天津市某中學2020-2021學年八年級下學期期中數學試題（解析版）

2020-2021八年級數學學科期中學情調研試卷

一、選擇題

1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.2>/2B.C.Jo.5D.J12

【答案】A

【解析】

【分析】結合最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因

式.進行解答即可.

【詳解】A、2也是最簡二次根式；

B、昌也,不是最簡二次根式；

V22

C、，不是最簡二次根式；

2

D、百，不是最簡二次根式；

故選A.

【點睛】本題考查了最簡二次根式，解答本題的關鍵在于熟練掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數不

含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

2.若4在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>-3

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用二次根式中的被開方數是非負數，求出答案即可.

【詳解】解：在實數范圍內有意義，

3-x>0,

爛3,

故選：A

【點睛】本題考查二次根式有意義，解題的關鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎題型.

3.以下各組線段為邊，能組成直角三角形的是（）

A.6cm,12cm,13cmB.—cm,1cm,—cm

43

C.8cm,6cm,9cmD.1.5cm,2cm,2.5cm

【答案】D

【解析】

【分析】本題可根據選項中的三個數看是否滿足“斗爐=/,若滿足則為答案.

【詳解】解：A.62+12V132,根據勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯誤；

B.（；）2+124-）2,根據勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯誤；

C.不能，因為62+82切2,故不能構成直角三角形，故錯誤；

D.能，因為1.52+22=2.52,故能構成直角三角形，

故選D.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，比較簡單，勾股定理的逆定理，即。2+〃=/.

4.下列運算錯誤的是（）

A.A/2+V3=V5B.6.忑=瓜C.瓜;0D.（-V2）'=2

【答案】A

【解析】

【分析】根據二次根式的加減法對A進行判斷；根據二次根式的乘法法則對B進行判斷；根據二次根式的

除法法則對C進行判斷；根據二次根式的性質對D進行判斷.

【詳解】解：A、血與也不是同類二次根式，不能合并，所以A選項的計算錯誤；

B、.所以B選項計算正確；

C、遙+0==所以C選項的計算正確；

D、（—0『=2,所以D選項的計算正確.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算.熟練掌握法則是解題的關鍵

5.一個直角三角形兩條直角邊邊長分別為3和4,則斜邊上的高為（）.

A.2B,2.2C.2.4D,2.5

【答案】C

【解析】

【分析】根據勾股定理求出斜邊的長，再根據面積法求出斜邊的高.

【詳解】解：設斜邊長為C,高為九

由勾股定理可得：C2=32+42,則C=5,

直角三角形面積S=LX3X4='XCX〃，可得〃=2.4,

22

故選：C.

【點睛】本題考察了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的邊長和利用面積法求直角三角形的高是解決

此類題的關鍵.

6.已知J而是整數，則正整數〃的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】因為J詬是整數，且J礪=2瘋，則6"是完全平方數，滿足條件的最小正整數〃為6.

【詳解】解：而=2瘋，且J赤是整數，

二2陸是整數，即6〃是完全平方數；

的最小正整數值為6.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，關鍵是根據乘除法則和二次根式有意義的條件，二次根式有意

義的條件時被開方數是非負數進行解答

7.已知點。、E、F分別為AABC各邊的中點，若AABC的周長為24cm,則△/）防的周長為（）.

A.6cmB.12cmC.24cmD.48cm

【答案】B

【解析】

【分析】根據三角形中位線的判定和性質解題即可.

【詳解】解：???>E、F分別為AABC三邊的中點，

：.DE.OF、E尸都是AABC的中位線,

DF=-AC,DE=-BC,EF=-AC,

222

故ADE/的周長=DE+Db+EF=g（BC+AB+AC）=gx24=12cm.

故選：B.

【點睛】本題考查三角形中位線的判定和性質.掌握三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解

題關鍵.

8.菱形的周長為20cm,兩個相鄰的內角的度數之比為1：2,則較短的對角線長度是（）

A.2（）GcmB.5百cmC.1-\/3cmD.5cm

【答案】D

【解析】

【分析】根據已知可求得菱形的邊長及其兩內角的度數，得出較短的對角線與菱形兩邊圍成的三角形是等邊

三角形，即可得出結果.

