十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題匯編新高考卷與全國(guó)專題17坐標(biāo)系與參數(shù)方程（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(新高考卷與新課

標(biāo)理科卷)

專題17坐標(biāo)系與參數(shù)方程

?真題匯總

，_2+￡

1.【2022年全國(guó)甲卷理科22】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為“=工(/為參數(shù))，曲線C2的

y=&

Y-___2+_s

參數(shù)方程為60為參數(shù)).

、y=一乖

(1)寫出Ci的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為2cos0-Sind=0,求C3與

Ci交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及與交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

【答案】(l)y2=6x-2(y>0)；

(2七3，。1的交點(diǎn)坐標(biāo)為&1)，(1，2)，QC的交點(diǎn)坐標(biāo)為(一表T)，(-1,-2).

【解析】

(1)因?yàn)獒?竽，y=Vt,所以x=*,即Ci的普通方程為y2=6x—2(y20).

(2)因?yàn)?=-管=—,，所以6%=-2—y2,即C2的普通方程為V=—6x—2(y<0),

由2cos8—sin0=0=2pcos8—psinQ=0,即C3的普通方程為2%—y=0.

聯(lián)立，2=2鼠_/2020),解得：";或｛；：；，即交點(diǎn)坐標(biāo)為81)，(1,2)；

聯(lián)立腳4°)，解得：?二:或二;，即交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2).

2.【2022年全國(guó)乙卷理科22】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為卜二,(，為參數(shù))，以

坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線I的極坐標(biāo)方程為psin(。+§+巾=0.

(1)寫出/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若/與C有公共點(diǎn)，求〃7的取值范圍.

【答案】(1+y+2m=0

(2)-m<I

【解析】

⑴因?yàn)?：psin(。+§+m=0,所以gp?sin。+日p?cos。+m=0,

又因?yàn)閜?s\n6=y,p-cos。=x,所以化簡(jiǎn)為/+苧x+TH=0,

整理得l的直角坐標(biāo)方程：V3x+y+2m=0

(2)聯(lián)立/與C的方程，即將％=gcos2t,y=2sint代入

V3x+y+2m=0中，可得3cos2t+2sint+2m=0,

所以3(1—2sin2t)+2sint+2m=0,

化簡(jiǎn)為-6sin2t+2sint+3+2m=0,

要使l與C有公共點(diǎn)，則27n=6sin2t-2sint-3有解，

令sint=a,則aG[—1,1]，令/(a)=6a2—2Q—3,(—1<a<1),

對(duì)稱軸為Q=；,開口向上，

o

所以/⑷max=/(-1)=6+2-3=5,

a-3

/()min=/(O7)=7O7O-=一/O，

所以一:<2m<5

加的取值范圍為一色SmW.

3.【2021年全國(guó)甲卷理科22】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2A/2COS0.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)/的直角坐標(biāo)為(1,0),M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足加祈，寫出P的軌跡G的參數(shù)方程，

并判斷C與Ci是否有公共點(diǎn).

【答案】(1)(x—魚)2+必=2；(2)2的軌跡G的參數(shù)方程為=(。為參數(shù))，。與J

沒有公共點(diǎn).

(1)由曲線C的極坐標(biāo)方程p=2在cos?？傻胮2=2&pcos9，

將x=pcos6,y=psin。代入可得/+y2=2及x,即(Y-V2)2+y2=2.

即曲線C的直角坐標(biāo)方程為(％-V2)z+y2=2；

(2)設(shè)P(x,y),設(shè)M(VI+v^cos。,VIsinO)

???AP=72A

:.(x—1,y)=V2(V2+yfZcosO—1,V2sin0)=(2+2cosJ—V2,2sin0),

則產(chǎn)―1=2+2cos0—>J2即產(chǎn)=3—V2+2cos0

、'y=2sin0'、'y=2sin0

故尸的軌跡Cl的參數(shù)方程為產(chǎn)=(。為參數(shù))

,??曲線。的圓心為(低,0),半徑為魚，曲線C1的圓心為(3-四,。)，半徑為2,

則圓心距為3-2在，???3-2在<2-71，；?兩圓內(nèi)含，

故曲線C與6沒有公共點(diǎn).

4.【2021年全國(guó)乙卷理科22】在直角坐標(biāo)系xOy中，OC的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫出OC的一個(gè)參數(shù)方程；

(2)過點(diǎn)F(4,l)作OC的兩條切線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線

的極坐標(biāo)方程.

