數(shù)學(xué)中考專題訓(xùn)練-扇形面積的計(jì)算

中考專題訓(xùn)練——扇形面積的計(jì)算

1.如圖，四邊形48C。是。。的內(nèi)接四邊形，AB是。。的直徑，連接AC.若/D4C=

2.如圖，點(diǎn)A,B,C在直徑為2的。。上，NBAC=45°.

(1)求弧的長度；

(2)求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果中保留TT)

3.如圖，A8是。0的弦，A8=4,點(diǎn)P在AmB上運(yùn)動，且NAPB=30°.

(1)求的半徑；

(2)求圖中陰影部分的面積.

4.如圖，已知AB是。0的直徑，點(diǎn)C在。。上，延長BC至點(diǎn)￡),使得。C=8C,直線

D4與。。的另一個交點(diǎn)為E,連接AC,CE.

(1)求證：CD=CE；

(2)若4c=2,ZE=30°,求陰影部分(弓形)面積.

5.如圖所示，AB是的直徑，ZB=30°,弦BC=6,N4CB的平分線交。。于。，連

AD.

(1)求直徑A8的長.

(2)求陰影部分的面積(結(jié)果保留ir).

6.如圖，已知。0是△ABC的外接圓，AC是直徑，NA=30°,BC=2,點(diǎn)。是AB的中

點(diǎn)，連接。。并延長交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作P尸LAC于點(diǎn)F.

(1)求劣弧PC的長；(結(jié)果保留n)

(2)求陰影部分的面積.(結(jié)果保留71).

7.如圖，有一直徑是20厘米的圓型紙片，現(xiàn)從中剪出一個圓心角是90°的扇形A8C.

(1)求剪出的扇形4BC的周長.

(2)求被剪掉的陰影部分的面積.

8.如圖，A2是。。的直徑，3D是。0的弦，延長BO到點(diǎn)C,使OC=BD,連接AC交。。

于點(diǎn)F.

(1)AB與AC的大小有什么關(guān)系？請說明理由：

(2)若AB=8,NBAC=45°,求：圖中陰影部分的面積.

9.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C、。在。。上，且BC=3cm,AC=4cm,NABD=45；

(1)求8。的長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

10.如圖，在aABC中，ZBAC=90Q,AB=6cm,AC^2cm,將△ABC繞頂點(diǎn)C按順時

針旋轉(zhuǎn)45°至△48C的位置，

(1)求證：△ACB妾△A1CB1；

(2)求線段A8掃過的區(qū)域(圖中陰影部分)的面積.

B.

II.如圖，A8為00的直徑，AB=AC,BC交于點(diǎn)D,AC交。0于點(diǎn)E.

(1)求證：BD=CD；

(2)若A8=8,/BAC=45°,求陰影部分的面積.

A

12.如圖，Z\ABC中，AB=4,AC=2,BC=2禽，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)。，以

A為圓心，AC為半徑的扇形交A8于點(diǎn)E.

(1)以BC為直徑的圓與AC所在的直線有何位置關(guān)系？請說明理由；

(2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果可保留根號和n).

B

13.已知：如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C、。在00上，且2C=6a”，AC=8c,*,ZABD

=45°.

(1)求8。的長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

14.如圖，已知AB是00的直徑，弦C￡>_LAB,垂足為E,ZAOC=60°,0C=2.

(1)求0E和C。的長；

(2)求弧8。的長及圖中陰影部分的面積.

15.如圖，A、B、C、D在。0上，OCLAB,垂足為E,ZA￡>C=30°,Q0的半徑為

2.求：

(1)NBOC的度數(shù)；

(2)由8E、CE及弧8c圍成的陰影部分面積.

16.如圖，四邊形ABC。是0。的內(nèi)接四邊形，NABC=2ND,連接。4、OB、OC、AC,

OB與AC相交于點(diǎn)￡

(1)求/OCA的度數(shù)；

(2)若/C0B=3NA0B,0C=2?,求圖中陰影部分面積(結(jié)果保留TT和根號)

D

17.如圖，點(diǎn)A、B、C在。0上，且四邊形OA8C是一平行四邊形.

（1）求/AOC的度數(shù)；

（2）若。。的半徑為3,求圖中陰影部分的面積.

18.如圖，在邊長為4的正方形ABCZ）中，以A8為直徑的半圓與對角線AC交于點(diǎn)E.

（1）求弧BE所對的圓心角的度數(shù).

（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留口）.

19.如圖，已知半圓的圓心為0,半徑00=2.扇形BOC所在圓以B為圓心，以08為半

徑，圓心角為45°.