如圖所示：

?.?菱形的周長為20cm,

菱形的邊長為5cm,

???兩鄰角之比為1:2,

???較小角為60。,

ZABC=6O°,

\'AB=5cm,AB=BC?

AABC為等邊三角形，

AC-AB=5cm,

...較短的對角線為5cm,

故選D.

【點睛】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質等知識;熟練掌握菱形的性質與等邊三角形的判

定是解題的關鍵.

9若垂）=a,-^30=b<則Jo.9=（）.

ahaba+b

---B.——D.

10。10aTo10

【答案】c

【解析】

990

【分析】先將被開方數0.9化成分數形式觀察四個選項，在變?yōu)楣?利用積的算術平方根的性質,

10100

寫成含質的形式.本題是把質變?yōu)?x而，代入可解.

叵—l~90V9073x730

【詳解】解：網

V10-V100-7100~一W——記

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的性質和化簡，注意被開方數是小數的要化為分數計算，且保證分母是完全

平方數，根據必=同進行化簡.積的算術平方根的性質：J^=Gx揚（a>0,b>0）.

10.下列判斷正確的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形

B.對角線相等的菱形是正方形

C.對角線相等的四邊形是矩形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【答案】B

【解析】

【分析】根據菱形、正方形、矩形的判定方法，對選項逐個判斷即可.

【詳解】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，說法錯誤，不符合題意；

B、對角線相等的菱形是正方形，說法正確，符合題意；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；

D、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，說法錯誤，不符合題意；

故選：B

【點睛】此題考查了菱形、正方形、矩形的判定方法，掌握它們的判定方法是解題的關鍵.

11.如圖為等邊三角形ABC與正方形OEFG的重疊情形，其中。，E兩點分別在A8,BC上，且

BD=BE.若AC=18,GF=6,則點F到AC的距離為（）.

G

D,

BEC

A.60—6B.66-6C.2A/5D.3百

【答案】B

【解析】

【分析】過點6作3"_LAC于”，交DE于N,交GF于K,延長￡尸交AC于M,根據等邊三角形的性

質求出/A=NABC=60。，然后判定△BCE是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質求出NBDE=60。，然后

根據同位角相等，兩直線平行求出AC〃。區(qū)利用平行線的性質得出NEMC=90°，再利用勾股定理求出

EM=6日從而求出線段的長，即可得解.

【詳解】解：如圖，過點B作用/_LAC于"，交DE于N,交GF于K,延長EF交AC于M

AABC是等邊三角形,

ZA=ZABC=60°,

,/BD=BE，

:?ABDE是等邊三角形,

：.NE8N=30°,

BE=GF=6,

NBDE=60。,

二ZA=ZBDE,

：.AC//DE,

：.NEMC=90。,

NMEC=3()0,

EC=2MC,EM=6cM，

?/CE=BC—BE=18-6=12,

MC=6,EM=65

，FM=EM-EF=66-6,

.??F點到AC的距離為66-6.

故選:B.

【點睛】本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，通

過作輔助線構造直角三角形求線段長是解題的關鍵.

12.如圖，矩形48C。中，他=3,點E、尸分別在邊4B、CD上，點。是E尸與AC的交點，且點。是

線段EF的中點，沿AF、CE折疊，使A。、CB都落在AC上，且。、B恰與點O重合.下列結論：①

NDC4=30°;②點E是A8的中點；③四邊形AECF是菱形；④AO的長是其中正確的結論有

().

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】由四邊形ABC。是矩形，。是E廣的平分點C9〃AE,可得OF=OE,可知。是AC的平分

點，可證AAOE絲ACOE(SAS),OE=OF,AO^AO,可得NAOE=NCOE=90°,則AAOE絲

AAOE(SAS),可知NZMF=NQ4E=NQAF=』x90°=30°,則①正確；因為

3

ZDC4=3O0=NQAE,可得AE=2OE,由ABCE^ACOE,所以OE=BE,則E是AB的三等分

點，則②錯誤；因為AC、E/相互垂直平分，AE=AF,四邊形AECF是菱形，則③正確；由

DF=BE=^AB=\,NZMF=30°可得A尸=2，由此可知A。=6故④正確.