【答案】⑴(a為參數(shù))；⑵2pcos(8+g)=4-6或2pcos(8*)=4+后

v—1?sin。3J

(1)由題意，OC的普通方程為(久一2)2+0-1)2=1,

所以O(shè)C的參數(shù)方程為(a為參數(shù))

y-J.十Dincc

(2)由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為y-l=k(x-4),即kx-y+l-4Zc=0,

由圓心到直線的距離等于1可得詈3=1，

vi+fcz

解得k=±y,所以切線方程為6x-3y+3-4V3=0或百x+3y-3-4V3=0,

將靠=pcos6,y=psinS代入化簡(jiǎn)得

2pcos(0+g)=4-板或2pcos(6-“=4+遍

5.【2020年全國(guó)1卷理科22】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Q的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原

點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4pcos。-16psin0+3=0.

(1)當(dāng)/c=l時(shí)，Ci是什么曲線？

(2)當(dāng)k=4時(shí)，求6與Cz的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

【答案】(1)曲線6表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為I的圓；(2)仁彳).

【解析】

(1)當(dāng)九=1時(shí)，曲線G的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，

兩式平方相加得好+產(chǎn)=1,

所以曲線Q表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；

（2）當(dāng)k=4時(shí)，曲線C1的參數(shù)方程為｛；;；器：：（t為參數(shù)），

所以*20,y20,曲線Cl的參數(shù)方程化為｛嚏;：：：；；（t為參數(shù)）,

兩式相加得曲線C1方程為a+4=1,

得6=1-\[x,平方得y=x-2y[x+1,0<x<l,0<y<l,

曲線C2的極坐標(biāo)方程為4pcos。-16psin0+3=0,

曲線C2直角坐標(biāo)方程為4x-16y+3=0,

聯(lián)立CiQ方程｛匯;6y2集1

整理得12x-32?+13=0,解得依=:或C=”（舍去），

26

???x=i,y=g,C2公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（：*）.

久=4COS2,(0為參數(shù))，C2：

6.【2020年全國(guó)2卷理科22】已知曲線G，。2的參數(shù)方程分別為G：

.y=4sinz0

元=￡+工

V（，為參數(shù)）.

y=t-7

（1）將G，C2的參數(shù)方程化為普通方程;

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)Ci，C2的交點(diǎn)為P,求圓心在極軸上，且經(jīng)過

極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.

22

【答案】(1)Ct:x+y=4；C2>x—y=4；(2)p=《cos0.

【解析】

(1)由cos?。+siMe=1得Ci的普通方程為：x+y=4；

兩式作差可得Cz的普通方程為：x2-y2=4.

：+得:

（2）由

刀-y=4

設(shè)所求圓圓心的直角坐標(biāo)為（a,0），其中a>0,

則伍一丁+(0-5)2=/，解得：a=W.?.所求圓的半徑r=3,

\it/\//XU￡U

???所求圓的直角坐標(biāo)方程為:卜一常2+儼=落）2,即/+y2=g,

???所求圓的極坐標(biāo)方程為p=ycose.

7.［2020年全國(guó)3卷理科22】在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為［(，為參數(shù)且伊1)，

C與坐標(biāo)軸交于/、8兩點(diǎn).

(1)求|4B|；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線48的極坐標(biāo)方程.

【答案】(1)4V10(2)3pcos0-psin0+12=0

【解析】

(1)令x=0,則/+1—2=0,解得t=-2或t=1(舍)，則y=2+6+4=12,即4(0,12).

令y=0,則f2-3t+2=0,解得t=2或t=1(舍)，則x=2-2-4=—4,即8(-4,0).

\AB\=J(0+4產(chǎn)+(12—0)2=4V10；

(2)由(1)可知"相二言;二？，

則直線48的方程為y=3(x4-4),即3x-y+12=0.

由九=pcosO,y=psin?？傻?，直線48的極坐標(biāo)方程為3pcos6-psin?4-12=0.

8.【2019年新課標(biāo)3理科22］如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0),B(V2,-),C(V2,—),D(2,n),

44

JI

弧砂，BC,而所在圓的圓心分別是(1,0),(1,(1,it),曲線"i是弧麗，曲線跖是弧死，曲線

必是弧麗.