（1）求扇形BOC的面積和弧QC的長；

（2）求圖中陰影部分的面積.

20.如圖，A8為量角器（半圓。）的直徑，等腰直角△BCD的斜邊8。交量角器邊緣于點(diǎn)

G,直角邊C。切量角器于讀數(shù)為60°的點(diǎn)E處（即弧AE的度數(shù)為60°）,第三邊交

量角器邊緣于點(diǎn)F處.

（1）求量角器在點(diǎn)G處的讀數(shù)a（0°<a<900）；

（2）若AB=8tro,求陰影部分面積.

c

參考答案:

I.如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，AB是。。的直徑，連接AC.若ND4C=

45°,DC=8&，求圖中陰影部分的面積（保留TT）.

【分析】連接?！辏尽?C,根據(jù)圓周角定理得到NOOC=2/OAC=90°,根據(jù)直角三角形

的性質(zhì)求出O。、0C,根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：???連接。。、0C,

???ND4C=45°,

：.ZDOC=2ZDAC=90°,

。。=6^=亞0c=8,

2

.??陰影部分的面積=毀少工-2X8X8=16TT-32.

3602

2.如圖，點(diǎn)A,B,C在直徑為2的。。上，ZBAC=45°.

(1)求弧BC的長度：

(2)求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果中保留TT)

B

【分析】(1)如圖，連接。8,OC.求出NBOC=90°,利用弧長公式求解即可;

(2)根據(jù)S陰=S扇形O8C-SaOBC,求解即可.

【解答】解：(1)如圖，連接。8,OC.

???NBOC=2NA,乙4=45°,

：.ZBOC=90°,

???OO的直徑為2,

:.OB=OC=\,

90?兀7兀

，BC的長=

1802

(2)Sm=SmOBC-S^OBC=9°E-二1--—X1X1=--

360242

3.如圖，4B是。。的弦，AB=4,點(diǎn)P在面上運(yùn)動，且NAPB=3O°.

(1)求。。的半徑；

(2)求圖中陰影部分的面積.

【分析】(1)證明△OAB是等邊三角形即可.

(2)根據(jù)S?]=SrnOAB-SAOABI十算即可.

【解答】解：(1),：ZAOB=2ZAPB,NAP8=30°,

AZAOB=60°,

?：OA=OB,

??.△QAB是等邊三角形，

???OA=OB=AB=4.

(2)Sfin=Sa?OAB-Sz\OAB=1°"無"4;.-2Z±X42=—IT-4^3-

36043

4.如圖，己知AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，延長BC至點(diǎn)。，使得。C=BC,直線

D4與。0的另一個交點(diǎn)為E,連接AC,CE.

(1)求證：CD=CE；

(2)若AC=2,Z￡=30°,求陰影部分(弓形)面積.

【分析】(1)只要證明NE=NQ,即可推出CD=CE；

(2)根據(jù)Sm—S扇彩OBC-S/xOBC計(jì)算即可解決問題；

【解答】（1）證明：???AB是直徑，

AZACB=90Q,

?；DC=BC,

：.AD=AB,

:?/D=NABC,

VZE=ZABC,

：.ZE=ZDf

:,CD=CE.

（2）解：由（1）可知：ZABC=ZE=30°,ZACB=90°,

：.ZCAB=60°,AB=2AC=4f

在RtZSABC中，由勾股定理得到8C=2j§,

連接。C,則N005=120°,

2

X

:.S陰=S扇形OBC-SAOBC=120".%2V32=-^—--A/3.

360223

5.如圖所示，AB是。。的直徑，/8=30°,弦BC=6,Z4CB的平分線交。0于。，連

AD.

（1）求直徑4B的長.

（2）求陰影部分的面積（結(jié)果保留71）.

D

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角推知NACB=90°,然后在直角三角形ABC

中利用邊角關(guān)系、勾股定理來求直徑AB的長度；

（2）連接?！?gt;.利用（1）中求得AB=4我可以推知0A=0￡>=2d§；然后由角平分線

的性質(zhì)求得NAOZ）=90°；最后由扇形的面積公式、三角形的面積公式可以求得

陰影部分的面積=5扇形"OD-SMOD.

【解答】解：(1)為。。的直徑，

AZACB=90°,

；NB=30°,

：.AB=2AC,

'：AB2=AC2+BC2,

：.AB2=^AB2+62,

4

."8=4后

(2)連接OQ.

