版

2019年山東省威海市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)是正確的.每小題選對得3分，選錯(cuò)、不選或多選，均不得分）

1.（3分）-3的相反數(shù)是（）

A.-3B.30.1.D.

33

2.（3分）據(jù)央視網(wǎng)報(bào)道，2019年1?4月份我國社會物流總額為88.9萬億元人民幣，

“88.9萬億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.8.89X1013B.8.89X1012C.88.9X1012D.8.89X1011

3.（3分）如圖，一個(gè)人從山腳下的4點(diǎn)出發(fā)，沿山坡小路48走到山頂8點(diǎn).已知坡角為

20。，山高仇=2千米.用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算小路的長度，下列按鍵順序正確的是

A.0EHHESB.0SS0ES

c.0ES00I3D.0EZH00H

4.（3分）如圖所示的幾何體是由幾個(gè)大小相同的小正方體搭成的，其俯視圖是（）

ZZ7I

5.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（a2）3=a567B.3a2+a=3a3

C.a54-a2=a3（a#=0）D.a（＞1）=/+1

6.（3分）為配合全科大閱讀活動(dòng)，學(xué)校團(tuán)委對全校學(xué)生閱讀興趣調(diào)查的數(shù)據(jù)進(jìn)行整

理.欲反映學(xué)生感興趣的各類圖書所占百分比，最適合的統(tǒng)計(jì)圖是（）

A.條形統(tǒng)計(jì)圖B.頻數(shù)直方圖C.折線統(tǒng)計(jì)圖D.扇形統(tǒng)計(jì)圖

7.（3分）如圖，F(xiàn)是口4仇沙邊延長線上一點(diǎn)，連接防CE,BD,BE交CD于煎F.添

加以下條件，不能判定四邊形切出為平行四邊形的是（）

A.AABD=Z.DCEB.DF=CFC./AEB=4BCDD.NAEC=4CBD

8.（3分）計(jì)算（J適-3）。+國一（-返）7的結(jié)果是（）

3

A.1+旦代B.1+2^3C.如D.1+4?

3

3-x>4①

9.（3分）解不答式組22-時(shí)，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示正確

Wx+l>x=②

的是（）

J_I_I_I_I_I_I_I_I—>~

A.-3-24012345

__|_I_I__I_I_I_L-

B.3（?2-10i2345

??j??II..

C.-3-2-I012347

11j11111A.

D.-3-2-1012345

10.（3分）已知a,6是方程/+x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，->2019的值是（）

A.2023B.2021C.2020D.2019

11.（3分）甲、乙施工隊(duì)分別從兩端修一段長度為380米的公路.在施工過程中，乙隊(duì)曾

因技術(shù)改進(jìn)而停工一天，之后加快了施工進(jìn)度并與甲隊(duì)共同按期完成了修路任務(wù).下表

是根據(jù)每天工程進(jìn)度繪制而成的.

施工時(shí)間/天123456789

累計(jì)完成施工量/3570105140160215270325380

米

下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.甲隊(duì)每天修路20米

B.乙隊(duì)第一天修路15米

C.乙隊(duì)技術(shù)改進(jìn)后每天修路35米

D.前七天甲，乙兩隊(duì)修路長度相等

12.（3分）如圖，。戶與*軸交于點(diǎn)4（-5,0）,B（1,0）,與y軸的正半軸交于點(diǎn)

C.若NACB=60°,則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為（）

A.VT獲行B.2后?C.472D.2后2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.只要求填出最后結(jié)果）

13.（3分）把一塊含有45°角的直角三角板與兩條長邊平行的直尺如圖放置（直角頂點(diǎn)在

直尺的一條長邊上）.若N1=23°,則N2=°.

14.（3分）分解因式：2/-2/1=

2

15.（3分）如圖，在四邊形483中，AB//DC,過點(diǎn)、C作CELBC,交加于點(diǎn)￡連接屬,

ABEC^ZDEC,若49=6,則3=.

DC

16.（3分）一元二次方程3乂=4-2*的解是.

17.（3分）如圖，在四邊形/仇？中，AB//CD,連接作,BD.若N4第=90°,AC^BC,AB

=BD,貝_______°.