(1)分別寫出Mi,Mi,的極坐標(biāo)方程；

(2)曲線/由A/i，區(qū)，河3構(gòu)成，若點(diǎn)尸在朋1上，且|0尸|=百，求P的極坐標(biāo).

【答案】解：(1)由題設(shè)得，弧通，BC,而所在圓的極坐標(biāo)方程分別為p=2cos0,p=2sin。，p=-2cos0,

則Mi的極坐標(biāo)方程為p=2cos。，(0<0<J),皺的極坐標(biāo)方程為p=2sin。，<6<^),

37r

M3的極坐標(biāo)方程為「=-2COS0T(―<0<TT),

(2)設(shè)尸(p,0),由題設(shè)及(1)值，

若OWg全由2cos0=g得cos6=等，得。=看

若:<0<苧，由2sin0=g得sin0=^―,得。=今或g，

若4由-2cos0=g得cos8=—孚，得8=普，

jrrr27r57r

綜上尸的極坐標(biāo)為（百，或（8，T）或（V5,-）或（V5,—）.

6336

9.【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科22】在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)〃（po,9o）（po>O）在曲線C：p=4sin0

上，直線/過點(diǎn)/（4,0）且與OM垂直，垂足為P.

（1）當(dāng)。0=即寸，求po及/的極坐標(biāo)方程；

（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求尸點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.

【答案】解：（1）當(dāng)a=軻,p（）=4si吟=2遮,

在直線/上任取一點(diǎn)（p,9）,則有pcos（。一搭）=2,

故I的極坐標(biāo)方程為有pcos（8-號(hào)）=2；

（2）設(shè)P（p,。），則在RtZi。/尸中，有p=4cos。，

在線段上，.??。1：%

n7i

故尸點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為p=4cos。，0G[-,-].

r=i-t2

10.【2019年新課標(biāo)1理科22】在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為]"-'（/為參數(shù)）.以

坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為2pcos6+V3psin0+ll=0.

（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上的點(diǎn)到/距離的最小值.

【答案】解：（1）由|“一子了’（r為參數(shù)），得一號(hào)產(chǎn)，

）”_4ty_2t

V~1+?\2-,

兩式平方相加，得尤2+4=1

；.C的直角坐標(biāo)方程為好+4=1（xr-l）,

4

由2pcos0+V3psin0+11=0,得2x+V3y+11=0.

即直線l的直角坐標(biāo)方程為得2x+V3y+ll=0；

(2)設(shè)與直線2x+V3y+11=0平行的直線方程為2%+V3y+m=0,

..vf2x4-V3y+m=0犯入2…，2―八

聯(lián)ffV乂＜°/，得16x+4加什加-12=0.

(4x2+y2-4=0

由△=16〃/-64(m2-12)=0,得加=±4.

111-41

???當(dāng)m=4時(shí)，直線2%+By+4=0與曲線C的切點(diǎn)到直線2%+V3y4-11=0的距離最小，為、*=

依+3

5.

11.【2018年新課標(biāo)1理科22】在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線Ci的方程為夕=碓|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos6-3=0.

（1）求Q的直角坐標(biāo)方程；

（2）若G與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求。的方程.

【答案】解：（1）曲線C2的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos。-3=0.

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：X2+/+2X-3=0,

轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為：（x+1）2+/=4.

（2）由于曲線。的方程為丁=?閔+2,則：該射線關(guān)于y軸對(duì)稱，且恒過定點(diǎn)（0,2）.

由于該射線與曲線C2的極坐標(biāo)有且僅有三個(gè)公共點(diǎn).

所以：必有一直線相切，一直線相交.

則：圓心到直線y=fcv+2的距離等于半徑2.

..12一川.一|2+川

故：/---彳=2,或「---=2

Vi+fc2Vi+fc2

解得：或0,

當(dāng)％=o時(shí)，不符合條件，故舍去,

同理解得：左=g或。

經(jīng)檢驗(yàn)，直線y=gx+2與曲線C2沒有公共點(diǎn).

故。的方程為：y=-?|+2.

12.【2018年新課標(biāo)2理科22】在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的參數(shù)方程為1:二及既，（。為參數(shù)），直線

—irSLTlU

/的參數(shù)方程為3:江篙京—為參數(shù)）?

（1）求C和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C截直線/所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,求/的斜率.

【答案】解：⑴曲線c的參數(shù)方程為憂::需（。為參數(shù)），

2x2

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：77+—=1.