【詳解】解：根據題意得：OA^AD,OC=BC,

???四邊形ABC。是矩形，

CF//AE,AD=BC,

OA=OC,

???。是EE的平分點,

???OF=OE,

^AOFACOE(SAS),

OE=OF,AO—AO,

ZAOF=NCOE=90。,

^AOF/\AOE(SAS),

/.NDAF=ZOAE=ZOAF=k90。=30°,

3

.?.①正確；

；?NOG4=N(ME=30°,

AE=2OE,

,/△*>￡是由△￡(加翻折的，

；.ABCE絲△COE,

OE—BE,

...E是AB的三等分點，

.?.②錯誤；

「AC、EF相互垂直平分，AE=AF,

四邊形AECF是菱形，

.?.③正確；

VDF=BE=-AB=l,ZZMF=30。，

3

；?AF=2,

AD=6，

...④正確，

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形性質和判定，直角三角形的特殊角的性質，熟練運用全等三角形的性質是解

決本題的關鍵.

二、填空題

13.化簡：7200=.

【答案】1072

【解析】

【分析】直接根據二次根式的性質進行化簡即可得到答案.

【詳解】解：A/200=Vl00x2=10V2.

故答案為：10及.

【點睛】本題主要考查了二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質：值=同=|"是解答本

'1[-a（a<0）

題的關鍵.

14.如圖，在RtZXABC中，8。是斜邊AC上的中線，若AC=8,則8。的長=

【答案】4

【解析】

【分析】根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可.

【詳解】解：?.?在中，80是斜邊AC上的中線，AC=8,

BD=-AC=4.

2

故答案為：4.

【點睛】本題考查直角三角形的性質.掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題關鍵.

15.命題“對頂角相等”的逆命題是一個命題（填“真''或"假"）.

【答案】假

【解析】

【分析】先交換原命題的題設與結論得到逆命題，然后根據對頂角的定義進行判斷.

【詳解】解：命題“對頂角相等”的逆命題是相等的角為對頂角，此逆命題為假命題.

故答案為：假.

【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組

成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命

題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.

16.在矩形ABC。中，對角線AC,8。相交于點。，若NAOB=80。，則N0A8的大小為一（度）.

【答案】50

【解析】

【分析】根據矩形的性質求出。4=08,由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出結果.

【詳解】解：如圖所示:

?.?四邊形ABC。是矩形,

:.AC=BD,OA^OC，OB=OD,

:.OA=OB,

NOAB=NOBA=-(l80°-ZAOB)=-(180°-80°)=50°；

22

故答案為：50.

【點睛】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理；解題的關鍵是熟練掌握

矩形的性質，證出。4=03.

17.如圖，在矩形488中，AB=2，AD=3,E、F分別是邊AB、CQ的中點，點P是上一點，

/PFB=3/FBC,則AP的長為_.

52

【答案】-##1-

33

【解析】

【分析】連接AF,由四邊形ABCO是矩形可知，NC=NO=90°,AD//BC,AB//CD,

由E、F分別是邊AB、CQ的中點，可知AE=￡B,DF=FC,進而可知=BE=CF,所以四

邊形AEF。、四邊形BCFE是平行四邊形，由此可證四邊形AEF￡＞、四邊形BCFE都是矩形，所以

EF//AD//BC,ZAEF=9O°,進而可知防_LAB，FA=FB,/AFE=/EFR,由

所〃可知，ZEFB=NFBC,ZDAF=ZAFE,由NPFB=3NFBC，得

NPFA=/PAE，所以可得PA=PE，設24=尸產=%,在R^PDF中,由勾股定理可列方程從而可

算出AP的長為;.