DC

B

18.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)48在反比例函數(shù)y=k（〃于0）的圖象上運(yùn)

X

動(dòng)，且始終保持線段碗長度不變."為線段48的中點(diǎn)，連接0”.則線段以長

度的最小值是（用含內(nèi)的代數(shù)式表示）.

三、解答題（本大題共7小題，共66分）

19.（7分）列方程解應(yīng)用題：

小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球.他們兩家到體育公園的距離分別是1200

米，3000米，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時(shí)到達(dá)，則小明需

提前4分鐘出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度.

20.（8分）在一個(gè)箱內(nèi)裝入只有標(biāo)號不同的三顆小球，標(biāo)號分別為1,2,3.每次隨機(jī)取

出一顆小球，記下標(biāo)號作為得分，再將小球放回箱內(nèi).小明現(xiàn)已取球三次，得分分別為

1分，3分，2分，小明又從箱內(nèi)取球兩次，若五次得分的平均數(shù)不小于2.2分，請用畫

樹狀圖或列表的方法，求發(fā)生“五次取球得分的平均數(shù)不小于2.2分”情況的概率.

21.（8分）（1）閱讀理解

如圖，點(diǎn)48在反比例函數(shù)y=L的圖象上，連接力昆取線段48的中點(diǎn)C.分別過點(diǎn)

X

4C,8作X軸的垂線，垂足為￡,F,G,明交反比例函數(shù)尸工的圖象于點(diǎn)。.點(diǎn)￡,

X

F,G的橫坐標(biāo)分別為〃,小1（心1）.

小紅通過觀察反比例函數(shù)y=山勺圖象，并運(yùn)用幾何知識得出結(jié)論：

X

AB-BG=2CF,CF>DF

由此得出一個(gè)關(guān)于」工，2,之間數(shù)量關(guān)系的命題：

n~ln+1n

若">1,則.

（2）證明命題

小東認(rèn)為：可以通過“若a-620,則的思路證明上述命題.

小晴認(rèn)為：可以通過“若a>0,b>0,且則a26'的思路證明上述命題.

請你選擇一種方法證明（1）中的命題.

22.（9分）如圖是把一個(gè)裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨廂的示意

圖.已知汽車貨廂高度仍=2米，貨廂底面距地面的高度20.6米，坡面與地面的夾

角NBAH=a,木箱的長（％）為2米，高（㈤和寬都是1.6米.通過計(jì)算判斷：當(dāng)

sina=2,木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)A重合時(shí)，木箱上部頂點(diǎn)￡會不會觸碰到汽

5

車貨廂頂部.

23.（10分）在畫二次函數(shù)尸a/+6/c（a/0）的圖象時(shí)，甲寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，歹U表

如下

X........-10123........

V甲........63236........

乙寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，列表如下：

X........-10123.......

V乙.......-2-12714

通過上述信息，解決以下問題：

（1）求原二次函數(shù)y=a/+6/c（a*0）的表達(dá)式；

（2）對于二次函數(shù)y=a『+-+c（a豐0）,當(dāng);<時(shí)，y的值隨”的值增大而增

大；

(3)若關(guān)于x的方程(a芋0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求〃的取值范圍.

24.(12分)如圖，在正方形48必中，AB=\Qcm,￡為對角線放上一動(dòng)點(diǎn)，連接〃，

CE,過F點(diǎn)作歹交直線死于點(diǎn)尸.￡點(diǎn)從8點(diǎn)出發(fā)，沿著劭方向以每秒2初的

速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)△阪的面積為汽蘇，￡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為x秒.

備用圖

(1)求證：CE=EF；

(2)求y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求△啊面積的最大值.

25.(12分)(1)方法選擇

如圖①，四邊形4仇》是。。的內(nèi)接四邊形，連接〃；BD,AB=BC=AG.求證：BD=

AMCD.

小穎認(rèn)為可用截長法證明：在如上截取加4?,連接力摩“

小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長勿至點(diǎn)乂使得加

請你選擇一種方法證明.

(2)類比探究

【探究1】

如圖②，四邊形是。。的內(nèi)接四邊形，連接47,BD,仍是。。的直徑，AA

AC.試用等式表示線段BD,①之間的數(shù)量關(guān)系，井證明你的結(jié)論.