直線/的參數(shù)方程為憂I;;;:;（f為參數(shù)）.

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：xsina-ycosa+2cosa-sina=O.

（2）把直線的參數(shù)方程匕：；：；：鬻G為參數(shù)），

（y一乙十CoiTlu.

八、-口…（2+tsina）2（1+tcosa）2

代入橢圓的方程得到：-一一-^-4--——-―--=1

164

整理得：（4cos2a+sin2a）沁（8cosa+4sina）t-8=0,

則：ti+t2=—等苧歲竽，（由于八和，2為/1、8對(duì)應(yīng)的參數(shù)）

"4cos￡a+stn￡a

由于（1,2）為中點(diǎn)坐標(biāo)，

所以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式S答=0,

則：8cosa+4sina=0,

解得：tana=-2,

即：直線/的斜率為-2.

13.【2018年新課標(biāo)3理科22】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的參數(shù)方程為二;禽：，（。為參數(shù)），過點(diǎn)

（0,-V2）且傾斜角為a的直線/與。。交于4B兩點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）求4?中點(diǎn)尸的軌跡的參數(shù)方程.

【答案】解：（1）的參數(shù)方程為（0為參數(shù)），

-siiiu

.?.0。的普通方程為x2+6=l,圓心為0（0,0）,半徑r=l,

當(dāng)。=?時(shí)，過點(diǎn)（0,-V2）且傾斜角為a的直線/的方程為x=0,成立；

當(dāng)aH齊寸，過點(diǎn)（0,-V2）且傾斜角為a的直線/的方程為了=12110（“一魚,

:傾斜角為a的直線/與。。交于4,8兩點(diǎn),

二圓心O（0,0）到直線1的距離d=函

Jl+￡a712a

/.tan2a>1,/.tana>1或tana<-I,

n7T7T37r

VaV-或一＜aV—，

4224

綜上a的取值范圍是G平）.

（2）/的參數(shù)方程為｛；二關(guān)；tsimf"為參數(shù)，汴書

設(shè)4B,尸對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為〃，加，公則tp=^S，

且打，力滿足產(chǎn)一2或tsina+1=0,

/.tA+5=2y/2sina,tP=V2sinaf

=tpcosa

,:P(x,j)滿足

=—\[2-I-tpSina9

(42.

Ix=-^-stn29an37r

???48中點(diǎn)尸的軌跡的參數(shù)方程為：｛2,(a為參數(shù),＜a＜一).

727244

Iy=——-----2~coso2a

14.【2017年新課標(biāo)1理科22】在直角坐標(biāo)系x0，中，曲線C的參數(shù)方程為｛；二:籍,，（。為參數(shù)），直線

/的參數(shù)方程為[二;（/為參數(shù)）.

（1）若。=-1,求。與/的交點(diǎn)坐標(biāo);

（2）若C上的點(diǎn)到/距離的最大值為舊，求a.

2

【答案】解：（1）曲線C的參數(shù)方程為（。為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：三+爐=1；

—siTiuy

a=-1時(shí)，直線/的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y-3=0；

聯(lián)立方程片+必=1,

（%+4y—3=0

（__21

解啜口或二F

V=25

7124

所以橢圓C和直線/的交點(diǎn)為（3,0）和（一為—）.

（2）/的參數(shù)方程（,為參數(shù)）化為一般方程是：x+4y-a-4=0,

橢圓C上的任一點(diǎn)尸可以表示成P（3cos0,sin。），6G[0,2n）,

所以點(diǎn)P到直線/的距離〃為：

仁|3但。+常"a-4|=圓迎整廠年滿足tamp。，且的〃的最大值為舊.

①當(dāng)-a-4W0時(shí)，即a2-4時(shí)，

|5sin（0+（p）-a-4|W|-5-〃-4|=|5+a+4|=17

解得a=8和-26,4=8符合題意.

②當(dāng)-a-4>0時(shí)，BPa<-4時(shí)

|5sin（e+<p）-a-4|<|5-a-4|=|5-a-4|=17,

解得a=-16和18,a=-16符合題意.

15.【2017年新課標(biāo)2理科22】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為pcos6=4.

(1)"為曲線Ci上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且滿足尸1=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方

程；

(2)設(shè)點(diǎn)/的極坐標(biāo)為(2,g),點(diǎn)8在曲線C2上，求△048面積的最大值.