：.OA=OD=2M，

?.,C￡>平分/AC8,/4CB=90°,

：.ZACD=45°,

...N4O￡)=2/AC￡>=90°,

Sj0O=/04.0。=^?2后2次=6,

?'-SmMOD=—,Ti'OD2=—,-n'(2^3)2=3TT,

44

??.陰影部分的面積=Smt^AOD-5AAOD=3TT-6.

6.如圖，己知。。是AABC的外接圓，AC是直徑，ZA=30°,8c=2,點(diǎn)力是A3的中

點(diǎn)，連接。。并延長交。。于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作PFLAC于點(diǎn)F.

（1）求劣弧PC的長；（結(jié)果保留n）

（2）求陰影部分的面積.（結(jié)果保留n）.

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理求得PO_LAB,然后根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)求得OA

=200,進(jìn)而求得。尸=工。尸，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求得從而求得0A

22

=2,然后根據(jù)弧長公式即可求得劣弧PC的長；

（2）求得。尸和PF,然后根據(jù)S陰影=S扇形-SAOPF即可求得.

【解答】解：（1）：點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心，

J.PDA.AB,

VZA=30°,

...NPOC=/AOO=60°,OA=2OD,

"：PFLAC,

：.ZOPF=30Q,

；.OF=JLOP,

2

'：OA=OC,AD=BD,

：.BC=2OD,

.'.0A=BC—2,

二。。的半徑為2,

nn_60K

二劣弧PC的長=rX2_2K

180-180京

(2)VOF^loP,

2

：.OF=\,

PF=VOP2-OF2=Vs>

；.S陰影=S南形-SAOPF----71-^■—-2X1XF=2TT-叵.

360232

7.如圖，有一直徑是20厘米的圓型紙片，現(xiàn)從中剪出一個圓心角是90°的扇形4BC

（1）求剪出的扇形ABC的周長.

（2）求被剪掉的陰影部分的面積.

B

【分析】(1)連接BC,首先證明BC是直徑，求出AB,AC,利用弧長公式求出弧BC

的長即可解決問題.

(2)根據(jù)S陰=S網(wǎng)。-S場彩A8C計(jì)算機(jī)可解決問題.

【解答】解：(1)VZBAC=90°,

」.BC是。。的直徑，

BC=20cm,

'：AB=AC,

；.A8=AC=10&,

它的長=%兀=5&TT,

180

二扇形ABC的周長=(2oJ5+5j，n)cm.

(2)Sfifl=S圓。-S扇形ABC—71,102-90'兀二(1°亞J_=5OTTC/772.

360

8.如圖，A2是。0的直徑，8。是。。的弦，延長BO到點(diǎn)C,使￡>C=B￡>,連接AC交。0

于點(diǎn)F.

(1)A8與AC的大小有什么關(guān)系？請說明理由；

(2)若4B=8,/BAC=45°,求：圖中陰影部分的面積.

【分析】(1)連接AD,根據(jù)圓周角定理可以證得AD垂直且平分BC,然后根據(jù)垂直平

分線的性質(zhì)證得AB=AC-,

(2)連接0。、過。作。H_LA8,根據(jù)扇形的面積公式解答即可.

【解答】解:(1)AB=AC.

理由是：連接AD.

是。。的直徑，

.：/ADB=90°，BPADLBC,

又,：DC=BD,

：.AB=AC；

(2)連接。。、過。作O”_LA8.

：A8=8,NBAC=45°，

AZSOD=45°,0B=0D=4,

：.DH=2-/2

：./\OBD的面積=/x4X2血=全方

2

扇形OBD的面積=生"兀＞一=2幾，陰影部分面積=2兀-4點(diǎn).

360

9.如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)C、。在0。上，且BC=3cm,AC^4cm,NABO=45°.

(1)求8。的長；

(2)求圖中陰影部分的面積.

【分析】(1)由A8為。O的直徑，得到NAC8=90°,由勾股定理求得AB,OB=

5cm.連?！?,得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)S陰影=s扇形一SAOBD即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)為。。的直徑，

AZACB=90°,

VBC=3cm,AC=4cm,

/.OB=2.5cm,

連OD,

OD=OB,

：.ZODB=ZABD=45°,

Z.ZBOD=90°,

BD=VOB2-K)D2=2.5V2cw.

(2)5=-^-Tf(2.5)2-AX2.5X2.5=^57T-^-cm2.

WK360216

10.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=6cm,AC=2cm,將△ABC繞頂點(diǎn)C按順時

針旋轉(zhuǎn)45°至△AIBIC的位置,

（1）求證：△ACB^AAiCBi；

（2）求線段AB掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積.