【探究2】

如圖③，四邊形483是。。的內(nèi)接四邊形，連接的BD.若仇?是。。的直徑，NABC=

30°,則線段4。，BD,切之間的等量關(guān)系式是.

(3)拓展猜想

如圖④，四邊形48CZ)是。。的內(nèi)接四邊形，連接4C,BD.若仇;是。。的直徑，BC-.

AG-.AB=a-.b：c,則線段BD,切之間的等量關(guān)系式是.

2019年山東省威海市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)是正確的每小題選對得3分，選錯(cuò)、不選或多選，均不得分)

1.【解答】解：-3的相反數(shù)是3.

故選：B.

2.【解答】解：法一：88.9萬億=88.9X104X108=88.9X1012

用科學(xué)記數(shù)法表示：88.9X1012=889X1013

法二：科學(xué)記數(shù)法表示為：88.9萬億=8890000000000=8.89X1013

故選：4

3.【解答】解：在△48C中，sin/=sin20°=里，

AB

.48=BC=2

"sin20°sin20°

，按鍵順序?yàn)椋?-?sin20=

故選：A.

4.【解答】解：從上面看，得到的視圖是：LJ,

故選：C.

5.【解答】解：4(『)3=小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、3/+a,不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、a5-?a2=a3(a/0),正確；

D、a(>1)=/+a,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：G.

6.【解答】解：欲反映學(xué)生感興趣的各類圖書所占百分比，最適合的統(tǒng)計(jì)圖是扇形統(tǒng)計(jì)

圖.

故選：D.

7.【解答】解：?.?四邊形48切是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

：.DE//BC,AABD=^CDB,

'//ABD=/DCE,

4DCE=NCDB、

:、BD"CE、

???8CEZ?為平行四邊形，故彳正確；

'：DE//BC,

???4DEF=NCBF、

'/DEF二NCBF

在△陽■與△斯中，ZDFE=ZCFB,

DFXF

:、△DEFQXCBF(A4S),

:.EF=BF、

,:DF=CF,

???四邊形8風(fēng)為平行四邊形，故8正確；

'CAE//BC,

4AEB=4CBF、

???NAEB=4BCD,

：?4CBF=々BCD,

:?CF=BF,

同理，EF=DF、

二不能判定四邊形仇順為平行四邊形；故C錯(cuò)誤;

'：AE//BC.

DEO/BCE=/ED濟(jì)/DBC=\8G,

/AEC=NCBD、

???NBDE=NBCE,

???四邊形員卻為平行四邊形，故。正確，

8.【解答】解：原式=1+為巧+?=1+蟲毒.

故選：D.

9.【解答】解：解不等式①得：xW-1,

解不等式②得：%<5,

將兩不等式解集表示在數(shù)軸上如下：

11?11111A.

-3-2-1012345

故選：D.

10.【解答】解：a,6是方程/+*-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

.'.b—3-A2,a^b--1,ab-3,

Aa2-ZH-2019=a2-3+^+2019=(/b)2-2a/H-2016=1+6+2016=2023；

故選：A.

11?【解答】解：由題意可得，

甲隊(duì)每天修路：160-140=20(米)，故選項(xiàng)4正確；

乙隊(duì)第一天修路：35-20=15(米)，故選項(xiàng)8正確；

乙隊(duì)技術(shù)改進(jìn)后每天修路：215-160-20=35(米)，故選項(xiàng)C正確；

前7天，甲隊(duì)修路：20X7=140米，乙隊(duì)修路：270-140=130米，故選項(xiàng)〃錯(cuò)誤;

故選：D.

12.【解答】解：連接以，PB,PC,過戶作必，48于。，PEJLBC于E、

:N4C8=60°,

NA陽=120°,

'：PA=PB、

:.NPAB=NPBA=3G°,

,.,A(-5,0),B(1,0),

.'.AB=6,

:.AD=Bg3,

.-.PD^yfS,PA=PB=PH2?

,:PDLAB,PEBC,4A0Xqy,

..?四邊形自&加是矩形，

：.OE=PD=a，PE=OD=2,

CE={pc2_pE2=V12-4=2A/2>

.1.00=ca?如=2揚(yáng)日，

...點(diǎn)c的縱坐標(biāo)為2揚(yáng)、忌

二'填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分.只要求填出最后結(jié)果)

13?【解答】解：是含有45°角的直角三角板，

Z/1=Z^45O,

VZ1=23°,

，N/G5=N/N1=68°,

?：EF//BD,

；.N2=NAGB=68"；

故答案為：68.