【答案】解：(1)曲線Ci的直角坐標(biāo)方程為：x=4,

設(shè)尸(x,y},M(4,_po)>則一=Z,vo=

4yox

：|OM|OP|=16,

/.+y2j16+y()2=16,

即(/+小)(1+^2)=16,

/.x4+2x2y2+J?4—16x2,即(x2-^)2=16x2,

兩邊開方得：一+產(chǎn);敘，

整理得:(x-2)2+/=4GK0),

二點(diǎn)戶的軌跡。2的直角坐標(biāo)方程：(x-2)2+y2=4(xWO).

(2)點(diǎn)”的直角坐標(biāo)為月(1,V3),顯然點(diǎn)/在曲線C2上，|。川=2,

，曲線C2的圓心(2,0)到弦OA的距離d=V4-1=V3,

的最大面積(2+VI)=2+71

16.【2017年新課標(biāo)3理科22】在直角坐標(biāo)系xQy中，直線人的參數(shù)方程為;京；IC為參數(shù))，直線

(x=-2+m

/2的參數(shù)方程為、,_血，(機(jī)為參數(shù)).設(shè)/1與/2的交點(diǎn)為P，當(dāng)左變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.

Ly-T

(1)寫出C的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)，3：p(cos0+sin0)-e=0,〃為/3與C的

交點(diǎn)，求”的極徑.

【答案】解：⑴?.?直線/1的參數(shù)方程為「二丁，(，為參數(shù)),

???消掉參數(shù)，得：直線4的普通方程為：歹=左(x-2)①;

(x=-2+m

又直線/2的參數(shù)方程為”，(m為參數(shù))，

rT

同理可得，直線/2的普通方程為：x=-2+0②：

聯(lián)立①②，消去〃得：x2-y2=4,即C的普通方程為』-產(chǎn)=4(產(chǎn)包)；

(2)；/3的極坐標(biāo)方程為p(cos0+sin0)—y/2=0.

...其普通方程為：x+y-&=0,

372

x+y=%x=-

聯(lián)立2_21f-

xy=4汽

y=-T

.*2=/+/=竽+,=5.

；」3與C的交點(diǎn)M的極徑為p=V5.

17.【2016年新課標(biāo)1理科23】在直角坐標(biāo)系X0中，曲線。的參數(shù)方程為普$譏C為參數(shù)，a

>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：p=4cos0.

(I)說明Ci是哪種曲線，并將Ci的方程化為極坐標(biāo)方程;

(H)直線。3的極坐標(biāo)方程為。=ao,其中ao滿足tanao=2,若曲線。與Q的公共點(diǎn)都在。3上，求

【答案】解S%:慎獻(xiàn)得/胃鼠/兩式平方相加得，熱密75

???。為以(0,1)為圓心，以。為半徑的圓.

化為一般式：f+f-2yH-q2=o.①

由工2曠=「2,j；=psin0,得p2-2psin8+l-a2=0；

(II)Q：p=4cos0,兩邊同時(shí)乘p得p2=4pcos。，

/.X2-F^2=4X,②

即(x-2)2+y2=4.

由C3：e=ao,其中ao滿足tanao=2,得y=2x,

V曲線Cl與Cl的公共點(diǎn)都在。3上，

：.y=2x為圓Ci與C2的公共弦所在直線方程，

①-②得：4x-2y+l-/=(),即為C3，

/.1-〃2=0,

：.a=\(40).

18.【2016年新課標(biāo)2理科23】在直角坐標(biāo)系xOy中，圓。的方程為(x+6)2+/=25.

（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；

（II）直線/的參數(shù)方程是｛；二；；落（/為參數(shù)），/與c交與a8兩點(diǎn)，\AB\=VTo,求/的斜率.

【答案】解：（I）?.?圓C的方程為（x+6）2+/=25,

1?12JCH1=0,

Vp2=x2+y2,x=pcosa,y=psina,

?*.。的極坐標(biāo)方程為p2+12pcosa+11=0.

（II）?.?直線/的參數(shù)方程是眩二然;（f為參數(shù)），

益鼠代入y=/sina,得：直線/的一般方程n=1211。?工，

?：1與C交與A,8兩點(diǎn)，\AB\=V10,圓C的圓心C（-6,0）,半徑r=5,

圓心到直線的距離d=卜一（挈）2.

圓心C（-6,0）到直線距離公廠6tan：|二扇一？

Jl+tan2ayj4

解得tan2a=東；.tana=±=±三二

V15

."的斜率衣=土〒.