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知8c=8iC、ZBCBi-ZACAi,AC=A\C,繼而知/8CA=

ZBiCAi,再根據(jù)“SAS”即可證明.

根據(jù)陰影部分的面積是：S5AABC-SCAA],分別求得：扇形

（2）a?BCfil+5ACBlAl-

BCBi的面積，SACBMI，S/\ABC以及扇形CAA1的面積，即可求解.

【解答】解：(1)由aABC繞頂點(diǎn)C按順時針旋轉(zhuǎn)45°得△48iC知8c=8iC、NBCBi

=/AC4i、AC=AiC,

：.ZBCB\+ZB\CA=ZACAi+ZBiCA,即ZBCA=ZBICAI,

在AACB和△AiCBi中，

，

BC=B1C

?jZBCA=ZB1CA1,

AC=AtC

.?.△ACBdAiCBi(SAS);

(2)解：在RtaABC中，=2^/15，

扇形BCBi的面積是=45“兀.40=5^,

360

SACBIAI=」X6X2=6；

2

<…，一45?兀?4一兀

S闞形。AI---------------—?

3602

,,1g

故S陰影部分=S?)gBCB\+S^CB\AI-S/xABC~Sta?CAA\=5n+6-6■—TT=—it.

22

11.如圖，A8為00的直徑，AB=AC,BC交OO于點(diǎn)D,AC交。。于點(diǎn)E.

(1)求證：BD=CD;

(2)若A8=8,/5AC=45°,求陰影部分的面積.

【分析】(1)利用圓周角定以及等腰三角形的性質(zhì)得出即可；

(2)首先得出NBOE=90°,BO=EO=4,ZAOE=90°,進(jìn)而求出SUJ=SABOE+S扇形

QAE的值.

【解答】(1)證明：連接4。，

為。。直徑，

：.AD±BC,

又：AB=AC,

；.BD=CD；

(2)連接OE,

：AB=8,NBAC=45°,

；./BOE=90°,BO=EO=4,NAOE=90°,

.*.5m=S^BOE+S酎形OAE=8+4n.

0」

[E

市D°

12.如圖，△ABC中，AB=4,AC=2,BC=2百，以8c為直徑的半圓交AB于點(diǎn)。，以

4為圓心，AC為半徑的扇形交AB于點(diǎn)E.

（1）以BC為直徑的圓與AC所在的直線有何位置關(guān)系？請說明理由；

（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果可保留根號和F）.

【分析】（1）根據(jù)切線的判定定理，證明N4CB=90°即可;

（2）根據(jù)S陰影=S半圓-（S&4BC-S扇形4CE）,即可求解.

【解答】解：（1）相切.（1分）

理由：V22+（273）2=16=42,

:.AC2+BC2=AB2.

：.ZACB=90°.

...以8c為直徑的圓與AC所在的直線相切.（4分）

（2）:□△ABC中，COSA=-^=A.

AB2

AZA=60°.（5分）

*,?*$陰影=S半圓-（SAABC-S廚形ACE）

（百）2一（±X2X2V3--^TtX22）=11-L-2^/3.（8分）

223606

13.已知：如圖，AB為OO的直徑，點(diǎn)C、力在O。上，且8c=6?！?，AC=Scm,ZABD

=45。.

（1）求8。的長；

（2）求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）連接。。，根據(jù)勾股定理求出AB,求出。8,再根據(jù)勾股定理求出8。即可;

（2）分別求出扇形OQB和△ODB的面積，即可得出答案.

【解答】解：（1）為。。的直徑，

:.NACB=90°,

?BC=6cm,AC—

??.由勾股定理得：AB=lOcmf

;OD=OB,

???NOO8=NA8O=45°,

：.ZBOD=90°,

???fiD=VoB2-H3D2=<0B2+0D2=5&C7"；

(2)S陰影=S南形ODB-S&ODB

=型卅52-工X5X5

3602

中點(diǎn)）.

14.如圖，已知AB是。。的直徑，弦C￡）_LAB,垂足為E,NAOC=60°,OC=2.

（1）求OE和CD的長;

（2）求弧B。的長及圖中陰影部分的面積.

c

【分析】（l）在AOCE中，利用三角函數(shù)即可求得CE,OE的長，再根據(jù)垂徑定理即可

求得CD的長;

（2）根據(jù)弧長公式即可得到弧BD的長，根據(jù)半圓的面積減去AABC的面積，即可得到

陰影部分的面積.