=2(x--L)2.

2

故答案為：2(x-L)2.

2

15.【解答］解：如圖，延長BC、相交于點(diǎn)后

YCELBC、

:?NBCE=/FCE=9G,

V4BEC=/DEC、CE=CE,

:.XEBC^XEFC(.ASA),

:?BC=CF、

'：AB//DC.

:、AD=DF、

?■?^yAB=6Xy=3.

故答案為：3.

16.【解答]解：37=4-2>

3X+2x-4=0,

則3-4mc=4-4X3X(-4)=52>0,

故片一2土便,

6__

解得：&:±ZU,X2=±S1

33_

故答案為：%1=zkb?,

33

17.【解答】解：作。FL48于￡,CFLAB千F,如圖所示:

貝I]DE=CF,

'：CFLAB,ZACB=9Q°,AC=BC,

:.CF=AF=BF=」B'

2

，：AB=BD,:.DE=CF=」ALBD,/BAD=4BDA,

22

.,.Z>45/7=30°,

:./BAD=/BDA=15°,

■：AB//CD,

???N4?aN以ZA180°,

AAADC=}Q5°；

18.【解答]解：如圖，當(dāng)ML四時(shí)，線段的長度的最小,

:"為線段四的中點(diǎn)，

：,OA=OB,

.??點(diǎn)48在反比例函數(shù)y=K（k豐0）的圖象上，

X

..?點(diǎn)力與點(diǎn)8關(guān)于直線y=x對稱，

;34&,

..?可以假設(shè)力（"K）,貝I]8（新4,K-4）,

IDID

m+-4ID-4

解得4=/T/+4/77,

."?A(勿，府4),B(加-4,/77),

M(M2,M2),

l,-0M=72(nd-2)2=V2(ni2+4in)+8=^2k+8,

m的最小值為U2k+8?

故答案為42k+8-

三'解答題（本大題共7小題，共66分）

19?【解答】解：設(shè)小明的速度是“米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是3*米/分鐘，根據(jù)

題意可得:

1200一=3000,

x3x

解得：x=50,

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=50是原方程的根，故3x=150,

答：小明的速度是50米/分鐘，則小剛騎自行車的速度是150米/分鐘.

20?【解答】解：樹狀圖如下：

123

113123123

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，

由于五次得分的平均數(shù)不小于2.2分，

，五次的總得分不小于11分，

，后2次的得分不小于5分，

而在這9種結(jié)果中，得出不小于5分的有3種結(jié)果，

???發(fā)生“五次取球得分的平均數(shù)不小于2.2分”情況的概率為2=2.

93

21.【解答】解：(1)?:A&BG=2CF、CF>DF、AE=1,BG=1,DF=L

n~ln+1n

n-1n+1n

故答案為：

n-1n+1n

990

(2)方法_??-1+1_2=n+n+n-n-2n+2=2

n-ln+1nn(n-l)(n+1)n(n-l)(n+1)

V/7>1,

'?n(/7-1)(小1)>0,

L_+_L_-J.>o,

n~ln+1n

n-ln+1n

方法二：

一/n/-1a1

n

n-ln+1n

22.【解答】解：?「HUO.6米，sina=W,

5

?az—BH_S6__iM,

??『ina-3=米，

5

；/仁0.8米,

?:AF=FC=2米、

：.BF=\米,

作FJJL86于點(diǎn)J,作EKL6于點(diǎn)K,

'：EF=FAAA\米、ZEKF=/FJB=/AHB=9Q°,/EFK=4FBJ=NABH,

EFKQ△FB的△ABH,

:.EK=F4A&BJ^BH,

:.BMEK=0.6+0.8=1.4<2,

木箱上部頂點(diǎn)￡不會觸碰到汽車貨廂頂部.