【詳解】解：如圖，連接AF，

?.,四邊形A8CO是矩形，

，NC=ZD=90。，AD//BC,AB//CD,

；E、F分別是邊AB、CD的中點，

AAE=EB,DF=FC,

：.AE=DF,BE=CF,

：.四邊形AEFD、四邊形BCFE是平行四邊形，

?/NC=N￡>=90°,

四邊形AEFD、四邊形8CFE都是矩形，

AEF//AD//BC,ZAEF=90。,

EF±AB,

,/AE=EB,

:.FA=FB，ZAFE^ZEFB,

EF//BC//AD，

：.NEFB=ZFBC,ZDAF=ZAFE,

???匕PFB=34FBC,

ZPFA^ZPAE，

PA=PF，

設Q4=P9=x,

在尸中，由勾股定理得：PF2^PD2+DF2>

,55

即f=(3—x)-+F,解得：x=_,即AP的長為一，

'，33

故答案為：一.

3

【點睛】本題考查平行的性質以及判定，矩形的性質及判定，勾股定理，能夠構造適合的輔助線是解決本

題的關鍵.

三、解答題

18.在每個小正方形的邊長為1的網格中，用無刻度的直尺，按下列要求畫圖.

（2）在圖①中畫出以AM為一邊的正方形MABC；

（3）如圖②，N,F分別為小正方形邊的中點，在圖②中畫出以NF為一邊的菱形FNPQ（RVPQ不是正方

形）.

【答案】（1）J15

（2）見解析（3）見解析

【解析】

【分析】（1）根據勾股定理求出AM的長即可；

（2）根據正方形四條邊都相等，四個角都為直角畫出圖形即可；

（3）根據菱形的四條邊都相等，取正方形的中點P,Q,連接尸/V、PQ、FQ,畫出圖形即可.

【小問1詳解】

AM=+3?=屈.

故答案為：■

【小問2詳解】

解：根據題意得：AM是長為3,寬為2的長方形的對角線，然后把AM繞點M逆時針旋轉90°到CM的

位置，繞點A順時針旋轉90°到AB的位置，連接BC,則正方形AM8C為所作，如圖①;

【小問3詳解】

解：取正方形中點尸，Q,連接PN、PQ、FQ,則菱形FNPQ為所作.如圖②，

過點EQLOF交OF延長線于點E,過點F作FG±NQ于點G,則FG=3,

■:N,尸分別為小正方形邊的中點，

：.NG=2,

■-FN=M+W=而'

同理PN=屈,PQ=FQ=J15,

：.FN=NP=PQ=FQ,

四邊形FNPQ是菱形.

【點睛】本題考查作圖一復雜作圖和勾股定理.掌握正方形的判定和性質，菱形的判定和性質是解題的關

鍵.

19.計算:

（1）V18->/32+>/2：

4

【答案】（1）0（2）逑

10

【解析】

【分析】（1）先將二次根式化為最簡，然后合并同類項即可;

（2）先將二次根式化為最簡，然后進行乘除運算即可.

【小問1詳解】

解：原式=3夜-4夜+夜

=0.

【小問2詳解】

原式=2x2gx立+5正

解:

4

=3+50

3&

一記,

【點睛】本題考查了二次根式的加減乘除運算.解題的關鍵在于正確的化簡計算.

20.如圖，直角三角形紙片OAB,ZAOB=90°,OA=l,OB=2,折疊該紙片，折痕與邊08交于點C,

與邊AB交于點。，折疊后點8與點A重合，求OC的長.

k

0A

3

【答案】OC=一.

4

【解析】

【分析】由題意可得3C=AC,在RdACO中，根據勾股定理可列方程，可求出OC的長

【詳解】由折疊后點8與點A重合，

得△ACO絲△8CO.

設0C=m,

則BC=O2-OC=2-，w.

于是AC=BC=2-m.

在RfAAOC中，由勾股定理，得AGMOK+OG.

即(2-m)2—\2+m2.

3

解得“一.

4

3

；.0C=-.

4

【點睛】本題考查了折疊問題，關鍵是通過勾股定理列出方程.

21.如圖，在QABCD中，點E,尸分別在BC,上，KBE^FD,求證：四邊形AECF是平行四邊形.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據平行四邊形的性質可得A尸〃EC.AF=EC,然后根據平行四邊形的定義即可證得.