【解答】解：（1）在△OCE■中,

：NCEO=90°,ZEOC=60°,OC=2,

：.OE=^OC=1,

2

:.CE=^-OC=M，

'：OALCD,

：.CE=DE,

:.CD=2如;

(2)VCDLAB,

.'.BD=BC.

VZEOC=60°,

AZBOC=120°,

...弧BD的長=120?2元X2=也,

3603

；SMBC=EC=]x4Xy=2代,

15.如圖，4、B、C、D在G）O上，OCLAB,垂足為E,NADC=30°,QO的半徑為

2.求：

(1)/BOC的度數(shù)；

(2)由BE、CE及弧BC圍成的陰影部分面積.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得到眾=前，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/O8E=30°,解直角三角形得到OE=1,BE=M，根

據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)VOC±AB,

???AC=BC.

VZADC=30°,

ZBOC=2ZADC=60a,

(2)VZBOC=60°,OCLAB,

：.NOBE=30°,

：0。的半徑為2,

/.OE=1,BE=?,

2

由BE、CE及弧BC圍成的陰影部分面積=S南彩-5ABO￡=60，K>2--X\/3X1

3602

_2兀

~2~'

16.如圖，四邊形A8C￡>是。0的內(nèi)接四邊形，NABC=2ND,連接。4、OB、OC、AC,

OB與AC相交于點(diǎn)E.

(1)求/OC4的度數(shù)；

(2)若NCOB=3NAOB,OC=243,求圖中陰影部分面積(結(jié)果保留TT和根號)

【分析】(1)根據(jù)四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形得到/A8C+NO=180°,根據(jù)N

45c=2/。得到NQ+2N￡)=180°,從而求得ND=60°,最后根據(jù)04=。。得到N

OAC=ZOCA=30°；

(2)首先根據(jù)NCO5=3NAO3得至ljNAO3=30°,從而得到NC03為直角，然后利用

S陰影=S扇形0BC-S^OEC求解.

【解答】解：(1)??,四邊形A8CO是。。的內(nèi)接四邊形，

AZABC+ZD=180°,

,/NABC=2/D,

/.ZD+2ZD=180°,

AZD=60°,

AZAOC=2ZD=\20°,

???Q4=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°；

(2)":/COB=3/AOB,

：.ZA0C=ZAOB+3ZAOB=nO°,

???N4O8=30°,

：.ZCOB=ZAOC-ZAOB=9O0,

在RtZ\OCE中，。。=2?,

0E=0c?tanZ0CE=2禽?tan30°=2MX返=2,

3

二SAOEC=/OE?0C=/x2X2禽=2?,

―幽L應(yīng)Um

360

??S陰影=S扇形。8C-SAOEC=3TT-2V3.

17.如圖，點(diǎn)A、B、C在O。上，且四邊形0ABe是一平行四邊形.

(1)求/A0C的度數(shù)；

(2)若。。的半徑為3,求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）連接08,證明△048是等邊三角形，求出NA0C的度數(shù);

（2）根據(jù)陰影面積=扇形OAB的面積-三角形0AB的面積計(jì)算即可.

【解答】解：（1）如圖，連接08,

???四邊形0ABe是一平行四邊形，

：.AB=0C,

"：OA=OB=OC,

：.AB=0A=0B,即△OAB是等邊三角形，

；.NAOB=60°,同理NBOC=60°,

AZAOC=120°；

（2）S牌=扇形OAB的面積-三角形OAB的面積

=AnX32-返X32

64

6兀-9y

18.如圖，在邊長為4的正方形ABCO中，以A8為直徑的半圓與對角線AC交于點(diǎn)E.

（1）求弧BE所對的圓心角的度數(shù).

（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留7T）.

【分析】（1）連接0E,由條件可求得/￡48=45°,利用圓周角定理可知弧8E所對的

圓心角/EOB=2NEAB=90°；

（2）利用條件可求得扇形AOE的面積，進(jìn)一步求得弓形的面積，利用的面積

減去弓的面積可求得陰影部分的面積.

【解答】解：（1）連接0E,

?.?四邊形ABC。為正方形，

AZEAfi=45°,

：.ZEOB=2ZEAB=9Q°；

(2)由(1)NEOB=90°,

且AB=4,則0A=2,

2

；?S扇形AOE=9°兀*2，=n,SAAOE=—OA=2,

3602

??S弓形=S扇形AOE-S^AOE=Tl~2,

又；S"CD=2A》CO=」X4X4=8,

22

19.如圖，已知半圓的圓心為O