23?【解答】解：(1)由甲同學(xué)的錯(cuò)誤可知c=3,

由乙同學(xué)提供的數(shù)據(jù)選x=-1,y=-2；x=1,y=2,

有/-2=a-b+3,

12=a+b+3

.fa=-3

lb=2'

.*.y=-3A2+2A+3；

(2)y=-3A2+2妙3的對稱軸為直線x=L,

3

拋物線開口向下，

A當(dāng)xWL寸，y的值隨x的值增大而增大；

3

故答案為wL；

3

(3)方程a/+6+c=〃(a*0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

即-3/+2肝3-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

,--△=4+12(3-〃)>0,

???〃vl2；

3

24.【解答】(1)證明：過日乍椒〃他交AD于M,交BC千N,

.??四邊形力灰力是正方形，

：.AD//BC,ABA-AD,

JMN1AD、MNLBC、

:?4AME=NFNE=9C=NNF8乙FEN、

、：AE1EF、

：.NAEF=/AE除/FEN=9G,

:2AEM=/NFE、

??,4DBC=45°,N創(chuàng)狂=90°,

：、BN=EN=AM、

.??△/!日世△&W(44S),

:.AE=EF、

.??四邊形力物是正方形，

:?AD=CD,4ADE=4CDE,

,:DE=DE、

:.XADEQRCDE(弘S),

:、AE=CE=EF'

(2)解：在RtZk8勿中，由勾股定理得：^P=^102+1Q2=10V2I

.??0WxW5

由題意得：BE=2x、

：.BN=EN=nx,

由(1)知：△<石修△&W,

:.ME=FN、

YAB=MN=0

：.ME=FN="近人

:,BF=FN-^V=10-&x-&x=10-2&x,

?.?尸翔秘=,（10-2日）?亞X=-2『+5揚(yáng)（0<右5近）；

2

（3）解：y=-2/+5\T^X=-2（x-+_25_?

44

V-2<0,

???當(dāng)*=殳巨時(shí)，y有最大值是空；即△際面積的最大值是空.

：.ZACB=ZABC=60°,

如圖①，在劭上截取謝I。連接彳肌

,：Z.ADB=^ACB=6G°,

??.△4?射是等邊三角形，

.\AM=AD,

、：/ABM=NACD、

???N力施=//)%=120°,

：./\ABM^/\ACD(A4S),

:.BM=CD、

：.BD=BM^DM=COAD\

(2)類比探究：如圖②,

.??宛是。。的直徑，

：?NBAC=9G,

'：AB=AC,

，NABC=NACB=45Q,

過/作AMIAD交劭于M,

'：ZADB=ZACB=45°,

??.△4W是等腰直角三角形，

：.AM=AD,NAMD=45°,

NAMB=/ADE35。,

■:/ABM=/ACD、

：.l\ABM^l\ACD(A4S),

：.BM=CD,

「?BD=B*DM=

【探究2】如圖③，二,若8c是。。的直徑，NABC=30。,

/.ZBAC=90°,ZACB=60°,

過/作加_L4?交放于M

VZADB=ZACB=60°,

，N械=30°,

：.MD=2AD,

?：4ABD=/ACD、N4儂=N4%=150°,

:、XAB粒l\ACD、

.?網(wǎng)a=F,

CDAC

BM—

8〃=BM^DM=分2AD；

故答案為：BD=4^CA2A比

(3)拓展猜想：BD=BMDM=

bb

理由：如圖④，：若勿是。。的直徑，

^BAC=90°,

過4作為例_4?交BD千M,

；.NMAg9Q。,

ABAM=4DAC、

：.IXABM^fXACD,

.BM_AB_C

"CD^ACV

:.BM=￡.CD,

b

'：4ADB=4ACB,乙BAC=ZNAD=QO",

:.△ADM^XACB、

.AD=AC=b

"DMBC7'

：.DM=^-AD,

b

BD=B雌DM=3c步dD.

bb

故答案為：BD=JCM》D

bb

--

圖③

國①

初中數(shù)學(xué)重要公式

1、幾何計(jì)數(shù)：

⑴當(dāng)一條直線上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，在這條直線上存在條線段.

⑵平面內(nèi)有"個(gè)點(diǎn)，過兩點(diǎn)確定一條直線，在這個(gè)平面內(nèi)最多存在條直線.

⑶如果平面內(nèi)有0條直線，最多存在個(gè)交點(diǎn).

⑷如果平面內(nèi)有n條直線，最多可以將平面分成部分.