【詳解】證明：???四邊形ABCO是平行四邊形，

：.AD//BC,AD^BC,

J.AF//EC,

,:BE=FD,

：.BC-BE=AD-FD,

：.AF=EC,

：.四邊形AEC尸是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形的性質，證出是解決問題的

關鍵.

22.在cABC。中，對角線AC平分NEW.求證：四邊形ABC。是菱形.

D

B

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據平行四邊形性質得出N84C=NACD,再結合平分線即可得出AQ=CQ,進而得出結

論；

【詳解】證明：?.?四邊形A8CD是平行四邊形,

，AB//CD.

：.ZBAC=ZACD.

?.?AC平分NSM),

/.ADACABAC.

：.ADAC^ZACD.

AD=CD.

四邊形ABC。是菱形.

【點睛】此題考查平行四邊形性質和菱形的判定定理，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.

23.如圖，在正方形ABCQ中，點尸為C。上一點，BF與AC交于點￡

(1)NAC8的大小=°；

(2)求證：AABEWAADE;

(3)若NC5b=20°,則NAEO的大小=°.

【答案】(1)45(2)證明見解析

(3)65

【解析】

【分析】(1)由正方形的性質求解即可；

(2)由正方形ABCC可知，AB=AD，/EAB=/EAD,進而可證AEAB絲△&1￡>(SAS)；

(3)由△EABGAEA。可知Z4E￡>=NAEB，由三角形外角的性質可知NA￡B=NEBC+NBCE,計

算求解即可.

【小問1詳解】

解：?.?四邊形ABC。是正方形，

:./BCD=90°,ZACB=-ZBCD=1x90°=45°

22

故答案為45.

【小問2詳解】

證明：?.?四邊形A8CD是正方形

AAB=AD，ZEAB=ZEAD

在和AEW中

EA^EA

JNEAB=NEAD

AB=AD

AE4BA￡4D(SAS).

【小問3詳解】

解：,/^EABAE4D

；?ZAED=ZAEB

???ZAEB=ZEBC+/BCE=200+45°=65°

，ZAED=65°

故答案為65.

【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形全等，三角形外角的性質.解題的關鍵在于對知識的靈活運

用.

24.如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點O,BE〃AC交DC的延長線于點E.

（1）求證：BD=BE；

（2）若NDBC=30。，BO=4,求四邊形ABED的面積.

【答案】（1）見解析；（2）2473

【解析】

【分析】（1）根據矩形的對角線相等可得AC=BD,然后證明四邊形ABEC是平行四邊形，再根據平行四邊

形的對邊相等可得AC=BE,從而得證.

（2）根據矩形的對角線互相平分求出BD的長度，根據30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長

度，根據銳角三角函數求出BC的長（或用勾股定理求），并根據等腰三角形三線合一的性質求出DE的

長，最后利用梯形的面積公式列式計算即可得解.

【詳解】（1）證明：?.?四邊形ABCD是矩形，

.\AC=BD,AB〃CD,

VBE/7AC,

.??四邊形ABEC是平行四邊形.

二?AC=BE.

.*.BD=BE,

(2)解：???在矩形ABCD中，BO=4,

.\BD=2BO=2x4=8.

VZDBC=30°,

.?.CD=：BD二x8=4,BC=BDcosNDBC=8x走=46.

222

VBD=BE,BC±DE,

，CE=CD=4,，DE=8

四邊形ABED面積(AB+DE)BC=1x(4+8)x4g=246.

25.已知：在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,點。為直線BC上一動點(點。不與8、C重

合).以A。為邊作正方形AQEF,連接CF.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當點。在線段8C上時，

①求證：△ABO也AAC尸；

②NACE的大小=0；

③若BC=8,CD=2,則CF的長=一；

(2)如圖②，當點。在線段BC的延長線上時，其它條件不變，則CRBC、C。三條線段之間的關系

是：CF=；

(3)如圖③，當點。在線段BC的反向延長線上時，且點A、F分別在直線BC的兩側，其它條件不變:

①CF、B