19.【2016年新課標(biāo)3理科23】在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為儼=8的。改為參數(shù)），以

坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為psin（。+/）=2或.

（1）寫出。的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P在Ci上，點(diǎn)。在C2上，求的最小值及此時(shí)尸的直角坐標(biāo).

【答案】解：（1）曲線Ci的參數(shù)方程為卜=Kc°sa（a為參數(shù)），

（y=sina

x2

移項(xiàng)后兩邊平方可得了+^2=cos2a+sin2a=1,

即有橢圓Cl：y+/-1；

曲線C2的極坐標(biāo)方程為psin（6+^）=2也

即有p（~^-sin0+-^cosO）=2^2,

由x=pcos。，y=psin0,可得工到-4=0,

即有Ci的直角坐標(biāo)方程為直線x+y-4=0；

（2）由題意可得當(dāng)直線x+y-4=0的平行線與橢圓相切時(shí)，

|「。|取得最值.

設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為x+y+t^0,

聯(lián)立2:可得4X2+6ZX+3t2-3=0,

由直線與橢圓相切，可得△=36理-16(3/2-3)=0,

解得/=±2,

顯然f=-2時(shí)，|尸。取得最小值，

即有早1=魚，

V1十JL

Q

此時(shí)4/-12x+9=O解得

31

即為P(5，-).

另解：設(shè)尸(百cosa,sina),

由P到直線的距離為d=的紗甯咽二4J

v2

12s譏(a+^)-4]

=五'

當(dāng)sin(a+J)=1時(shí)，|P0|的最小值為企，

31

此時(shí)可取a=*即有尸(-,-).

20.【2015年新課標(biāo)1理科23】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線Ci：x=-2,圓C2：(x-1)2+(y-2)2=1,

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)求Ci,C2的極坐標(biāo)方程；

(II)若直線C3的極坐標(biāo)方程為。=*(p€R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求aQ例N的面積.

【答案】解：(I)由于x=pcos。，y=psin。，Ci：x=-2的

極坐標(biāo)方程為pcos9=-2,

故C2：(X-1)2+(y-2)2=1的極坐標(biāo)方程為：

(pcosO-1)2+(psinO-2)2=L

化簡(jiǎn)可得p?-(2pcos0+4psin0)+4=0.

(II)把直線c3的極坐標(biāo)方程。=今(PeR)代入

圓Q：(x-1)2+(y-2)2=1,

可得p?-(2pcos0+4psin0)+4=0,

求得pi=2VI,P2=42<

...|AfW=|pi-P2|=V2,由于圓C2的半徑為1,：.C2MLCIN,

△CIMN的面積為》1?1=/

21.【2015年新課標(biāo)2理科23】在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線Ci：1工；管:(f為參數(shù)，岸0),其中OWa

在以。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線Q：P=2sin0,C3：p=2V3cos0.

(1)求C2與。3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

(2)若。與C2相交于點(diǎn)Z,。與C3相交于點(diǎn)8,求|力用的最大值.

【答案】解：(/)由曲線C2：p=2sin0,化為p2=2psin6,

.*.x2+y2=2j\

同理由C3：p=2V3cos0.可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2=2V3x,

聯(lián)立以二震「

解喉化:

...C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0),(整，|).

(2)曲線。：匕二；：鬻G為參數(shù)，叱0),化為普通方程：尸xtana,其中OWaWn,W今a=?時(shí)，

—Lol/tCcLL

為x=0(y#0).其極坐標(biāo)方程為：0=a(pER,pWO),

VJ,3都在G上,

??A(2sina,a),B(2y/3cosa,a).

A\AB\—\2sina—2yl3cosa\=4\sin(a—^)|,

當(dāng)(？=猾時(shí)，|N5|取得最大值4.

22.【2014年新課標(biāo)1理科23】已知曲線C：。+[=1,直線/：[=；+：,(f為參數(shù))

(I)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線/的普通方程.

(H)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與/夾角為30°的直線，交/于點(diǎn)4求|以|的最大值與最小值.

%2y2

【答案】解：(I)對(duì)于曲線C：—+—=1,可令x=2cos。、歹=3sin。，

49

故曲線C的參數(shù)方程為匕：及氏，(9為參數(shù)).

iy—osiiiu

對(duì)于直線/:產(chǎn)；+;幺，

{y=2-2t②

由①得：t=x-2,代入②并整理得：2x+y-6=0；

(II)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos0,3sin6).