（5）、有公共端點(diǎn)的n條射線（兩條射線的最大夾角小于平角），則存在個(gè)

角.

2、AB//CD,分別探討下面四個(gè)圖形中/加個(gè)與/刈6、/自力的關(guān)系。

3、全等三角形的判定方法：

a.三條邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡記為）.

b.兩個(gè)角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡記為）.

c.兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡記為）.

d.兩條邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡記為）.

e.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡記為）.

4、坐標(biāo)系中的位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似

比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于.

5、。邊形的內(nèi)角和等于;多邊形的外角和都等于.

6、在四邊形的四個(gè)內(nèi)角中，最多能有_3一個(gè)鈍角，最多能有_3_個(gè)銳角.如果一個(gè)多邊

形的邊數(shù)增加1,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加180—度.

4.n邊形有條對角線.

5、用、完全相同的一種或幾種進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，

不重疊的鋪成一片，就是平面圖形的.

［注意］要實(shí)現(xiàn)平面圖形的鑲嵌，必須保證每個(gè)拼接點(diǎn)處的角恰好能拚成°.

［總結(jié)］平面圖形的鑲嵌的常見形式

⑴用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：個(gè)正三角形或個(gè)正四邊

形或個(gè)正六邊形.

⑵用兩種正多邊形鑲嵌

①用正三角形和正四邊形鑲嵌：個(gè)正三角形和個(gè)正四邊形；

②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形或者用

個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形；

③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用個(gè)正四邊形和個(gè)正八邊形可以鑲嵌.

⑶用三種不同的正多邊形鑲嵌

用正三角形、正四邊形和正六邊形進(jìn)行鑲嵌，設(shè)用m塊正三角形、n塊正方形、k塊正六

邊形，則有60m+90n+120k=360,整理得,因?yàn)閙、n、k為整數(shù)，

所以m=,n=,k=,即用塊正方形，塊正

三角形和塊正六邊形可以鑲嵌.

6、梯形常用輔助線做法：

7、如圖：RtZV\8C中，ZACB=90°,CDLAB于D,

則有：

⑴、ZACD=ZBNDCB=NA

（2）由RtA4BCsRtAZICD得至UAC。=ADAB

由RtA^BCsRtACBD得至UBC1=BDAB

由RtZ\4CDsRtACBD得到C?=ADBD

(3),由等積法得到ABXCD=ACXBC

8、若將半圓換成正三角形、正方形或任意的相似形,

9、在解直角三角形時(shí)常用詞語：

1.仰角和俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做.,視線在水平線下方的叫

做.

2.坡度和坡角

通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度I之比叫,用字母i表示，BPi=,

把坡面與水平面的夾角叫做，記作a,于是i==tana,顯然，坡度越

大，a角越大，坡面就越陡.

10.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

“180°

邊長：a=2R,sin------周長：P=n?a

nnnnn

邊心距：r=R?cos----面積：S=-a?rn

nnnnnn

n-2X180°360°360°

內(nèi)角：----------------外角:中心角:

nnn

11、特殊銳角三角函數(shù)值

3Q、45、60°

j_A/2V3

Sina

2~T

石]_

Cosa叵

T22

tanaE1V3

T

旦12、某些數(shù)列前n項(xiàng)之

Cota顯1和

31+2+3+4+5+6+7+8+9+...+

n=n(n+l)/2

l+3+5+7+9+ll+13+15+...+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+l)

13、平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比

例。

如圖：a〃b〃c,直線4與A分別與直線。、b、c相交與點(diǎn)4、B,C和。、E、

e+ABDEABDEBCEF

則有一=——,——=——,——=——O

BCEFACDFACDF

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的

對應(yīng)線段成比例。如圖：△ABC中，DE//BC,DE與AB、AC相交與點(diǎn)E,則

.ADAEADAEDEDBEC

百?---_------------------

'DBEC'ABACBC'ABAC

c

B

BCC

14、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：

①極差：

用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的

差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

②方差：

數(shù)據(jù)X］、x2...,X,,的方差為52,

③標(biāo)準(zhǔn)差:

數(shù)據(jù)X］、x2...,X”的標(biāo)準(zhǔn)差S,

則”?卜I-*）+（82-彳）+…+

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。

15、求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法

①公式法：y=ax2+ZJX+c=ofx+—++上~...頂點(diǎn)是

I2aJ4a

/bAac-b2、-j./上,廿七皿b

（----，--------）,對稱軸是直線X=——o

2a4a2a

②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為少=a（x-+后的形

式，得到頂點(diǎn)為（人，％）,對稱軸是直線x=〃。

③運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與

拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)（再/）、（馬,刃（及y值相同），則對稱軸方程可以表

示為：五士強(qiáng)

2

16、直線與拋物線的交點(diǎn)

①y軸與拋物線y=ax2+hx+c得交點(diǎn)為（0,c）。

②拋物線與x軸的交點(diǎn)。

二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)/、x2,是對應(yīng)

一元二次方程

ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次

方程的根的判別式判定：

a有兩個(gè)交點(diǎn)o（A>0）。拋物線與x軸相交；

b有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）=（△=0）=拋物線與x軸相切；

c沒有交點(diǎn)o（△<0）=拋物線與x軸相離。

③平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同②一樣可能有。個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)

的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為左，則橫坐標(biāo)是ax?+bx+c=左的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

④一次函數(shù)y=kx+n{k#0）的圖像/與二次函數(shù)y=ax*1+bx+c（aH0）的圖

U=+H

像G的交點(diǎn)，由方程組’一，的解的數(shù)目來確定：

y-ax+bx+c

a方程組有兩組不同的解時(shí)o/與G有兩個(gè)交點(diǎn)；

b方程組只有一組解時(shí)o/與G只有一個(gè)交.點(diǎn)；

C方程組無解時(shí)O/與G沒有交點(diǎn)。

⑤拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)

為4人,0）5（X2,0）,則48="一即

圖形的定義、性質(zhì)、判定

一、角平分線

性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的相等.

判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在h.

二、線段垂直平分線

1.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離.

2.判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的t.

［點(diǎn)撥］線段的垂直平分線可以看作到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

三、等腰三角形

定義、性質(zhì)：

1.定義：有兩相等的三角形是等腰三角形.

2.性質(zhì)：

⑴等腰三角形兩個(gè)腰.

⑵等腰三角形的兩個(gè)底角（簡寫成等邊對等角）.

⑶等腰三角形的頂角,底邊上的,底邊上的________互相重合.

⑷等腰三角形是軸對稱圖形，有條對稱軸.

［注意］（1）等腰三角形兩腰上的高相等.

⑵等腰三角形兩腰上的中線相等.

⑶等腰三角形兩底角的平分線相等.

⑷等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.

⑸等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行.

⑹等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

⑺等腰三角形底邊延長線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

判定：

1.定義法.

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫為“等角對等

邊”）.

［注意］（1）一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形.

⑵一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

⑶一邊上的中線與三角形中這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

四、等邊三角形

1.等邊三角形的性質(zhì)

⑴等邊三角形的三條邊都相等.

⑵等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等并且每一個(gè)角都等于60°.

⑶等邊三角形是軸對稱圖形，并且有條對稱軸.

［注意）等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì).

2.等邊三角形的判定

⑴三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.

⑵三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.

⑶有一個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形

五、直角三角形

1.定義：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

2.直角三角形的性質(zhì)

⑴直角三角形的兩個(gè)銳角.

⑵直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的.

⑶在直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的.

(4)在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30

度。

(5)、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么a2+b2

3.直角三角形的判定

(1)、判定：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是三角形.

(2)、如果三角形的三邊長分別為a、b、C,滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是三

角形.

(3)、如果一個(gè)三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

(4)、直徑所對的圓周角是90度。

(5)、如果一個(gè)三角形的外心在三角形的一條邊上，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

(6)、圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。

六、相似三角形

1.相似三角形的對應(yīng)角,對應(yīng)邊的比.相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊

的比.

相似多邊形周長的比等于.相似多邊形面積的比等于的平方.

2.相似三角形的周長比等于.

3.相似三角形的面積比等于相似比的.

［注意］相似三角形的對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

判定定理：

1.如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

2.如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

3.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相

似.

［注意］直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形都相似.

七、位似圖形

1.定義：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，像這樣

的兩個(gè)圖形叫做位似圖形