P到直線I的距離為d=恪\4cosd+3sin3-6|.

則上川=于票=卒|5$譏(9+&)-6|,其中a為銳角?

22V5

當(dāng)sin(0+a)=-I時(shí)，|以|取得最大值，最大值為一^一.

2V5

當(dāng)sin(0+a)=1時(shí)，|以|取得最小值，最小值為一丁.

23.【2014年新課標(biāo)2理科23】在直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

半圓。的極坐標(biāo)方程為p=2cos。，9G[0,堂

(I)求C的參數(shù)方程；

(II)設(shè)點(diǎn)。在半圓C上，半圓C在。處的切線與直線/：丁=怎+2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方

程，求直線CD的傾斜角及。的坐標(biāo).

【答案】解：(1)由半圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos0,06[0,今，即p2=2pcos。，可得C的普通方程為(x

-1)2+)^—1(O0W1).

可得C的參數(shù)方程為￡2：c°st('為參數(shù)，O&WTT).

(y—siTic

(2)設(shè)〃(1+cosf,sinf),由(1)知C是以C(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓，

?.?直線。的斜率與直線/的斜率相等，，tam=V5,t=J.

故。的直角坐標(biāo)為(1+cos/sin?),即%,—

JJ22

24.【2013年新課標(biāo)1理科23】已知曲線C1的參數(shù)方程為獸肥;(f為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，

(y=5+osint

x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=2sine.

(1)把Ci的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

(2)求Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(p'0，0^6<2n).

【答案】解：⑴將蓑黑;，消去參數(shù)/，化為普通方程(x-4)2+(廠5)2=25,

3十Doi/ic

即Cl：f+y2-8x-10八16=0,

將1瑞代入x*-8x-10刑6=0,

得p2-8pcos0-10psin6+16=0.

：.C\的極坐標(biāo)方程為p2-8pcos6-10psine+16=0.

(2)曲線Ci的極坐標(biāo)方程為p=2sin0.

曲線Ci的直角坐標(biāo)方程為f+產(chǎn)-2y=0,

嗚—儼+y2-8x-10y+16=0

(%2+y2-2y=0

解喉;或建,

???Cl與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(應(yīng)，J)和(2,夕.

25.【2013年新課標(biāo)2理科23】已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸、。都在曲線C；仁然分邛為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為0

=。與0=20((0<a<2n),A/為尸0的中點(diǎn).

(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；

(2)將“到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷"的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).

【答案】解：(1)依題意有P(2cosa,2sina),Q(2cos2a,2sin2案,

因此A/(cosa+cos2a,sina+sin2a).

M的軌跡的參數(shù)方程地：窸黑常為參數(shù)，0<?<2K).

(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=J/+>2=+2cosa(0<a<2n).

當(dāng)a=n時(shí)，<7=0,故A1的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).

.???，模擬好題］

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(a為參數(shù))，直線/的參數(shù)方程為｛；二噂；

(f為參數(shù))，設(shè)原點(diǎn)。在圓C的內(nèi)部，直線/與圓C交于A/,N兩點(diǎn)；以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸

建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線/和圓C的極坐標(biāo)方程；

(2)求證：|0M『+|0N『為定值.

【答案】(1)。=彳(P6/?)；p2-(2acos0)p+a2-4=0.

(2)證明見解析.

【解析】

(1)將直線/的參數(shù)方程化為普通方程，得丫=，所以直線/的極坐標(biāo)方程為O=：(peR)；

將圓C的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得(x-a)2+y2=4,所以圓C的極坐標(biāo)方程為p2-(2acos8)p+a2-

4=0.

(2)證明：將6=會(huì)弋入p2—(2acos0)p+a?—4=0,得p?-aap+a?—4=0.

22=222

則Pi+P2=y/2a,p1p2=a—4?所以+\ON\=(Pi+P2)~2Plp2=(V2a)—2(a—

4)=8,

故|OM『+|ON|2為定值.

2.在直角坐標(biāo)系x。，中，曲線C的參數(shù)方程為晝(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為2pcos0-V3psin0+11=0

(1)求曲線C的普通方程和直線，的直角坐標(biāo)方程；

(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線/距離的最大值.

【答案】(1)(%—1)2+(y+V3)2=4;2x—V3y+11=0

(2)16夕+14

【解析】

(1)曲線C的參數(shù)方程為(9為參數(shù))，

則曲線C的普通方程為(％—1)2+(y+遮)2=4,

將:pshif代入直線1的極坐標(biāo)方程為2pcosJ-V3psin6+11=0，

可得直線I的直角坐標(biāo)方程為2x-V5y+11=0；

(2)曲線C的普通方程為(x-l)2+(y+b)2=4,其圓心為(1,一百)，

圓心(1,一6)到直線2乂-By+11=0的距離為：d==竽，

故曲線C上的點(diǎn)到直線，距離的最大值為鰭+2=竺豆竺.

77

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/過點(diǎn)4(-2,-4),傾斜角為a.曲線C的參數(shù)方程為｛(f為參

數(shù)).

(1)設(shè)。=？，P,。分別為直線/和曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值；

(2)若直線/和曲線C交于M,N兩點(diǎn)，且|4M|,|MN|,|4N|成等比數(shù)列，求tana的值.

【答案】(1后2；

(2)-,或1.

【解析】

(1)當(dāng)。=牛時(shí)，直線/的斜率k=tana=-1,

則直線I的方程為y+4=-(x+2),即x+y+6=0,

設(shè)Q(2t2,2t),則Q到宜線(的距離為d=邑"坦，

V2

又2t2+2t+6=2(t+1)2+y>y,所以dmin=,=竽，

即|PQ|的最小值為竽；

(2)由(t為參數(shù))，得曲線C的普通方程為y2=2X,

由題意得直線I的參數(shù)方程為匕MI:篙:(t為參數(shù))，

iy——41十LSinu

代入曲線C的普通方程得sin2at2-(8sina+2cosa)t4-20=0(sinaH0),

A=(8sina+2cosa)2—80sin2a>0,

由cosaW0,得1+8tana—4tan2a>0,

設(shè)M(—2+mcosa,-4+msina)、N(—2+ncosa,—4+nsina)?

mi,8sina+2cosa20一小

則m+九=----；-----,mn=—廠>0,

sin'asin'a

-22z22

又14Ml=7(2+mcosa4-2)+(44-msina-4)=y/m(cosa4-sina)=|m|,

同理,\AN\=|n|,\MN\=\m-n\9因?yàn)閨AM|、|MN|、|AN|成等比數(shù)列,

2

所以=\AM\\AN\fBP|m—n\=|m||n|,

所以(m+n)2-4mn=mn,BP(m+n)2=5mn,

即(8sina+；co、a)2_化簡(jiǎn)得9sin2a—8sinacosa—cos2a=0,

sin'asinza

即9tan2a—8tana-1=0,解得tanatana=1,

當(dāng)tana=-1時(shí),1+8tana—4tan2a=^->0,符合題意,

當(dāng)tana=1時(shí)，1+8tana—4tan2a=5>0,符合題意，

所以tana=-或tana=1.

4.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的方程為“2+(y—i)2=i.P為曲線Ci上一動(dòng)點(diǎn)，且麗=2而，點(diǎn)Q的軌

跡為曲線C2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線G，C2的極坐標(biāo)方程；

(2)曲線C3的極坐標(biāo)方程為p2=潟句，點(diǎn)”為曲線C3上一動(dòng)點(diǎn)，求|MQ|的最大值.

【答案】(l)p=2sin0：p=4sin0

(2)5

【解析】

⑴由題意可知，將「二黛:代入必+(y-1)2=1得2=2sin0,

則曲線Cl的極坐標(biāo)方程為p=2sin。，

設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(Po,6o),則po=2sin0o,

點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為(P，。)，由的=2歷得即軻=5。，

將［P°-2P代入po=2sin8()得p=4sin0,

I8=。0

所以點(diǎn)Q軌跡曲線。2的極坐標(biāo)方程為P=4sin。；

2

(2)曲線C3直角坐標(biāo)方程為5+y2=1,設(shè)點(diǎn)M(V^cosp,sinw),

曲線C2的直角坐標(biāo)方程為d+(y—2)2=4,則圓心為N(0,2),

iMQlmax=|MN|max+2,

即|MN|=J(V2cos(p)2+(sin(p-2)2=J—sin2(p—4sin(p+6

當(dāng)sin9=-l時(shí)，|MN|max=3，所以|MQ|max=3+2=5.

5.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為：(，為參數(shù)，ae(0,§)，以